Analiza konstrukcji
Imperfekcje geometryczne
Imperfekcje geometryczne - niekorzystne wpływy
możliwych geometrycznych odchyłek (odchyleń od
zaplanowanego kształtu)
Należy je uwzględniać w stanach granicznych
nośności,
w stałych i wyjątkowych sytuacjach obliczeniowych.
Nie wymaga się uwzględniania imperfekcji w stanach
granicznych użytkowalności.
Imperfekcje mogą być reprezentowane przez
kąt pochylenia θ
l
θ
l
= θ
0
α
h
α
m
• Θ
0
– wartość bazowa
• α
h
– współczynnik redukcyjny długości lub wysokości
• α
m
– współczynnik redukcyjny ze względu na liczbę
elementów
Zalecana jest wartość
θ
0
= 1/200
α
h
= 2/3 ≤ α
h
≤ 1
l – długość lub wysokość [m]
α
m
=
m – liczba elementów pionowych
l
2
m
1
1
5
,
0
• Jeżeli rozpatruje się
wydzielony element
to:
l – rzeczywista długość elementu; m = 1
• Jeżeli rozpatruje się
system usztywniający
to:
l – wysokość budynku;
m – liczba elementów pionowych,
przenoszących siły poziome,
• Jeżeli rozpatruje się
przepony utworzone
przez dachy lub stropy
to:
l – wysokość kondygnacji,
m – liczba elementów pionowych na piętrze
Definicje l i m
Wpływ imperfekcji na elementy wydzielone
można uwzględniać jako:
• mimośród e
i
e
i
= 0,5 θ
i
l
0
l
0
– długość
efektywna
jako uproszczenie można przyjmować
e
i
= l
0
/400
(zbrojenie symetryczne
e
0
= h /30 ≥ 20 mm)
• siłę H
i
, poprzecznie obciążającą układ, umieszczoną
tak, żeby uzyskać największy moment
- w elementach nieusztywnionych
H
i
= θ
i
N
- w elementach usztywnionych
H
i
= 2 θ
i
N
N – siła podłużne
Wpływ imperfekcji geometrycznych -
przykłady
a1) nieusztywnione
a2) usztywnione
a) wydzielone elementy z siłą przyłożoną mimośrodowo lub z siłą działającą poprzecznie
Wpływ pochylenia θ
i
na konstrukcję można
uwzględniać jako:
• wpływ na system usztywniający
H
i
= θ
i
(N
b
- N
a
)
• wpływ na przeponę stropową
H
i
= 0,5 θ
i
(N
b
+ N
a
)
• wpływ na przeponę dachową
H
i
= θ
i
N
a
N
a
i N
b
są siłami podłużnymi wpływającymi na H
i
Jako uproszczenie można stosować mimośród
e
i
= l
0
/400
Wpływ imperfekcji geometrycznych -
przykłady
b) system usztywnienia c1) przepona stropowa c2) przepona dachowa
Zginanie ukośne
M
Edy
- moment obliczeniowy względem osi y
M
Edz
- moment obliczeniowy względem osi x
N
Ed
- obliczeniowa siła podłużna
Momenty określa się z uwzględnieniem efektów
II rzędu
Ukośne zginanie i ściskanie
Pierwsze przybliżenie
– obliczanie oddzielne dla każdego
kierunku głównego.
Imperfekcje
tylko na kierunku, w którym ich
wpływ jest bardziej niekorzystny.
