KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW. PLASTYCZNE
WYRÓWNANIE NAPRĘŻEŃ I MOMENTÓW
Wykład 10
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW. PLASTYCZNE
WYRÓWNANIE NAPRĘŻEŃ I MOMENTÓW
Wykład 10
PROJEKTOWANIE KONCEPCYJNE.
Koncepcja klasyczna (XIX w.)
Założenia teoretyczne – wg klasycznej mechaniki
budowli:
- materiał jest liniowo sprężysty = E
- pręty są idealnie proste
- obciążenia przyłożone w osiach przekrojów
- konstrukcja traci nośność gdy naprężenia
osiągną granicę
plastyczności choćby w jednym punkcie k
dop
KONCEPCJE WSPÓŁCZESNE
Budownictwo zróżnicowane
Założenia teoretyczne – wg teorii nośności
granicznej:
- materiał jest nieliniowo sprężysto-plastyczny
= ()
- pręty są obarczone
imperfekcjami
geometrycznymi
- obciążenia działają na
mimośrodach
wstępnych
- konstrukcja traci nośność w
stanie
granicznym
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW
METALOWYCH
Nośność graniczna przekroju pręta zależy od:
1. Smukłości ścianek przekroju
wpływ stateczności miejscowej
2. Rodzaju przekroju (dwuteownik, ceownik, zetownik)
krzywe nośności granicznej
w stanach złożonych
3. Schematu statycznego (belka swobodnie podparta, ciągła)
elasto- lub plastostatyka
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW
METALOWYCH
Smukłość ścianek przekroju
UPN 200 262 Z 16
= d/t
w
= 151/8,5 =
17,8
= c/t =
260/1,6 =
162,5
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW
METALOWYCH
Wpływ smukłości ścianek na nośność przekroju
m
– średnie naprężenie ściskające ściankę,
f
02
– granica plastyczności (rzeczywista lub umowna)
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW
METALOWYCH
Graniczne smukłości ścianek przekrojów stalowych
= c/t
(kryterium klasy przekroju stalowego wg PN-EN
1993-1-1)
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości ścianek
stalowych
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości ścianek
stalowych
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości ścianek
stalowych
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości
i
ścianek ze stopów Al
A – stopy ulepszone cieplnie nie spawane
B – stopy ulepszone cieplnie spawane lub nie ulepszone cieplnie
nie spawane
C – stopy nie ulepszone cieplnie spawane
Podparci
e
ścianki
1
2
3
A
B
C
A
B
C
A
B
C
Krawędź
swobodn
a
3
2,5
2 4,5
4 3
6
5 4
Na całym
obwodzie
11
9
7
16
13
11
22
18
15
KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH
Graniczne smukłości
ścianek
• Parametr dla ścianek stalowych:
• Parametr dla ścianek ze stopów Al:
y
f
235
02
f
250
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
1.
Twierdzenie 1 o plastycznym wyrównaniu
naprężeń
w przekroju zginanym momentem M
S
S
lub
ścinanym siłą poprzeczną V
S
:
M
Rd
=
M
pl
= W
pl
f
d
V
Rd
=
V
pl
= 0,58A
pl
f
d
gdzie
f
d
= f
y
/
Mo
W
pl
= S
1
+ S
2
= 2S
A
pl
= A
v
th
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Dowód: warunki równowagi sił w przekroju:
N = 0
czyli oś obojętna dzieli przekrój na 2 równe części
M = 0
0
dA
f
0
dA
f
0
σdA
A
A
A
d
d
2
A
/2
h
/2
h
1
pl
2
1
d
pl
A
A
A
d
pl
d
pl
S
S
ydA
ydA
M
