WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
prowadzący
prof. dr hab. inż. Kazimierz WÓJS
Wykład 8
Opracował
Andrzej Sitka
OBLICZENIA ZBIORNIKÓW
OBLICZENIA ZBIORNIKÓW
CIENKOŚCIENNYCH
CIENKOŚCIENNYCH
WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW
prowadzący
prof. dr hab. inż. Kazimierz WÓJS
Wykład 8
Opracował
Andrzej Sitka
OBLICZENIA ZBIORNIKÓW
OBLICZENIA ZBIORNIKÓW
CIENKOŚCIENNYCH
CIENKOŚCIENNYCH
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Naczynia cienkościenne są to konstrukcje takie jak:
•
zbiorniki otwarte lub zamknięte,
•
naczynia ciśnieniowe,
•
kotły parowe,
•
autoklawy,
•
rurociągi, itp.
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Grubości ścian takich konstrukcji są małe w
porównaniu z innymi wymiarami takiego zbiornika (np.
w porównaniu do promieni krzywizn) i nie popełnia się
wówczas większego błędu przyjmując założenie, że
pod działaniem ciśnienia wewnętrznego p w ściankach
naczyń powstają głównie naprężenia rozciągające.
Rys. 1. Naprężenia
w powłoce kulistej; wewnątrz
powłoki ciśnienie czynnika p
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Przeprowadźmy
analizę
naprężeń
w
naczyniu
cienkościennym o kształcie powierzchni obrotowej,
poddanym działaniu ciśnienia wewnętrznego p.
Rys. 2. Rozkład naprężeń w elemencie ABCD
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Rozpatrzmy nieskończenie mały element o
wymiarach ds
1
ds
2
. Boki tego wycinka są odpowiednio
równoległe
do
równoleżnika
i
południka,
przechodzących przez środek wycinka.
Na element ten działa od wewnątrz zbiornika
ciśnienie p skierowane prostopadle do powierzchni
wewnętrznej elementu.
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Ponieważ rozpatrywany element ma wymiary
nieskończenie małe (ds
1
, i ds
2
), to możemy z
dokładnością do nieskończenie małych wyższego
rzędu uważać łuki tego elementu w kierunku osi x i osi
z za łuki okręgów, których promienie krzywizny są
odpowiednio równe
1
oraz
2
.
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Kąty
środkowe
(d
1
i
d
2
)
obejmujące
rozpatrywany wycinek będą zależne od wymiarów
wycinka:
1
1
1
d
ds
(1)
Warunki równowagi wycinka wyznaczymy rzutując siły
– na kierunek osi normalnej (y)(rys.2).
Działają tu przede wszystkim siły ciśnienia p, które na
nieskończenie
małym
wycinku
ABCD
możemy
traktować jako wzajemnie równoległe, i zarazem
równoległe do osi y.
2
2
2
d
ds
(2)
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Działanie ich sprowadzi się do wpadkowej skierowanej
wzdłuż osi y, o wartości równej iloczynowi ciśnienia
przez powierzchnię elementu:
(3)
Wypadkowa ta jest równoważona naprężeniami
działającymi
na
powierzchniach
bocznych
rozpatrywanego elementu, a więc naprężenia
1
na
bokach
oraz
2
na bokach .