Dalsze sprawdzanie
nie jest konieczne
, gdy
λ
y
/ λ
z
≤ 2 i λ
z
/ λ
y
≤ 2
oraz gdy
0,2
/h
e
/b
e
lub
0,2
/b
e
/h
e
eq
y
eq
z
eq
z
eq
y
Dla przekroju prostokątnego oznacza to:
Jeżeli te warunki nie są spełnione, musimy
uwzględnić obciążenie ukośne, a wtedy:
)
tg(
EJ
EJ
)
tg(
y
x
)
tg(
b
h
)
tg(
2
Powierzchnia interakcji M
Rd
- N
Ed
Przy danym
kącie β
Powierzchnia interakcji M
Rd
- N
Ed
Przy
danej
sile N
Ed
Powierzchnia interakcji M – N ma
postać:
Zbrojenie symetryczne
Metody sprawdzania nośności:
Metoda przyjęta w
PN 2002 i w Komentarzu do ACI 318-
02
gdzie:
N
Ed
- obliczeniowa siła podłużna
N
Rdx
- obliczeniowa nośność, z uwzględnieniem wpływu
smukłości, w płaszczyźnie x
N
Rdy
- jak wyżej, w płaszczyźnie y
N
Rd0
- obliczeniowa nośność przekroju obciążonego
osiowo, bez wpływu smukłości
0
1
1
1
1
Rd
Rdy
Rdx
Ed
N
N
N
N
Metoda według PN-EN
:
0
.
1
M
M
M
M
Rdy
Edy
Rdx
Edx
Przy sile podłużnej N
Ed
musi być spełniony warunek:
gdzie:
M
Edx
M
Edy
- momenty obliczeniowe, z
uwzględnieniem
efektów II rzędu
M
Rdx
M
Rdy
- momenty graniczne (nośność przekroju)
w odpowiedniej płaszczyźnie)
α - wykładnik potęgi
Wartości wykładnika α zależą od siły obciążającej
przekrój:
gdzie:
N
Ed
- obliczeniowa siła podłużna
N
Rd
= A
c
f
cd
+ A
s
f
yd
A
c
- całkowite pole przekroju betonu
A
s
- pole przekroju zbrojenia podłużnego
N
Ed
/N
Rd
0,1
0,7
1,0
=
1,0
1,5
2,0
Do wyznaczenia wartości pośrednich można stosować interpolację
liniową
Graficzna interpretacja tych zależności
Graficzna interpretacja tych zależności
Porównanie wyników
Porównanie wyników obliczeniowych
0
500
1000
1500
2000
2500
0
20
40
60
80
100
120
140
N, MPa
M
I
, MPa
a - według EC2 =1
b - według EC2 według tab. 7
c - według PN
c
a
b
=40
=0.009
=22.5°
Porównanie wyników obliczeniowych
0
500
1000
1500
2000
2500
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
N, MPa
M
I
, MPa
a - według EC2 =1
b - według EC2 według tab. 7
c - według PN
c
a
b
=80
=0.009
=22.5°
Minimalny stopień
zbrojenia przekroju
Elementy zginane
Minimalny przekrój zbrojenia
podłużnego
bd
0013
.
0
bd
f
f
26
.
0
A
yk
ctm
min
,
1
s
Minimalny przekrój zbrojenia podłużnego
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0
3
6
9
12
15
18
x
10
2
f
ctm
/f
yk
x
10
3
h/d=1.2
h/d=1.1
według (37) i (38)
Lmin
=0.335f
ctm
/f
yk
Lmin
=0.280f
ctm
/f
yk
PN 02:
Lmin
=0.26f
ctm
/f
yk
Elementy zginane
bbb
0
0.1
0.2
0.3
0.4
15
20
25
30
35
40
45
50
Lmin
x
10
2
f
ck
, MPa
DIN 1045-1
MC 90
ACI belki
CSA
ACI płyty
PN 02
PN 02 i prEC2
Wpływ stopnia zbrojenia podłużnego na
sztywność belki żelbetowej
0
1
2
3
4
5
0
0.0015
0.003
0.0045
0.006
0.0075
0.009
(
k h)
10
=0.0120
(k h)
10
=0.0129
f
c,cube
=100MPa
f
c,cube
=30MPa
uplastycznienie zbrojenia
(
k h)
10
=0.0135
(k h)
cu
=0.0117
K h
(
k h)
10
=0.0124
(k h)
10
=0.0132
M/bh
2
, MPa
r
=0.015
r
=0.0015
r
=0.004
Elementy ściskane
Norma
A
s,min
Uwagi
PN 02
słupy zwykłe
EC2
N
Ed
= N
Sd
ACI 318-02
0.01A
c
MC 90
0.008A
c
DIN 1045-1
N
Ed
= N
Sd
c
yd
Sd
A
003
.
