Środek ciężkości

Zagadnienie wyznaczania środków ciężkości brył, 
figur płaskich i linii wiąże się ścisłe z zagadnieniem 
wyznaczania środka sił równoległych, gdyż 
najczęściej spotykanym przykładem sił równoległych 
są siły ciężkości (tj. siły przyciągania cząstek ciała 
materialnego przez kulę ziemską), skierowane prosto 
do środka ziemi. Siły te możemy traktować jako 
równoległe, gdyż wymiary ciał rozpatrywanych w 
zastosowaniach technicznych są bardzo małe w 
porównaniu z promieniem kuli ziemskiej. Siły 
ciężkości są szczególnym przypadkiem sił 
objętościowych, a więc działają na każdy element 
objętości danego ciała 

Środek sił równoległych –metoda wykreślna

A B C- punkt zaczepienia sił

Wielobokiem sznurowym wyznaczamy 
linię działania siły wypadkowej

Środek sił równoległych

Obracamy wszystkie 
siły o dowolny kąt 
np.90

0

Wielobokiem sznurowym wyznaczamy 
linię działania siły wypadkowej

Cs –środek sił równoległych

Środek sił równoległych zależy od wartości i i 
punktów zaczepienia tych sił

Środek sił równoległych –metoda analityczna

- wypadkowa sił

Moment wypadkowej

Odcięta środka sił  równoległych

Obracamy wszystkie siły o dowolny 
kąt np.90

0

rzędna środka sił  równoległych

Wyznaczanie położenia środka ciężkości

Ciężar ciała

Elementarne siły ciężkości

Jeżeli środek ciężkości leży poniżej 
punktu podparcia – ciało jest w 
równowadze stałej. Przy wychyleniu 
siła G powoduje powrót do 
pierwotnego położenia.

Jeżeli środek ciężkości leży powyżej 
punktu podparcia – ciało jest w 
równowadze chwiejnej. Nieznaczne 
odchylenie powoduje pojawienie się 
pary sił wychylającej ciało od 
położenia równowagi.

Jeżeli środek ciężkości pokrywa się z  
punktem podparcia – ciało jest w 
równowadze obojetnej. Ciało będzie 
w równowadze przy dowolnym 
wychyleniu.

TWIERDZENIA DOTYCZĄCE  ŚRODKA MASY:

1)środek  masy  układu  płaskiego  leży  w  płaszczyźnie  tego 
układu

2)środek masy linii prostej leży na tej linii

3)środek  masy  dwóch  punktów    materialnych  leży  na  prostej 
łączącej te punkty i dzieli ją na odcinki o długościach odwrotnie 
proporcjonalnych do ich mas.

4)Środek  masy  układu  mającego  środek  symetrii  leży  w  tym 
środku. Jeżeli układ ma 2 lub więcej osi symetrii to środek leży 
w punkcie przecięcia się tych osi

5)Rzut środka ciężkości figury płaskiej na dowolną płaszczyznę 
jest środkiem ciężkości rzutu tej figury na dowolną płaszczyznę.

6)Moment 

statyczny 

względem 

osi 

lub 

płaszczyzny 

przechodzącej przez środek ciężkości jest zawsze równy 0.

7)Moment statyczny nie zmieni się jeżeli zamiast części układu 
wprowadzimy  punkt  materialny  o  masie  równej  masie  danej 
części leżący w środku ciężkości tej części masy.

2. 

Środek ciężkości linii

.

l

1

l

2

l

3

y

x

x

1

x

2

x

3

y

1

y

2

y

3

Współrzędne środka ciężkości linii.

3

2

1

3

3

2

2

1

1

3

2

1

3

3

2

2

1

1

l

l

l

y

l

y

l

y

l

y

l

l

l

x

l

x

l

x

l

x

o

o

































3. 

Środek ciężkości figur płaskich

S

1

S

2

x

1

x

2

y

2

y

1

y

x

Współrzędne środka ciężkości pola 

przekroju.

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

S

S

y

S

y

S

y

S

S

x

S

x

S

x

o

o





















Przykład:

      

1

1

0













n

i

i

n

i

i

i

l

x

l

x

      

1

1

0













n

i

i

n

i

i

i

l

y

l

y

Współrzędne środka ciężkości linii

Moment statyczny linii.

Momentem  statycznym  linii  względem 
dowolnej  osi  nazywamy  iloczyn  długości 
tej  linii  i  współrzędnej  środka  ciężkości 
tej linii względem tej samej osi.

l

y

y

l

l

x

x

l

n

i

i

i

n

i

i

i





















0

1

0

1

 

 

      

1

1

0













n

i

i

n

i

i

i

S

x

S

x

      

1

1

0













n

i

i

n

i

i

i

S

y

S

y

Współrzędne środka ciężkości figur 
płaskich

Momentem statycznym figury płaskiej 
względem dowolnej osi nazywamy iloczyn 
pola tej figury i współrzędnej środka 
ciężkości tej figury względem tej samej osi.

S

y

y

S

S

x

x

S

n

i

i

i

n

i

i

i





















0

1

0

1

 

 

Moment statyczny figur płaskich

Metoda wykreślna wyznaczania środka ciężkości:

Przykład 1
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej 
przedstawionej na rysunku 

Obliczenia współrzędnych 
środka ciężkości rozpatrywanej 
figury płaskiej przeprowadza 
się przy zastosowaniu metody 
dzielenia. Pola powierzchni i 
współrzędne środków ciężkości 
poszczególnych elementów 
składowych tej figury płaskiej 
są równe

Stąd:

Przykład 2
Znaleźć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku

 

Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury 
płaskiej wyznacza się przy zastosowaniu metody 
mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne 
środków ciężkości prostokąta 2r r, połowy koła o 

promieniu r i koła o promieniu  

r

/

4

 wynoszą

Stąd: