Geodezja Wyższa i
Astronomia
Geodezyjna
Mgr inż. Marta
Krywanis
Geodezja Wyższa i
Astronomia
Geodezyjna
Mgr inż. Marta
Krywanis
sin = sin cos z - cos sin z cos A
cos sin t = sin z sin A
cos cos t = cos cos z + sin sin z cos A
A
180-A
t
90-h=z
BPn
Z
BPn
G
A
cos
z
sin
sin
+
z
cos
cos
A
sin
z
sin
t
tg
sin z sin A = cos sin t
sin z cos A = -cos sin + sin cos cos t
cos z = sin sin + cos cos cos t
tg A
cos sin t
-cos sin + sin cos cos t
Ćwiczenie
1. Obliczyć deklinację i kąt godzinny gwiazdy, mając
dane :
= 52° 05’=
A = 30° 10’=
z = 54° 30’ =
2. Obliczyć azymut i odległość zenitalną gwiazdy,
mając dane :
= 52° 05’=
t = 2h 20m =
= 41° 20’ =
W domu
Imię i nazwisko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N= . .
. . .
M= .
. . . .
N - numer kolejny
M – numer grupy
1. Obliczyć deklinację i kąt godzinny gwiazdy, mając dane :
= 52° 05’
A = [10+N]° 10’ =
z = [55-M]° 30’ =
2. Obliczyć azymut i odległość zenitalną gwiazdy, mając dane :
= 52° 05’
t = 2
h
N
m
=
= [40+M]° 20’ =
WYNIKI :
= °
‘
t =
h
m
A = °
‘
z = °
‘
Ćwiczenie 2
Rozwiązywanie trójkątów
sferycznych: metoda Legendre’a
i Soldnera.
Trójkąty sferyczne i
paralaktyczne
Trójkąt sferyczny
Trójkąt leżący na
powierzchni kuli
Boki są fragmentami
kół wielkich
Boki opisujemy jako
kąty z wierzchołkami
w środku sfery
Jednym z głównych zadań geodezji wyższej jest rozwiązywanie
trójkątów geodezyjnych. Jeżeli boki trójkątów triangulacyjnych są
małe w stosunku do promieni krzywizny elipsoidy, to zadanie
rozwiązywania trójkątów elipsoidalnych sprowadza się do rozwiązania
trójkątów sferycznych na kuli o odpowiednio dobranym promieniu.
Znane: A, B, C, a
Szukane: b,c
R=6370 km
a<60 km
Metoda Legendre’a
W celu rozwiązania trójkąta sferycznego możemy posłużyć
się tzw. twierdzeniem Legendre’a, które mówi, że mały
trójkąt sferyczny można rozwiązać zamieniając go na
trójkąt płaski, w którym długości boków pozostają
niezmienione w stosunku do odpowiednich długosci na
sferze, natomiast każdy kąt jest zmniejszony o 1/3
nadmiaru sferycznego.
Wzór na nadmiar sferyczny (eksces sferyczny):
e=(P/R^2)*ro”=((a*b*sinC)/2*R^2)*ro”
b=(a*sinB)
(prawdziwe dla małych trójkątów sferycznych, których boki
mają do 90km, gdyż obliczamy P jak dla trójkata płaskiego)
Gdy mamy wiekszy trójkąt sferyczny korzystamy z
rozszerzonego tw. Legendre’a:
e1=e(1+(m^2/8*R^2))
Gdzie: m^2=(a^2+b^2+c^2)/3
a,b – boki trójkąta płaskiego
C – kąt między nimi zawarty
R – promień kuli, na którym położony jest trójkąt
A’=A-e/3
B’=B-e/3 b=(a*sinB’)/sinA’
C’=C-e/3 c=(a*sinC’)/sinA’
Metoda additamentów (Soldnera)
Metodę tą stosuje się do trójkątów o
małych bokach w stosunku do promienia
kuli, przy czym wyrazy małe wyższych
rzędów zostają opuszczone. Myślą
przewodnią tej metody jest rozwiązanie
trójkątów sferycznych, przy
zastosowaniu wzoru sinusów
trygonometrii płaskiej, po uprzedniej
zmianie boków (a nie kątów jak w
metodzie Legendre’a)
Sin(b/R)= sin(a/R)*(sinB/sinA)
Rozwinięcie w szereg:
ZADANIE
DANE:
B1 = 53° 33’ 01,7594”