)
S
(S
f
M
ydA
f
M
ydA
f
M
σydA
o
o
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Nośność sprężysta przekroju zginanego momentem
M
S
S
lub ścinanego siłą poprzeczną V
S
:
V
Rd
=
V
el
= 0,58V
el
f
d
Wskaźnik rezerwy plastycznej przekroju
pl
:
S
Jt
0,58f
V
V
0,58f
Jt
S
V
y
el
Rd
y
el
el
el
d
v
d
el
pl
pl
el
d
el
d
pl
el
pl
pl
W
2S
Jt
htS
Jt
0,58f
S
A
0,58f
V
V
α
W
2S
f
W
f
W
M
M
α
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Wskaźnik rezerwy plastycznej przekroju
pl
:
pl
=
1,5
1- 1,5 1,5 -
1,27-1,7
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Wskaźnik rezerwy plastycznej dla przekroju prostokątnego
bxh
:
Wniosek z tw. 1:
Nośność plastyczna (zginanego lub ścinanego) przekroju
metalowego niepodatnego na utratę stateczności miejscowej
jest nawet o 50 % większa od nośności wynikająca ze
sprężystej pracy konstrukcji (dla dwuteowników
walcowanych o 10-18 %)
1,5
4
6
/6
bh
/4
bh
h/2
/12
bh
,25h
2x0,5bxhx0
h/2
J
2S
W
W
α
2
2
3
el
pl
pl
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
• Twierdzenie 2 - o powierzchniach granicznych
w złożonym
stanie sił wewnętrznych
– są dla materiału sprężysto-
plastycznego zawsze wypukłe
Powierzchnie graniczne wg teorii a) plastyczności b) sprężystości
(interakcja M
y
- M
z
- N)
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 2 o powierzchniach granicznych -
dwuteowniki
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Krzywa interakcji na płaszczyźnie M
Sy
– M
Sz
wg PN-EN 1993-1-1:
dla dwuteowników bisymetrycznych
= 2; = 1
dla rur kołowych
= 2; = 2
; dla rur prostokątnych
=
=1,66
Wniosek z tw. 2:
Krzywe nośności granicznej przekroju metalowego
niepodatnego na utratę stateczności miejscowej są wypukłe
i zależą od rodzaju przekroju.
1
M
M
M
M
β
plz
Sz
α
ply
Sy
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów
zginających
(dla układów prętowych statycznie
niewyznaczalnych)
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów
zginających
W stanie sprężystym moment przęsłowy M
max
= ql
2
/24, a
momenty
podporowe M
min
= - ql
2
/12.
Po utworzeniu się przegubów plastycznych moment
„wyrównany” M* :
ql
2
/12 - M = ql
2
/24 + M M = ql
2
/48
M* =
ql
2
/48 + ql
2
/24 =
ql
2
/16
Rezerwa nośności wynikająca z redystrybucji momentów:
M*/ M
min
= ql
2
/16/ql
2
/12 = 16/12 =
1,33 (33 %)
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów
zginających
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów
zginających
W stanie sprężystym moment przęsłowy M
max
= ql
2
/8, a
momenty
podporowe M
min
= - ql
2
/8 , czyli momenty są równe M = 0
Po utworzeniu się przegubów plastycznych moment
„wyrównany” M* :
M* =
ql
2
/8
Rezerwa nośności:
M*/ M
min
= ql
2
/8/ql
2
/8 =
1,00 (0 %)
Wniosek: przyrost nośności zależy od stopnia statycznej
niewyznaczalności oraz sposobu rozłożenia obciążenia
TWIERDZENIA TEORII
PLASTYCZNOŚCI
Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów
zginających
Tablice Bleicha dla belek ciągłych
M
S
= c
g
gl
2
+ c
p
pl
2
M
S
= c
g
Gl + c
p
Pl
Schema
t
belki
Sposó
b
wyrów
.
Momen
t
Obciąż. równo
m.
g, p
Obciąż
.
