Urządzenia 

Urządzenia 

elektryczne

elektryczne

20 października 2010 roku

20 października 2010 roku

Wykład nr 2

Wykład nr 2

Nagrzewanie torów 

Nagrzewanie torów 

prądowych

prądowych

Zakres tematyczny

Zakres tematyczny



Źródła ciepła i straty mocy w urządzeniach



Wpływ temperatury na właściwości 

materiałów



Formy przekazywania ciepła



Nagrzewanie torów prądowych pod wpływem 
prądów roboczych



Cieplne działanie prądów zwarciowych



Obciążalność prądowa długotrwała i 
zwarciowa

3

Źródła ciepła w 

Źródła ciepła w 

urządzeniach

urządzeniach

Źródła ciepła

1)

Tory prądowe główne wiodące prądy 
robocze 
i przeciążeniowe oraz zwarciowe

2)

Zestyki występujące w torach prądowych

3)

Osłony wykonane z materiałów 
przewodzących

4)

Elementy ferromagnetyczne

4

Przyczyny strat mocy

Przyczyny strat mocy

  Przyczyny strat mocy (energii)

1)

Rezystancja  przewodników  (straty  mocy 

Joule’a)

2)

Rezystancja zestykowa

3)

Histereza  magnetyczna  i  prądy  wirowe 
w 

obwodach 

magnetycznych 

oraz 

metalowych częściach aparatów

4)

Zjawiska zachodzące w dielektrykach 
pozostających w zmiennym polu 
elektrycznym

5

Straty mocy Joule’a

Straty mocy Joule’a

Straty mocy Joule’a

        

gdzie:  - rezystywność [mm

2

/m]; V – objętość; J – gęstość prądu [A/mm

2

]

W przewodniku jednorodnym

lub  

Uwzględniając, że  oraz 

gdzie:    -  współczynnik  temperaturowy  (dla  Cu  i  Al    równy  około  0,004 

1/

o

C)

     k

f

 – współczynnik naskórkowości

     k

z

 – współczynnik zbliżenia

Otrzymujemy:

gdzie: l – długość przewodnika [m]
    S – przekrój przewodnika [mm

2

]

      – temperatura przewodnika [

o

C]

6

V

J

P

V

d

2









lS

J

P





2



R

I

P

2





)

(

R

R









1

0

)

(

S

l

I

k

)

(

S

l

I

k

k

P

w

f

z



















1

1

0

2

0

2









R

R

P

P

k

~

~

f





Wpływ temperatury 

Wpływ temperatury 

na właściwości 

na właściwości 

materiałów

materiałów

Wzrost temperatury powoduje zmianę właściwości:

1)

Mechanicznych 

(materiały przewodowe i izolacyjne)

•

Metale –zmniejszenie do zera dopuszczalnych naprężeń przy temperaturze 
topnienia

•

Materiały izolacyjne – deformacja, zmiana właściwości fizycznych

2)

Izolacyjnych 

(materiały izolacyjne) – odporność materiału izolacyjnego na 

działanie podwyższonej temperatury oznaczona jest poprzez klasy izolacji 
(Y, A, E, B, F, H, C) które określają dopuszczalne temperatury dla 
poszczególnych materiałów nie powodujące zmiany ich właściwości 
izolacyjnych

•

Przyspieszenie procesu starzenia

•

Zwiększenie strat dielektrycznych, a tym samym obniżenie wytrzymałości 
elektrycznej

3)

Połączeń 

(zestyków stałych i rozłącznych przewodów i przewodników)

•

Przejściowy wzrost rezystancji przejścia

•

Trwały wzrost rezystancji wskutek procesów utleniania się powierzchni 
styków

7

Formy przekazywania 

Formy przekazywania 

ciepła

ciepła



Przewodzenie ciepła

Moc  cieplna  przekazywana  w  wyniku  przewodzenia  P

prz

  określona  jest 

prawem Fouriera:

