„Wszystko powinno być
wykonane tak prosto jak to
możliwe, ale nie prościej.”
Albert Einstein
„Wszystko powinno być
wykonane tak prosto jak to
możliwe, ale nie prościej.”
Albert Einstein
NOTACJA WYKŁADNICZA.
Notacja wykładnicza, zwana też notacją
naukową, to uproszczony sposób zapisywania
liczb, które normalnie zajmowałyby dużo
miejsca. Najważniejszym elementem notacji
wykładniczej
jest
odpowiednia
potęga
dziesiątki. Z notacją wykładniczą spotykamy
się najczęściej, gdy w grę wchodzą bardzo
duże lub bardzo małe liczby. Np.:
Powierzchnia Polski: 3,12683 ∙ 10
11
m
2
Masa wirusa grypy sezonowej: 7 ∙ 10
-16
kg
Odległość księżyca od Ziemi: 3,8 ∙ 10
6
km
Szybkość z jaką rośnie ludzki włos: 5 ∙ 10
9
m/s
Notacja wykładnicza polega a zapisywaniu
liczb w postaci ilorazu, w którym pierwszy
czynnik jest liczbą większą bądź równą 1 i
jednocześnie mniejszą od 10, a drugi jest
potęgą liczby dziesięć.
a ∙ 10
n
1 a < 10
n – liczba całkowita
NOTACJA WYKŁADNICZA.
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 1.
Zapisz w notacji wykładniczej:
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 2.
Zapisz w notacji wykładniczej:
25,9 ∙ 10
12
= 2,59 ∙ 10
13
Liczba 25,9 jest większa od 10 więc nie spełnia warunków
zapisu w notacji wykładniczej, musimy zatem ją zmniejszyć do
liczby 2,59. Robimy to przesuwając przecinek o jedno miejsce
w lewo, a więc do wykładnika dziesiątki dodajemy 1
(zwiększamy go o 1).
A tak ta operacja wygląda po rozpisaniu:
25,9 ∙ 10
12
= 2,59 ∙ 10 ∙ 10
12
= 2,59 ∙ 10
13
0,0135 ∙ 10
-9
= 1,35 ∙ 10
-11
Liczba 0,0135 jest mniejsza od 1 więc nie spełnia warunków
zapisu w notacji wykładniczej, musimy zatem ją zwiększyć do
liczby 1,35. Robimy to przesuwając przecinek o dwa miejsca w
prawo, a więc od wykładnika dziesiątki odejmujemy 2
(zmniejszamy go o 2).
A tak ta operacja wygląda po rozpisaniu:
0,0135 ∙ 10
-9
= 1,35 ∙ 10
-2
∙ 10
-9
= 1,35 ∙ 10
-11
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 2 – ciąg dalszy.
345 ∙ 10
24
= 3,45 ∙ 10
26
Liczbę 345 zmniejszyliśmy przesuwając przecinek o dwa
miejsca w lewo więc wykładnik dziesiątki zwiększyliśmy o 2.
0,0034 ∙ 10
-5
= 3,4 ∙ 10
-8
Liczbę 0,0034 zwiększyliśmy przesuwając przecinek o trzy
miejsca w prawo więc wykładnik dziesiątki zmniejszyliśmy o 3.
9762,2 ∙ 10
-14
= 9,7622 ∙ 10
-11
Liczbę 9762,2 zmniejszyliśmy przesuwając przecinek o trzy
miejsca w lewo więc wykładnik dziesiątki zwiększyliśmy o 3.
0,007 ∙ 10
45
= 7 ∙ 10
42
Liczbę 0,007 zwiększyliśmy przesuwając przecinek o trzy
miejsca w prawo więc wykładnik dziesiątki zmniejszyliśmy o 3.
DZIAŁANIA NA DANYCH
ZAPISANYCH W NOTACJI
WYKŁADNICZEJ.
Podczas obliczeń na danych zapisanych w
notacji wykładniczej należy korzystać z
własności działań na potęgach.
a
m
∙ a
n
= a
m + n
a
m
: a
n
= a
m –
n
dla a ≠ 0
(a
m
)
n
= a
m ∙ n
(a ∙ b)
n
= a
n
∙ b
n
(a : b)
n
= a
n
: b
n
dla b ≠ 0
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 1.
Wykonaj obliczenia, wynik zapisz w notacji
wykładniczej:
(2,5 ∙ 10
8
) ∙ (8 ∙ 10
12
) = 2,5 ∙ 10
8
∙ 8 ∙ 10
12
=
=2,5 ∙ 8 ∙ 10
8 + 12
= 2 ∙ 10
20
(6,4 ∙ 10
8
) ∙ (5,2 ∙ 10
-14
) = 6,4 ∙ 10
8
∙ 5,2 ∙
10
-14
=
= 6,4 ∙ 5,2 ∙ 10
8 + (-14)
= 33,28 ∙ 10
-6
= 3,328
∙ 10
-5
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 2.