0
f
N
15
.
0
c
yd
Ed
A
002
.
0
f
N
10
.
0
yd
Ed
f
N
15
.
0
Beton skrępowany
Confined concrete
Beton skrępowany
W efekcie ograniczenia poprzecznych odkształceń
betonu zmienia się zależność σ
c
– ε
c
A - beton bez ograniczenia odkształceń
poprzecznych
Beton skrępowany
ck
2
2
cu
c
,
2
cu
2
ck
c
,
ck
2
c
c
,
2
c
ck
2
ck
2
ck
c
,
ck
ck
2
ck
2
ck
c
,
ck
f
2
,
0
f
f
f
05
,
0
dla
f
50
,
2
125
,
1
f
f
f
05
,
0
dla
f
0
,
5
0
,
1
f
f
Beton skrępowany
CFRP (Carbon Fiber Reinforced Polymer)
GFRP (Glass Fiber Reinforced Polymer)
AFRP (Aramid Fiber Reinforced Polymer)
STAL MIĘKKA
STAL MIĘKKA
CFRP
CFRP
AFRP
AFRP
GFRP
GFRP
GPa)
GPa)
4
4
2
2
6
6
0.02
0.02
0.04
0.04
Zakresy zależności σ-ε materiałów kompozytowych FRP i
Zakresy zależności σ-ε materiałów kompozytowych FRP i
stali
stali
Beton skrępowany
0
0
15
15
30
30
45
45
60
60
75
75
90
90
-20,0
-20,0
-16,0
-16,0
-12,0
-12,0
-8,0
-8,0
-4,0
-4,0
0,0
0,0
v
v
, ‰
, ‰
,
M
Pa
,
M
Pa
W-3m
W-3m
W-2m
W-2m
W-1m
W-1m
W-0
W-0
0
0
15
15
30
30
45
45
60
60
75
75
90
90
0,0
0,0
2,0
2,0
4,0
4,0
6,0
6,0
8,0
8,0
10,0
10,0
12,0
12,0
h
h
, ‰
, ‰
,
,
M
Pa
M
Pa
W-0
W-0
W-1m
W-1m
W-2m
W-2m
W-3m
W-3m
SERIA „W” – ŚREDNIE
SERIA „W” – ŚREDNIE
ODKSZTAŁCENIA PODŁUŻNE I
ODKSZTAŁCENIA PODŁUŻNE I
POPRZECZNE
POPRZECZNE
Beton skrępowany
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
-8,0
-8,0
-6,0
-6,0
-4,0
-4,0
-2,0
-2,0
0,0
0,0
v
v
, ‰
, ‰
,
M
Pa
,
M
Pa
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
0,0
0,0
2,0
2,0
4,0
4,0
6,0
6,0
8,0
8,0
10,0
10,0
h
h
, ‰
, ‰
,
M
Pa
,
M
Pa
K-2m
K-2m
K-0
K-0
K-2m
K-2m
K-0
K-0
SERIA „K” – ŚREDNIE
SERIA „K” – ŚREDNIE
ODKSZTAŁCENIA PODŁUŻNE I
ODKSZTAŁCENIA PODŁUŻNE I
POPRZECZNE (WZMOCNIENIE
POPRZECZNE (WZMOCNIENIE
MATĄ)
MATĄ)
Beton skrępowany
0
0
15
15
30
30
45
45
60
60
75
75
-5,0
-5,0
-4,0
-4,0
-3,0
-3,0
-2,0
-2,0
-1,0
-1,0
0,0
0,0
v
v
, ‰
, ‰
,
M
Pa
,
M
Pa
K-t2m
K-t2m
K-0
K-0
K-t
K-t
SERIA „K” – ŚREDNIE ODKSZTAŁCENIA PRÓBEK (BEZ WZMOCNIENIA, MATA, MATA+TAŚMA)
SERIA „K” – ŚREDNIE ODKSZTAŁCENIA PRÓBEK (BEZ WZMOCNIENIA, MATA, MATA+TAŚMA)