[W]

gdzie:
 – przewodność cieplna ciała (środowiska) przewodzącego ciepło [W/mK]
S – powierzchnia dla przewodzenia ciepła [m

2

]

d/dl – gradient temperatury [K/m]

W warunkach ustalonych przewodzenia ciepła, np. przez ściankę o grubości 

d:

             jeżeli przyjmiemy, że

to otrzymamy odpowiednik prawa Ohma: 

            U

              I     R

8

dl

d

S

P

prz









)

(

d

S

P

prz

2

1











S

d

P

P

R

prz

prz

prz



















2

1

prz

prz

R

P















2

1

Formy przekazywania 

Formy przekazywania 

ciepła

ciepła



Przekazywanie ciepła przez promieniowanie

Moc  cieplna  przekazywana  w  wyniku  promieniowania  P

p

 

wyznaczona jest równaniem Stefana-Boltzmanna:

gdzie:

 – wypadkowy wsp. czerni (absorpcji) ciała (doskonale czarne – 1, białe 

– 0)
c 

o

= 5,77 W/m

2 

K

4

 – emisyjność ciała doskonale czarnego

S

p

 – powierzchnia ciała oddającego ciepło [m

2

]

     

–  temperatura  bezwzględna  powierzchni  ciała  promieniującego 

ciepło
  

– temperatura bezwzględna powierzchni ciała przyjmującego ciepło

9













































4

2

4

1

100

100







p

o

p

S

c

P

1



2



Formy przekazywania 

Formy przekazywania 

ciepła

ciepła

W  celu  odniesienia  wartości  mocy  cieplnej  przekazywanej 
drogą  promieniowania  do  różnicy  temperatur  w  skali 
Celsjusza  wprowadza  się  współczynnik  oddawania  ciepła 
drogą promieniowania:

Wówczas możemy zapisać:

gdzie: a

Opór cieplny: 

a prawo Ohma:

10





2

1











p

p

p

S

P

273

1

1









273

2

2









p

p

p

S

R



1



p

p

R

P





2

1





2

1

4

2

4

1

100

100



























































o

p

c

Formy przekazywania 

Formy przekazywania 

ciepła

ciepła



Przekazywanie ciepła przez unoszenie (konwekcję)

Moc  cieplna  przekazywana  w  wyniku  konwekcji  P

k

  liczbowo  jest 

ujmowana prawem Newtona:

gdzie:



k

 – wsp. oddawania ciepła w wyniku konwekcji [W/m

2

 K]

S

k

 – powierzchnia ciała oddającego ciepło w drodze konwekcji [m

2

]

     – temperatura ciała oddającego ciepło
        –  temperatura  otoczenia  w  strefie  poza  warstwą  graniczną,  np.  dla
                przewodu  w  osłonie            jest  temperaturą  gazu  w  osłonie,  a           
temperaturą
        osłony.

Opór cieplny:

i prawo Ohma:

11





'

k

k

k

S

P

2

1











1



'

2



'

2



2



k

k

k

S

R



1



k

k

'

R

P





2

1





Nagrzewanie torów prądowych 

Nagrzewanie torów prądowych 

jednorodnych prądem roboczym

jednorodnych prądem roboczym

Bilans cieplny: dq = dq

1

 + dq

2

dq

-  ilość  ciepła  wytworzona  w  rozpatrywanym  elemencie  przewodu  w 

czasie dt

dq

1

- ilość ciepła oddanego przez przewód do otoczenia

dq

2

- ilość ciepła zużyta na podgrzanie elementu 

x o d

gdzie:

k

w

 = k

z

k

f

- współczynnik wypierania prądu

k

od

- współczynnik oddawania ciepła [W/cm

2

K]

c

- ciepło właściwe [Ws/kgK]



- gęstość materiału przewodnika [kg/m

3

]

A

- obwód [cm]

S

- przekrój [cm

2

]

Ostatecznie:

12

xdt

S

I

k

dt

R

I

dq

w









2

~

2

dt

)

(

x

A

k

dq

o

od











1









cd

x

S

mcd

dq





2











Sd

c

dt

)

(

A

k

dt

S

k

I

o

od

w







2

Nagrzewanie torów prądowych 

Nagrzewanie torów prądowych 

jednorodnych prądem roboczym

jednorodnych prądem roboczym

Przyjmujemy, że k

w

, k

od

, c ~ const  a

czyli:

Można wyszczególnić następujące przypadki:

1.