Wykonaj obliczenia, wynik zapisz w notacji
wykładniczej:
5,95 ∙ 10
14
+ 9,6 ∙ 10
12
= 595 ∙ 10
12
+ 9,6 ∙
10
12
=
= (595 + 9,6) ∙ 10
12
= 604,6 ∙ 10
12
= 6,046
∙ 10
14
Żeby dodać do siebie dwie wielkości zapisane w notacji
wykładniczej muszą one mieć takie same wykładniki przy
dziesiątce. Gdy wykładniki się różnią możemy przekształcić
któreś z wyrażeń tak, aby wykładniki były równe. W naszym
przykładzie zwiększyliśmy liczbę 5,95 do 595 przesuwając
przecinek o dwa miejsca w prawo a więc wykładnik dziesiątki
musieliśmy zmniejszyć o 2 dzięki czemu otrzymaliśmy 10
12
PRZYKŁADY.
PRZYKŁAD 3.
Wykonaj obliczenia, wynik zapisz w notacji
wykładniczej:
7,567 ∙ 10
3
- 4 ∙ 10
-2
= 7,567 ∙ 10
3
–
0,00004 ∙ 10
3
=
= (7,567 – 0,00004 ) ∙ 10
3
= 7,56696 ∙ 10
3
W tym przykładzie zmniejszyliśmy liczbę 4 do 0,00004
przesuwając przecinek o pięć miejsc w lewo a więc wykładnik
dziesiątki musieliśmy zwiększyć o 5 dzięki czemu otrzymaliśmy
10
-2 + 5
= 10
3
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1.
Masa protonu wynosi około 1,7 ∙ 10
-27
kg, a
masa elektronu 9,1 ∙ 10
-31
kg. Ile razy proton
jest cięższy od elektronu?
Żeby odpowiedzieć na pytanie wystarczy
podzielić masę protonu przez masę elektronu
:
Odpowiedź: Proton jest ok. 1868 razy cięższy
od elektronu.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2.
Oblicz objętość sześcianu o krawędzi
długości
3 ∙ 10
-30
m.
Przypomnijmy wzór na objętość sześcianu o
boku długości a:
V = a
3
.
U nas a = 3 ∙ 10
-30
m, stąd mamy:
V = (3 ∙ 10
-30
)
3
= 3
3
∙ (10
-30
)
3
= 27 ∙ 10
-30 ∙ 3
= 27 ∙ 10
-90
=
= 2,7 ∙ 10
-89
(m
3
).
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3.
Zamień na m
2
i zapisz w notacji wykładniczej:
a)16 km
2
b)40 cm
2
a) 1 km = 1000 m
1 km
2
= (1000 m)
2
= 1000000 m
2
= 10
6
m
2
16 km
2
= 16 ∙ 10
6
m
2
= 1,6 ∙ 10
7
m
2
b) 1 cm = 0,01 m
1 cm
2
= (0,01 m)
2
= 0,0001 m
2
= 10
-4
m
2
40 cm
2
= 40 ∙ 10
-4
m
2
= 4 ∙ 10
-3
m
2
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4.
Przyjmując, że odległość Ziemi od Słońca jest
równa
1,5 ∙ 10
11
m a prędkość światła wynosi 300
000 km/s, oblicz, w jakim czasie światło
dociera ze Słońca na Ziemię. Wynik podaj w
minutach i sekundach.
Najpierw należy zapisać prędkość światła w
notacji wykładniczej i zamienić jednostkę na
m/s:
300 000 km/s = 3 ∙ 10
5
km/s
1 km = 1000 m = 10
3
m
3 ∙ 10
5
km/s = 3 ∙ 10
5
∙ 10
3
m/s = 3 ∙ 10
8
m/s .
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4 – ciąg dalszy.
W celu wyliczenia czasu, w jakim światło
dociera ze Słońca na Ziemię dzielimy
odległość Słońca od Ziemi przez szybkość
światła (t = s : v):
Otrzymany wynik – 500 s – zamieniamy na
minuty dzieląc przez 60:
Odpowiedź: Czas, w jakim światło dociera ze
Słońca na Ziemię wynosi 8 min 20 s.
DUŻE LICZBY W NOTACJI
WYKŁADNICZEJ.
tysiąc
10
3
sekstyli
on
10
36
milion
10
6
septylio
n
10
42
miliard
10
9
oktylion
10
48
bilion
10
12
nonilion
10
54
trylion
10
18
decylion
10
60
kwadrylio
n
10
24
googol
10
100
kwintylio
n
10
30
centylio
n
10
600
Formalnie przed każdą potęgą powinno znajdować się „1 ∙
” ale pominięcie mnożenia przez 1 nie zmienia wartości
liczby a upraszcza zapis.