skupion
e
G, P
c
g
c
p
c
g
c
p
2
przęsła
I
M
max
0,086
0,105
0,167
0,198
M
min
-0,086
-0,105
-0,167
-0,198
HIPOTEZA HMH TEORII
SPRĘŻYSTOŚCI
Nośność przekrojów w stanie sprężystym:
Dla
xEd
=
NEd
+
MyEd
+
MzEd
interakcja N
s
– M
Sy
- M
Sz
1
f
3
f
σ
f
σ
f
σ
f
σ
2
d
Ed
d
zEd
d
xEd
2
d
zEd
2
d
xEd
1
M
M
M
M
N
N
zRd
zEd
yRd
yEd
Rd
Ed
KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH
Wpływ smukłości ścianek na nośność przekroju
m
– średnie naprężenie ściskające ściankę,
f
02
– granica plastyczności (rzeczywista lub umowna)
klasa 1 klasa 2 klasa 3 klasa
4
KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH
Klasa 1 –
przekroje, które osiągają nośność przegubu
plastycznego
(pl-pl)
i wykazują przy tym zdolność do obrotu niezbędną
do
plastycznej redystrybucji momentów
- dwuteowniki walcowane IPN, IPE, HEA,
HEB, HEM
(w belkach wieloprzęsłowych i ramach)
- procedury obliczeniowe z wykorzystaniem
wszystkich rezerw plastycznych wg tw. 1,
tw. 2 tw. 3
KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH
Klasa 2 –
przekroje, które osiągają nośność przegubu plastycznego
(pl-el)
i wykazują ograniczoną zdolność do obrotu na skutek
niestateczności miejscowej (w stanie plastycznym, stąd
nie jest możliwa plastyczna redystrybucja momentów)
- dwuteowniki walcowane IPN, IPE, HEA, HEB,
HEM
- procedury obliczeniowe z wykorzystaniem
rezerw plastycznych wg tw. 1 i tw. 2
KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH
Klasa 3 –
przekroje, które wykazują nośność nie mniejszą niż to
(el-el)
wynika z początku uplastycznienia strefy ściskanej,
lecz
wskutek niestateczności miejscowej (w stanie
sprężysto-
plastycznym) nie osiągają nośności przegubu
plastycznego
- kształtowniki zimnogięte, blachownice
- procedury obliczeniowe wg klasycznej
wytrzymałości materiałów (stany sprężyste)
KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH
Klasa 4 –
przekroje, które wskutek niestateczności
miejscowej (w sta-
(el-el)
nie sprężystym) wykazują nośność mniejszą niż
to wynika
z początku uplastycznienia strefy ściskanej
- blachownice, kształtowniki
zimnogięte,
- procedury obliczeniowe dla
blachownic stalowych
wg teorii nośności nadkrytycznej,
patrz. rys.:
b
e
= b
w
c
KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH
Klasa 4
– współczynnik stateczności miejscowej wg PN-EN
1993-1-5:
- dla ścianki stalowej podpartej na czterech
krawędziach:
c
= 1,0 dla
p
0,673
c
= [
p
– 0,055(3+)]/(
p
)
2
dla
p
> 0,673
- dla ścianki stalowej z krawędzią swobodną:
c
= 1,0 dla
p
0,748
c
= [
p
– 0,188]/(
p
)
2
dla
p
> 0,748
gdzie
σ
cr
y
p
k
28,4ε
b/t
σ
f
λ
KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH
Klasa 4 – współczynnik
c
=
KLASY PRZEKROJÓW ALUMINIOWYCH
Klasa 4 -
przekroje obliczeniowe ścianek
ze
stopów Al
.:
t
ei
= t
i
c
dla i = f, w
c
1
– współczynnik stateczności miejscowej
KLASY PRZEKROJÓW ALUMINIOWYCH
Klasa 4
– współczynnik stateczności miejscowej wg PN-EN 1999-
1-1:
1,0
β/ε
a
β/ε
a
ρ
2
2
1
C
Podparci
e ścianki
A
B
C
3
/
a
1
a
2
3
/
a
1
a
2
3
/
a
1
a
2
Krawędź
swobodn
a
6
10
24
5
9
20
4
8
16
Na całym
obwodzie
22
32
220 18
29
198
15
25
150
KLASY PRZEKROJÓW ALUMINIOWYCH
Klasa 4 – współczynnik
c
=
p
c
CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE KLASA
1-3
Dwuteowniki walcowane
PROJEKTOWANIE KONCEPCYJNE.
• Świadomy wybór projektanta typu konstrukcji
dostosowanej do funkcji i oczekiwanego okresu
użytkowania obiektu.
Projektowe okresy użytkowania wg PN-EN-1990
Kategoria okresu
Projektowy okres
Przykłady
1
10 lat
konstrukcje
tymczasowe
2
10-25 lat
wymienialne
części
konstrukcji
3
15-30 lat
konstrukcje
rolnicze
4
50 lat
konstrukcje
zwykłe
5
100 lat
mosty, budynki
monumentalne
Literatura do wykładu 10
1.
2. Gwóźdź M.: Stany graniczne konstrukcji
aluminiowych. Wydawnictwo Politechniki
Krakowskiej. Kraków 2007.