L1 = 20° 33’ 52,3613”
h1 = 145,243m
A12 = 8° 07’ 37,11”
s12 = c= 22 858,907m =22,858 907km
kąt 1 = A = 36° 12’ 43,42”
kąt 2 = B = 89° 54’ 51,17”
kąt 1 = A = 0,632019695 rad
kąt 2 = B = 1,569299077 rad
OBLICZENIA Z WYKORZYSTANIEM WZORÓW TRYGONOMETRII
SFERYCZNEJ
1)
zamiana jednostek długości boku na jednostki kątowe
<s12 = (s12/R)*P”
Gdzie:
R = 6370km
Ρ”= 206 264,80624 7096355
<s12 = (22,858 907km /6370km)* P”
<s12 = 0° 12’ 20,19” = 0,003588542386 rad
2) Określenie wartości kąta 3
cos3 = - cos1 cos2 + sin1 sin2 cos s12
cos3 = -cos 0,632019695 rad*cos 1,569299077 rad +
+sin 0,632019695 rad*sin 1,569299077 rad*
cos 0,003588542386 rad
3 = arcos 0,589563023
A+B+C= 36° 12’ 43,42” + 89° 54’ 51,17” + 53° 52’
26,38”
= 180° 00’ 00,97”
cos3 = 0,589563023
3 = 0,940278591
rad
3 = 53° 52’ 26,38”
3) Określenie wartości boku s23
sin s23/sin 1 = sin s12/sin 3
sin s23 = (sin s12*sin 1)/sin 3
s23 = 0,0026246870rad = 0° 09’ 01,38” = 541,38”
4) Określenie wartości boku s13
sin s13/sin 2 = sin s12/sin 3
sin s13 = (sin s12*sin 2)/sin 3
s13 = 0,004442777316rad = 0° 15’ 16,39” = 916,39”
5) zamiana jednostek kątowych na jednostki
długości boku s23
s23 = (<s23/ P”)*R
Gdzie:
R = 6370km
Ρ”= 206 264,80624 7096355
s23 = 16,719239km = 16 719,239m
6) zamiana jednostek kątowych na jednostki długości boku s13
s13 = (<s13/ P”)*R
Gdzie:
R = 6370km
Ρ”= 206 264,80624 7096355
s13 = 28,300535km = 28 300,535m
1) wyznaczanie ekscesu – ε
ε=[(a*b*sinC)/2R2]* P”
ε=[(a*c*sinB)/2R2]* P”
ε =[( 16,719239km*22,858 907km *sin89° 54’
51,17”)/ 2R2]* P”
ε = 0,9714”
2) wyznaczenie odchyłki kątowej
ω = 1’+2’+3’ – (180°+ ε)
ω = 36° 12’ 43,42” + 89° 54’ 51,17” + 53° 52’ 26,38”-
(180°+0,9714”)
ω = 180° 00’ 00,97”– (180°+0,9714”)
ω = -0,0014”
n= c/sinC°
c = n*sinC°
a = n*sinA°
b = n*sinB°
n= c/sinC° = 22 858,907/ 0,807721450= 28 300,483 m
c = n*sinC° = 28 300,483*0,807721450= 22 858,907m
a = n*sinA° = 28 300,483*0,590774260= 16 719,197m
b = n*sinB° = 28 300,483*0,999998876= 28 300,451m
Metoda Additamentów
c’ = c – (c3/6R2)
c = c’+c3 / 6R2c’
= 22,858 858km
= 22,858 907km
a) zmniejszenie boku a:
b) obliczenie pozostałych zmniejszonych boków:
a’ = c’ (sin Awyr/ sin Cwyr )
a’ = 22,858 858km *(sin 36° 12’ 43,4205” / sin 53° 52’ 26,3805” )
a’ = 16,719 178km
a = a’+a’3 / 6R2
a = 16,719 178+0,000 019 = 16,719 197km
b’ = c’ (sin Bwyr/ sin Cwyr )
b’ = 22,858 858km*(sin 89° 54’
51,1705”/ sin 53° 52’ 26,3805” )
b’ = 28,300 358km
b = b’+b’3 / 6R2
b = 28,300 358km +0,000 093 =
28,300451km
W domu
ROZWIĄZYWANIE TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH
Wzory trygonometrii sferycznej
Metoda Legendre’a
Metoda additamentów (Soldnera)
Dane:
B1 = 53° 33’ 01,7573” + n*0,0001” = 53° 33’ 01,7594”
L1 = 20° 33’ 52,3634” - n*0,0001” = 20° 33’ 52,3613”
h1 = 145,243m
A12 = 8° 07’ 35,01” + n*0,10” = 8° 07’ 37,11”
s12 = c= 22 856,807m +n*0,10m = 22 858,907m =22,858
907km
kąt 1 = A = 36° 12’ 41,32” + n*0,10” = 36° 12’ 43,42” =
0,632019695 rad
kąt 2 = B = 89° 54’ 51,17” = 1,569299077 rad