2
1
ds
ds
p
pA
CD
AB
BC
AD
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Wypadkowa naprężeń działających na boku będzie
równa wypadkowej na boku , osiągając przy grubości
ścianki g wartość:
(4)
i rzut na kierunek osi y wyniesie:
g
ds
A
2
1
1
1
AB
CD
2
sin
1
2
1
d
g
ds
(5)
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Uwzględniając
symetrię
wycinka:
wypadkowa
naprężeń działająca na bok będzie miała identyczną
wartość, więc suma rzutów tych dwóch sił na oś y
wyniesie:
(6)
CD
2
sin
2
1
2
1
d
g
ds
Analogicznie naprężenia
2
działające na bok o
powierzchni gds
1
dadzą wypadkową
g
ds
1
2
AD
(7)
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
a suma rzutów na oś y naprężeń działających na
bokach i wyniesie:
(8)
Równanie równowagi wycinka powłoki przedstawia się
w następującej postaci:
(9)
AD
BC
2
sin
2
2
1
2
d
g
ds
0
2
sin
2
2
sin
2
2
1
2
1
2
1
2
1
d
g
ds
d
g
ds
ds
ds
p
F
Y
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Dla małych wartości kąta d przyjmuje się, że ,
więc równanie (9) przybierze postać:
(10)
Po podstawieniu zależności (1) i (2) otrzymamy:
(11)
2
2
sin
d
d
0
2
1
2
1
2
1
2
1
d
g
ds
d
g
ds
ds
ds
p
0
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
ds
g
ds
ds
g
ds
ds
ds
p
Naprężenia w naczyniach
cienkościennych
Dzieląc obie strony równania przez jednomian
(gds
1
ds
2
) otrzymamy szukaną zależność między
naprężeniami
1
i
2
, ciśnieniem p grubością ścianki g i
promieniami krzywizn
1
i
2
dla dowolnego naczynia
cienkościennego
(12)
g
p
2
2
1
1
wzór Laplace’a
Naprężenia w walczakach i
powłokach kulistych
Walczak jest to zbiornik cylindryczny zaopatrzony w
dwa przyspawane lub przynitowane dna (rys.3).
Rys. 3. Naprężenia wzdłużne
2
w walczaku
Naprężenia w walczakach i
powłokach kulistych
Promień krzywizny
1
staje się promieniem walca r =
½d a promień krzywizny tworzącej
2
=
.
Równanie (12) przyjmuje postać:
(13)
g
p
r
2
1
więc naprężenia obwodowe przyjmują postać:
g
d
p
g
r
p
2
1
(14)
Naprężenia w walczakach i
powłokach kulistych
W
celu
wyznaczenia
wartości
naprężeń
2
,
przeprowadzimy w dowolnym miejscu walczaka
fikcyjny przekrój płaszczyzną AB i rozpatrzmy siły
działające na odciętą część
Rys. 4. Rozkład naprężeń w walczaku
Naprężenia w walczakach i
powłokach kulistych
Wypadkowa ciśnienia wewnętrznego, działająca na
odciętą część walczaka, wynosząca
r
2
p usiłuje
oderwać rozpatrywaną część od reszty walczaka. Jeżeli
istnieje stan równowagi, to wypadkowa ciśnień jest
zrównoważona wypadkową naprężeń
2
działających
na całym obwodzie płaszcza walczaka:
(15)
Obie siły działają wzdłuż osi walczaka, więc
uwzględniając ich kierunki działania można napisać
warunki równowagi:
(16)
2
2
g
r
0
2
2
2
g
r
p
r
Naprężenia w walczakach i
powłokach kulistych
stąd
(17)
Porównując równania (14) i (17) otrzymujemy
zależność
(18)
g
d
p
g
r
p
4
2
2
2
1
2
czyli naprężenia obwodowe w walczaku są dwa razy
większe od naprężeń wzdłużnych.
Naprężenia w walczakach i
powłokach kulistych
Z tego powodu szwy wzdłużne powinny być
szczególnie
starannie
wykonane,
a
pęknięcia
walczaków lub przewodów rurowych spowodowane
działaniem ciśnienia wewnętrznego przebiegają wzdłuż
tworzących.
W celu wyznaczenia naprężeń występujących w
powłoce kulistej wystarczy do wzoru (12)
podstawić
1
=
2
= r. Naprężenia w dowolnym
przekroju powłoki kulistej poddanej działaniu ciśnienia
wewnętrznego są jednakowe i wynoszą:
(19)
g
p
2
2
1
1
g
d
p
g
r
p
4
2
Naprężenia w walczakach i
powłokach kulistych
OBLICZENIA ELEMENTÓW
OBLICZENIA ELEMENTÓW
OSIOWOSYMETRYCZNYCH
OSIOWOSYMETRYCZNYCH
: TARCZ I RUR
: TARCZ I RUR
GRUBOŚCIENNYCH POD
GRUBOŚCIENNYCH POD
CIŚNIENIEM
CIŚNIENIEM
Elementami osiowo-symetrycznymi w budowie maszyn
są:
•
krążki lub tarcze,
•
rury grubościenne.
