1
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
1. Układy statycznie niewyznaczalne
2. Metoda sił
3. Algorytm metody sił
4. Belki ciągłe
1
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
1. Układy statycznie niewyznaczalne
2. Metoda sił
3. Algorytm metody sił
4. Belki ciągłe
2
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
1. Układy statycznie niewyznaczalne
W = 3E - 2P
– R
• W > 0
układ
geometrycznie zmienny
• W = 0
układ geometrycznie
niezmienny,
(?)
statycznie wyznaczalny
• W < 0
układ geometrycznie
niezmienny,
(?)
statycznie niewyznaczalny
3
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
1. Układy statycznie niewyznaczalne
W = 3E - 2P
– R
• W < 0
układ geometrycznie
niezmienny,
(?)
statycznie niewyznaczalny
R
C
4
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
2. Metoda sił
5
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
2. Metoda sił
X
P
0
)
(
)
(
X
u
P
u
6
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
2. Metoda sił
X
P
A
P
0
)
(
)
(
X
u
P
u
7
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
2. Metoda sił
A
P
P
M
0
)
(
)
(
X
u
P
u
A
A
A
1
1
M
s
P
A
ds
EJ
M
M
P
u
1
)
(
8
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
2. Metoda sił
X
M
A
1
1
M
0
)
(
)
(
X
u
P
u
A
A
A
X
s
X
A
ds
EJ
M
M
X
u
1
)
(
1
M
X
M
X
s
A
ds
EJ
M
M
X
X
u
1
1
)
(
9
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
2. Metoda sił
0
)
(
)
(
X
u
P
u
A
A
s
A
ds
EJ
M
M
X
X
u
1
1
)
(
P
M
1
M
s
P
A
ds
EJ
M
M
P
u
1
)
(
s
P
P
ds
EJ
M
M
1
1
s
ds
EJ
M
M
1
1
11
0
1
11
P
X
11
1
P
X
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
2. Metoda sił
P
R
C
P
B
C
0
BC
N
Strona
statyczna
Strona geometryczna
Strona fizyczna
i
i
i
i
BC
EA
L
N
P
M
1
M
0
1
11
P
X
s
P
P
ds
EJ
M
M
1
1
s
ds
EJ
M
M
1
1
11
11
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
2. Metoda sił
P
X
1
X
2
X
3
P
P
M
1
M
2
M
3
M
0
)
(
...
)
(
)
(
)
(
3
2
1
P
u
X
u
X
u
X
u
j
j
j
j
0
...
3
3
2
2
1
1
jP
j
j
j
X
X
X
Dla j = 1, 2, 3,
…
W zapisie
wskaźnikowym:
0
jP
ji
i
X
12
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
2. Metoda sił
W zapisie wskaźnikowym – układ równań kanonicznych:
0
jP
ji
i
X
Układ 2-krotnie statycznie
niewyznaczalny:
0
0
2
22
2
21
1
1
12
2
11
1
P
P
X
X
X
X
0
0
0
3
33
3
32
2
31
1
2
23
3
22
2
21
1
1
13
3
12
2
11
1
P
P
P
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Układ 3-krotnie statycznie
niewyznaczalny:
s
ds
EJ
M
M
2
1
21
12
s
k
i
ki
ik
ds
EJ
M
M
13
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
1. Analiza kinematyczna – układ n-krotnie statycznie
niewyznaczalny
2. Stworzenie statycznie wyznaczalnego układu
zastępczego
przez odrzucenie n więzów - układu obciążonego
obciążeniem rzeczywistym oraz n siłami nadliczbowymi.
3. Analiza statyczna n+1 układów pomocniczych – od
obciążenia rzeczywistego i sił jednostkowych.
4. Obliczenie przemieszczeń od poszczególnych obciążeń
– wyznaczenie współczynników układu równań
kanonicznych.
5. Sformułowanie i rozwiązanie układu równań
kanonicznych.
6. Analiza statyczna rzeczywistego układu.
(7. Kontrola geometryczna rozwiązania.)
14
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
3L
L
P
Zadanie: Sporządzić wykresy sił wewnętrznych dla belki
o schemacie przedstawionym na rysunku.
Dane: Schemat statyczny, P, L, EJ = const
15
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
3L
L
P
Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny
X
1
P
X
1
P
Układ zastępczy
(alternatywny)
- statycznie
wyznaczalny
Układ rzeczywisty
- jednokrotnie
statycznie
niewyznaczalny
16
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
Układ pomocniczy P
3L
L
X
1
P
P
X =1
1
Układ pomocniczy
X
1
=1
Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny
17
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
Układ pomocniczy P
X =1
1
Układ pomocniczy
X
1
=1
3PL
P
M
4L
3L
L
P
1
M
18
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
3PL
P
M
4L
1
M
Układ rzeczywisty - jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny
Równanie
kanoniczne:
0
1
11
1
P
X
3L
L
L
L
PL
EJ
P
3
3
3
2
1
1
1
EJ
PL
3
2
27
19
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
4L
1
M
Układ rzeczywisty - jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny
Równanie
kanoniczne:
0
1
11
1
P
X
3L
L
L
L
L
EJ
3
8
4
4
2
1
1
11
EJ
L
3
3
64
4L
1
M
20
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
Układ rzeczywisty - jednokrotnie statycznie
niewyznaczalny
Równanie
kanoniczne:
0
1
11
1
P
X
EJ
L
3
11
3
64
EJ
PL
P
3
1
2
27
EJ
L
EJ
PL
X
P
3
3
11
1
1
3
64
2
27
P
128
81
21
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
P
X
128
81
1
3L
L
P
PL
128
81
PL
32
15
M
P
M
M
X
M
1
1
A
22
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
P
X
128
81
1
P
M
M
X
M
1
1
3PL
P
M
4L
1
M
PL
L
X
M
A
3
4
1
PL
L
P
M
A
3
4
128
81
PL
32
15
23
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
3. Algorytm metody sił
3L
L
P
Zadanie: Sporządzić wykresy sił
wewnętrznych dla belki
o schemacie przedstawionym na
rysunku.