 

2.

 

3.

 

13

w

o

od

k

S

I

A

k





2











o

o



















1





























Sd

c

dt

A

k

dt

S

k

I

o

od

o

o

w











1

2

w

o

od

k

S

I

A

k





2



w

o

od

k

S

I

A

k





2



Nagrzewanie torów prądowych 

Nagrzewanie torów prądowych 

jednorodnych prądem roboczym

jednorodnych prądem roboczym

Rozważania  ograniczamy  do  przypadku  (1)  odpowiadającego 

długotrwałemu nagrzewaniu. Po rozwiązaniu równania otrzymujemy:

gdzie:

- temperatura początkowa przewodu

 T - stała czasowa nagrzewania

Cieplna  stała  czasowa  –  parametr  określający  przebieg  nagrzewania  – 

jest  wprost  proporcjonalna  do  jednostkowej  pojemności  cieplnej  i 
odwrotnie  proporcjonalna  do  jednostkowej  mocy  oddawanej  do 
otoczenia przy różnicy temperatur 1 K.

14

T

t

p

T

t

w

o

od

o

od

w

o

e

e

S

k

I

A

k

A

k

S

k

I

















 



















1

2

2

p



A

k

S

c

S

k

I

A

k

S

c

T

od

w

o

od















2

Nagrzewanie torów prądowych 

Nagrzewanie torów prądowych 

jednorodnych prądem roboczym

jednorodnych prądem roboczym

Dla t   temperatura przewodu            :

czyli:

jeżeli 

dla t=T:

Cieplna  stała  czasowa  jest  równa  czasowi,  po  którym  przewód 

nieoddający  ciepła  do  otoczenia  (całkowicie  cieplnie  izolowany) 
osiągnąłby  temperaturę  równą  temperaturze  ustalonej  przy  zwykłej 
wymianie ciepła. 

15





o

od

w

o

w

o

od

o

od

w

o

u

AS

k

k

I

S

k

I

A

k

A

k

S

k

I

t

































2

2

2

u



 

T

t

p

T

t

u

e

e

















 









1















 













 

















T

t

u

T

t

o

u

o

p

o

e

e

1

1





















u

u

,

)

e

(

)

T

t

(













632

0

1

1











Nagrzewanie torów prądowych 

Nagrzewanie torów prądowych 

jednorodnych prądem roboczym

jednorodnych prądem roboczym

16

Charakterystyki 

nagrzewania 

(1) 
i  stygnięcia  (2)  przewodów 
jednorodnych 

obciążonych 

prądem o stałej wartości

Charakterystyki 

nagrzewania 

przewodów 

jednorodnych 

obciążonych prądem  I do czasu  t

1

, a 

następnie  prądem  I

2 

>  I  (krzywa  1) 

lub I

2 

< I (krzywa 2)

Cieplne działanie prądów 

Cieplne działanie prądów 

zwarciowych

zwarciowych

Analizując 

przebiegi 

nagrzewania 

przewodników 

prądem 

zwarciowym  można  pominąć  wpływ  oddawania  ciepła  do 
otoczenia  (t

k

  <<  T)  i  traktować  zjawisko  tak,  jak  gdyby  energia 

cieplna 

wytworzona 

w 

przewodzie 

była 

w całości zużywana na podwyższenie temperatury przewodu.

Równanie bilansu cieplnego przyjmuje postać:

przy czym:

i

17















xd

S

c

dt

S

x

i

k

w



2









o

o



















1









o

o

c

c













 1

Przebieg nagrzewania się 
elementu toru prądowego w 
czasie zwarcia

Obciążalność prądowa

Obciążalność prądowa

Obciążalność prądowa normalna

Obciążalność prądowa normalna

1.