Elementy te mogą znajdować się w spoczynku pod
działaniem obciążeń (np. rury grubościenne), albo w
ruchu obrotowym (np. wirniki lub tarcze).
Podczas ruchu obrotowego przyjmuje się stałą
prędkość kątową , a więc uwzględnia się jedynie
promieniowe siły masowe (bezwładności):
r
dV
q
r
2
(1)
pomijając obciążenia obwodowe występujące w
przypadku, gdy prędkość kątowa jest zmienna.
Rozpatrzymy krążek o grubości g (
),
obciążony naprężeniami powierzchniowymi S
a
, S
b
na
wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni krążka oraz
promieniowym obciążeniem masowym q
r
.
(2)
TARCZA KOŁOWA O STAŁEJ
GRUBOŚCI
b
a
g
,
r
q
r
2
Tak obciążony krążek nazywamy
tarczą
.
Wyznaczenie rozkładu naprężeń i odkształceń
jest zadaniem statycznie niewyznaczalnym, więc
trzeba zastosować metody przemieszczeń.
Warunki geometryczne
Pod wpływem obciążenia tarczy przemieszczenie
pewnego wybranego punktu A, odległego od osi tarczy
r będzie równe
.
Rys. 1. Tarcza koła z otworem
'
AA
u
Z powodu osiowej symetrii kształtu i obciążenia
przemieszczenia wszystkich punktów tarczy, leżących
na tym promieniu, będą takie same. Pod wpływem
obciążenia pierwotny okrąg o promieniu r zmieni się w
okrąg o promieniu r+u.
Odkształcenie obwodowe wyraża równanie:
(3)
Warunki geometryczne
r
u
r
r
u
r
t
2
2
2
Odcinek
zmieni się pod wpływem
obciążenia w odcinek
, a odkształcenie
promieniowe przedstawia wzór:
(4)
Warunki geometryczne
dr
AB
du
dr
B
A
'
'
dr
du
dr
dr
du
dr
r
Poddajmy
analizie
element
abcd
tarczy
pokazanej na rys.2
Związki fizyczne
Rys. 2. Rozkład naprężeń w elemencie abcd
Na powierzchniach bocznych tego elementu nie
występują naprężenia styczne (z powodu symetrii),
tylko naprężenia normalne (główne).
Ze względu na to, że górna i dolna powierzchnia tarczy
są swobodne, na powierzchnie boczne elementu abcd
działają naprężenia obwodowe
t
i promieniowe
r
. Jest
to więc
płaski stan naprężenia.
Związki fizyczne
Dla płaskiego stanu naprężenia związki fizyczne
możemy zapisać w postaci:
Związki fizyczne
dr
du
r
u
E
E
r
t
t
2
2
1
1
(5)
r
u
dr
du
E
E
t
r
r
2
2
1
1
(6)
Równania naprężenia są wyrażone jako funkcje
przemieszczenia u, które z kolei jest funkcją promienia
r.