Dane:
Schemat statyczny,
P, L, EJ = const
PL
128
81
PL
32
15
M
T
+
-
P
128
47
P
128
81
24
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
P
Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny
Układ rzeczywisty
- statycznie
niewyznaczalny
P
X
1
X
2
X
3
P
25
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
Zadanie: Sporządzić wykresy sił wewnętrznych dla belki
o schemacie przedstawionym na rysunku.
Dane: Schemat statyczny, q, L, EJ = const
L
L/2
L
2L
qL
qL
2
q
26
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
L
L/2
L
2L
qL
qL
2
q
Układ zastępczy
- statycznie
wyznaczalny
Układ rzeczywisty
- dwukrotnie
statycznie
niewyznaczalny
X
1
X
2
qL
qL
2
q
27
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
Układ pomocniczy P
P
M
L
L/2
L
2L
qL
qL
2
q
qL
2
1/8 qL
2
1/2 qL
2
28
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
Układ pomocniczy
X
1
=1
1
M
L
L/2
L
2L
X =1
1
X =1
2
1
1
Układ pomocniczy
X
2
=1
2
M
29
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
Układ dwukrotnie statycznie
niewyznaczalny:
0
0
2
22
2
21
1
1
12
2
11
1
P
P
X
X
X
X
1
L
L/2
L
2L
s
k
i
ki
ik
ds
EJ
M
M
3
2
1
2
1
3
2
2
1
2
1
1
11
L
L
EJ
EJ
L
1
M
30
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
1
L
L/2
L
2L
3
1
1
2
1
1
21
12
L
EJ
EJ
L
6
1
s
k
i
ki
ik
ds
EJ
M
M
1
M
1
2
M
31
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
L
L/2
L
2L
2
3
2
1
2
1
1
22
L
EJ
EJ
L
3
2
s
k
i
ki
ik
ds
EJ
M
M
1
2
M
32
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
P
M
L
L/2
L
2L
1
1
M
qL
2
1/8 qL
2
1/2 qL
2
2
1
8
1
3
2
3
1
2
2
1
1
2
2
1
L
qL
L
qL
EJ
P
EJ
qL
3
8
3
33
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
P
M
L
L/2
L
2L
2
M
qL
2
1/8 qL
2
1/2 qL
2
3
1
2
1
2
1
2
1
8
1
3
2
1
2
2
2
L
qL
L
qL
EJ
P
EJ
qL
3
24
1
1
34
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
Układ dwukrotnie statycznie
niewyznaczalny:
0
0
2
22
2
21
1
1
12
2
11
1
P
P
X
X
X
X
0
24
1
3
2
6
1
0
8
3
6
1
3
2
1
3
2
1
EJ
qL
X
EJ
L
X
EJ
L
EJ
qL
X
EJ
L
X
EJ
L
X
1
X
2
qL
qL
2
q
2
2
2
1
92
15
92
37
qL
X
qL
X
2
2
2
1
1630
.
0
402
.
0
qL
X
qL
X
35
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
X
1
X
2
qL
qL
2
q
M
2
2
2
1
1630
.
0
402
.
0
qL
X
qL
X
qL
2
0.5 qL
2
0.402 qL
2
0.163 qL
2
36
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
L
L/2
L
2L
qL
qL
2
q
qL
qL
qL
P
R
2
1
2
1
)
(
L
L/2
L
2L
X =1
1
L
L
L
X
R
2
3
1
2
1
)
1
(
1
2
2
2
1
1630
.
0
402
.
0
qL
X
qL
X
37
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
qL
qL
qL
P
R
2
1
2
1
)
(
L
L
L
X
R
2
3
1
2
1
)
1
(
1
X =1
2
L
X
R
1
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
)
(
2
2
1
1
X
R
X
X
R
X
P
R
R
qL
R
766
.
1
L
L/2
L
2L
2
2
2
1
1630
.
0
402
.
0
qL
X
qL
X
38
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
L
L/2
L
2L
qL
qL
2
q
T
qL
1.065 qL
0.065 qL
0.663 qL
0.701 qL
+
+
-
-
39
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
T
M
qL
1.065 qL
0.065 qL
0.663 qL
0.701 qL
+
+
-
-
qL
2
0.5 qL
2
0.402 qL
2
0.163 qL
2
40
MECHANIKA BUDOWLI
Wykład nr 4
4. Belki ciągłe
T
M
L
L/2
L
2L
qL
qL
2
q
Zadanie: Sporządzić wykresy
sił wewnętrznych
dla belki
o schemacie
przedstawionym
na rysunku.
Dane: Schemat statyczny,
q, L, EJ = const
qL
1.065 qL
0.065 qL
0.663 qL
0.701 qL
+
+
-
-
qL
2
0.5 qL
2
0.402 qL
2
0.163 qL
2