Obciążenie długotrwałe:

            to

2.

Obciążenie dorywcze:

3.

Obciążenie przerywane:

dla 

jeżeli

18

o

dd

dop





















w

dop

od

dd

k

AS

k

I 











 































 T

t

dd

dor

dd

dd

dor

dd

udor

e

I

I

I

I

1

2

2









T

t

dd

dor

e

I

I







1

1





T

t

min

T

t

u

max

p

p

e

e

















1













T

t

dd

pr

dd

T

t

t

max

T

t

max

min

p

p

o

o

e

I

I

e

e































1

1

2













T

t

T

t

t

dd

pr

dd

max

p

p

o

e

e

I

I

















1

1





Obciążalność prądowa

Obciążalność prądowa

19

Przebieg  nagrzewania  i  stygnięcia 
toru  prądowego  (a)  obciążonego  I

dor

 

w czasie t

p

 (b)

Przebieg  nagrzewania  i  stygnięcia  toru 
prądowego  (a)  obciążonego  prądem 
przerywanym I

pr

 (b); t

p

 – czas przepływu 

prądu, t

o

 – czas przerw bezprądowych

Obciążalność prądowa

Obciążalność prądowa

Obciążalność prądowa zwarciowa

Obciążalność prądowa zwarciowa

Obliczenia  dotyczące  skutków  cieplnego  oddziaływania  prądów 
zwarciowych  polegają  na  ustaleniu  minimalnych  przekrojów  torów 
prądowych. Można tutaj zastosować uproszczenia polegające na:

•

Pominięciu zjawiska naskórkowości i zbliżenia przewodów

•

Przyjęciu liniowej charakterystyki zmiany rezystancji od temperatury

•

Przyjęciu stałej wartości ciepła właściwego materiału c

•

Przyjęciu adiabatycznego charakteru nagrzewania

Temperatura  przewodu  podczas  zwarcia              zależy  od  temperatury  przed 

zwarciem

     , prądu I

th

, czasu zwarcia t

k

 i rodzaju materiału.

Obciążalność  zwarciowa  cieplna  przewodów  gołych  jest  dostateczna 
jeżeli spełniony jest warunek:

 

     lub    S 



 S

min  

  gdzie

gdzie: S

th

- gęstość prądu zwarciowego [A/mm

2

]

S

th1

- gęstość prądu zwarciowego 1-sekundowego

20

k



B



k

th

th

th

t

S

S

I

S

1

1





k

th

th

min

t

S

I

S

1



Obciążalność prądowa

Obciążalność prądowa

21

Zależność 

znamionowej 

gęstości 

prądu  jednosekundowego  S

th1

  od 

temperatury 

dla 

przewodów 

miedzianych i stalowych (a)

Zależność 

znamionowej 

gęstości 

prądu  jednosekundowego  S

th1

  od 

temperatury 

dla 

przewodów 

aluminiowych, 

aluminiowo-

stalowych 

i 

ze 

stopów 

aluminiowych (b)

Obciążalność prądowa

Obciążalność prądowa

Dla przewodów izolowanych:

Gdzie:  k    -  współczynnik  równy  największej  dopuszczalnej  1-sekundowej 

gęstości prądu z uwzględnieniem materiału żyły i rodzaju izolacji.

W przypadku urządzeń obciążalność zwarciowa jest dostateczna, jeżeli:

    

przy

lub

      przy

22

k

t

I

S

k

th

min



Rodzaj przewodu

k, [As

1/2

/mm

2

]

Przewód o izolacji z gumy i polietylenu usieciowanego z 
żyłami:

•

    Miedzianymi Cu

•

    Aluminiowymi Al

Przewód o izolacji z PCV z żyłami:

•

    Miedzianymi Cu

•

    Aluminiowymi Al

135

87

115

74

thN

th

I

I 

n

t

k



k

thN

th

t

n

I

I 

n

t

k



DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