Możemy zapisać tylko jeden warunek równowagi, a
mianowicie równanie sumy rzutów sił na kierunek
promienia tarczy:
Warunki równowagi
(7)
(8)
Dla bardzo małych kątów
otrzymamy:
0
2
sin
2
drg
rd
q
g
d
dr
r
d
d
drg
g
rd
F
r
r
r
t
r
r
2
2
sin
d
d
0
drg
rd
q
g
d
dr
r
d
d
drg
g
rd
r
r
r
t
r
Po wykonaniu działań, pominięciu małych wielkości
trzeciego rzędu i podzieleniu przez drd
g otrzymamy:
Warunki równowagi
(9)
(10)
Po
uwzględnieniu
związków
fizycznych
i
przekształceniach otrzymamy:
0
r
q
dr
r
d
r
t
r
0
1
1
2
2
2
2
r
q
E
r
u
dr
du
r
dr
u
d
Rozwiązaniem
równania
różniczkowego
będzie
wyrażenie:
Warunki równowagi
(11)
(12)
Wstawiając wzór (11) do związków fizycznych
otrzymamy równania:
3
2
2
2
2
1
8
1
r
E
r
a
C
r
C
r
u
2
2
2
2
2
1
8
3
1
r
r
a
B
B
t
2
2
2
2
2
1
8
3
r
r
a
B
B
r
(13)
gdzie:
Warunki równowagi
(14)
(15)
Stałe B
1
i B
2
wyznaczymy z następujących warunków
brzegowych:
r
=S
a
dla r=a oraz
r
=S
b
dla r=b.
(13)
1
1
1
EC
B
1
2
2
EC
B
Otrzymamy więc:
Warunki równowagi
(16)
(17)
W równaniach tych
(18)
b
a
S
a
b
b
S
a
b
a
S
b
a
B
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
8
3
b
a
S
a
b
b
S
a
b
b
S
B
2
2
2
2
2
2
2
8
3
2
b
S
Jest to naprężenie obwodowe w wirującym cienkim
pierścieniu o promieniu b równym promieniowi
zewnętrznemu tarczy.
Stałe C
1
i C
2
wyznaczymy porównując wzór (14) z (15)
oraz wzór (15) ze wzorem (17). Otrzymamy stąd:
Warunki równowagi
(19)
(20)
b
a
S
a
b
b
S
a
b
a
S
b
a
E
B
E
C
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
8
3
1
1
b
a
S
a
b
b
S
a
b
b
S
E
B
E
C
2
2
2
2
2
2
2
2
8
3
1
1
Przemieszczenia na wewnętrznym i zewnętrznym
promieniu tarczy wyznaczamy podstawiając do wzoru
(11) kolejno r=a oraz r=b. Otrzymamy stąd:
Warunki równowagi
(21)
(22)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
1
4
3
a
b
b
E
a
S
a
b
a
b
E
a
S
b
a
E
a
S
u
b
a
a
r
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
1
4
3
a
b
a
b
E
b
S
a
b
a
E
b
S
b
a
E
b
S
u
b
a
b
r
Naprężenia wyznaczymy z następujących zależności:
Warunki równowagi
(23)
(24)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
3
1
8
3
1
8
3
r
r
a
S
a
b
b
S
a
b
b
S
S
a
b
b
S
a
b
a
S
b
a
b
a
b
a
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
3
8
3
1
8
3
r
r
a
S
a
b
b
S
a
b
b
S
S
a
b
b
S
a
b
a
S
b
a
b
a
b
a
r
które otrzymamy podstawiając wzory (16) i (17) do
wzorów (12) i (13).
Stan bezpieczeństwa tarczy ocenia się na podstawie
naprężeń redukowanych. Przyjmując
1
=
t
,
2
=
r
,
3
=0, naprężenie redukowane obliczamy z zależności:
Warunki równowagi
(25)
2
2
r
r
t
t
red
Przypadek 1
S
0, S
a
, S
b
Podstawiając te wartości do równań (23) i (24)
otrzymamy:
Analiza naprężeń
wywołanych obciążeniami
składowymi
(26)
(27)
S
b
r
r
a
b
a
t
2
2
2
2
2
2
3
3
1
1
8
3
S
b
r
r
a
b
a
r
2
2
2
2
2
2
1
8
3
Wykres naprężeń (odniesionych do S
) obwodowych
t
S
oraz promieniowych
r
S
, jako funkcji promienia
tarczy r (dla =0,3) pokazano na rys. 3.
Analiza naprężeń
wywołanych obciążeniami
składowymi
Rys. 3. Wykres naprężeń obwodowych i promieniowych
odniesionych do S
(dla =0,3)
Analiza naprężeń
wywołanych obciążeniami
składowymi
Niebezpiecznym miejscem tarczy jest jej brzeg
wewnętrzny (promień r=a), dla którego maksymalne
naprężenie redukowane będzie:
S
b
a
a
r
t
red
2
2
)
(
3
1
1
4
3
(28)
Przypadek 2
S
0, S
a
, S
b
Podstawiając te wartości do równań (23) i (24)
otrzymamy:
Analiza naprężeń
wywołanych obciążeniami
składowymi
(29)
(30)
2
2
2
2
2
1
r
b
a
b
a
S
a
t
2
2
2
2
2
1
r
b
a
b
a
S
a
r
Wykres naprężeń (odniesionych do S
a
) obwodowych
t
S
a
oraz promieniowych
r
S
a
, jako funkcji promienia
tarczy r (dla =0,3) pokazano na rys. 4.
Analiza naprężeń
wywołanych obciążeniami
składowymi
Rys. 4. Wykres naprężeń obwodowych i promieniowych
odniesionych do S
a
(dla =0,3)
Analiza naprężeń
wywołanych obciążeniami
składowymi
a
t
S
a
b
a
b
ekstr
2
2
2
2
a
r
S
ekstr
(31)
(32)
Maksymalne naprężenie zredukowane obliczymy:
a
red
a
a
a
a
red
S
a
b
a
b
S
S
S
a
b
a
b
S
a
b
a
b
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
(33)
Przypadek 3
S
0, S
a
, S
b
Podstawiając te wartości do równań (23) i (24)
otrzymamy:
Analiza naprężeń
wywołanych obciążeniami
składowymi
(34)
(35)
2
2
2
2
2
1
r
a
a
b
b
S
b
t
2
2
2
2
2
1
r
a
a
b
b
S
b
r
Wykres naprężeń (odniesionych do S
b
) obwodowych
t
S
b
oraz promieniowych
r
S
b
, jako funkcji promienia
tarczy r (dla =0,3) pokazano na rys. 5.
Analiza naprężeń
wywołanych obciążeniami
składowymi
Rys. 5. Wykres naprężeń obwodowych i promieniowych
odniesionych do S
b
(dla =0,3)
Analiza naprężeń
wywołanych obciążeniami
składowymi
Niebezpiecznym miejscem tarczy jest jej brzeg
wewnętrzny (promień r=a), dla którego maksymalne
naprężenie redukowane będzie:
(36)
2
2
2
2
a
b
b
S
b
a
r
t
red
RURY GRUBOŚCIENNE POD
DZIAŁANIEM CIŚNIENIA
Obliczenia rur grubościennych pod działaniem
ciśnienia wewnętrznego i zewnętrznego (zadanie
Lame’go) można wykonać wykorzystując równania dla
tarczy o stałej grubości, jeżeli przyjmie się =0.
Przeanalizujmy wycięty w myśli element rury o
grubości jednostkowej.
RURY GRUBOŚCIENNE POD
DZIAŁANIEM CIŚNIENIA
Przyjmując, że S
a
p
a
, S
b
p
b
, i wykorzystując wzory
(12), (13), (16) i (17) otrzymamy zależności (=0):
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
r
a
a
b
b
p
r
b
a
b
a
p
b
a
t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
r
a
a
b
b
p
r
b
a
b
a
p
b
a
r
(38)
(37)
Rozpatrzmy
oddzielne
działanie
obciążeń
na
powierzchni wewnętrznej i zewnętrznej.
RURY GRUBOŚCIENNE POD
DZIAŁANIEM CIŚNIENIA
Przypadek 1
p
a
0
, p
b
dla r = a
(40)
(39)
dla r = b
2
2
2
2
a
b
a
b
p
a
t
a
r
p
2
2
2
2
a
b
a
p
a
t
0
r
(42)
(41)
RURY GRUBOŚCIENNE POD
DZIAŁANIEM CIŚNIENIA
Przypadek 2
p
a
0
, p
b
dla r = a
(44)
(43)
dla r = b
(46)
(45)
2
2
2
2
a
b
b
p
b
t
0
r
2
2
2
2
a
b
a
b
p
b
t
b
r
p
RURY GRUBOŚCIENNE POD
DZIAŁANIEM CIŚNIENIA
Rys. 6. Rozkład naprężeń
t
i
r
w rurze wywołanych
działaniem ciśnienia p
a
oraz p
b
(dla b=2a)
Zmianę grubości wyciętego w myśli elementu
rury spowodowanego przez te naprężenia określimy z
następującej zależności:
RURY GRUBOŚCIENNE POD
DZIAŁANIEM CIŚNIENIA
Zmianę grubości wyciętego w myśli elementu
rury spowodowanego przez te naprężenia określimy z
następującej zależności:
2
2
2
2
3
a
b
a
p
b
p
E
E
a
b
r
t
(47)
Z równania tego wynika, że
const, bo wszystkie
wielkości są stałe. Element ten pozostaje po
odkształceniu płaski, a więc ciągłość rury zostaje
zachowana.
RURY GRUBOŚCIENNE POD
DZIAŁANIEM CIŚNIENIA
Naprężenia redukowane obliczymy podobnie jak
dla tarczy (hipoteza Hubera) przy obciążeniu tylko
ciśnieniem wewnętrznym p
a
.
Maksymalne naprężenie redukowane występuje na
wewnętrznej powierzchni rury (r = a):
(48)
2
2
4
4
max
3
a
b
a
b
p
a
red
Rury o bardzo dużej grubości
Rozpatrzmy rurę o dużej grubości (b),
obciążoną tylko ciśnieniem wewnętrznym p
a
.
Naprężenia dla takiego przypadku można obliczyć:
(49)
2
2
r
a
p
a
t
2
2
r
a
p
a
r
(50)
Niebezpiecznym miejscem w takiej rurze jest jej
powierzchnia wewnętrzny (promień r = a) i naprężenie
redukowane będzie wynosiło:
3
a
red
p
(51)
Rury wielowarstwowe
Bezpieczeństwo rury można zwiększyć stosując
rury wielowarstwowe (łączone z wciskiem).
Rozpatrzmy rurę dwuwarstwową, której promienie w
stanie wyjściowym są następujące:
•
a – promień wewnętrzny rury wewnętrznej,
•
c+
– promień zewnętrzny rury wewnętrznej,
•
c – promień wewnętrzny rury zewnętrznej,
•
b – promień zewnętrzny rury zewnętrznej.
Rury wielowarstwowe
Nałożenie rozgrzanej rury zewnętrznej na
wewnętrzną spowoduje po ochłodzeniu ciśnienie
(wcisk) p
c
.
Ciśnienie p
c
działające na obydwie rury w miejscu
styku określimy z równania ciągłości przemieszczeń na
promieniu c.
Dla rury wewnętrznej, (p
wewn
= p
a
= 0, p
zewn
= p
c
):
2
2
2
2
a
c
a
c
E
c
p
c
u
c
c
c
r
(52)
Rury wielowarstwowe
Dla rury zewnętrznej, (p
wewn
= p
c
, p
zewn
= p
b
= 0):
(53)
2
2
2
2
c
b
c
b
E
c
p
c
u
c
c
c
r
Z porównania powyższych równań otrzymamy:
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
c
b
c
b
a
b
c
a
c
c
b
E
p
c
(54)
Zbiorniki grubościenne
Jeśli rura zostanie zamknięta (powstaje zbiornik
grubościenny), to w przypadku, gdy długość
,
rozkład naprężeń na grubości rury można uznać za
równomierny i naprężenie osiowe
0
(w kierunku osi
rury) wyznaczymy z zależności:
(55)
b
l
2
2
2
2
2
2
2
2
0
a
b
b
p
a
p
a
b
p
b
p
a
b
a
b
a
Niebezpiecznym miejscem jest w tym przypadku
powierzchnia wewnętrzna zbiornika, a naprężenie
redukowane dla r = a wyznaczymy z zależności:
(56)
2
2
3
3
a
b
b
p
p
b
a
red
Zbiorniki grubościenne