Seria: Informatyka
Metody niezawodności i 
eksploatacji
Wykład 8
Efektywność systemów 
technicznych

dr hab. inż. Tadeusz Nowicki prof. 

nadzw. WAT

e-mail:nowicki@isi.wat.edu.pl, tel. 6-

837118

Teoria  eksploatacji  systemów  technicznych  jest 
nauką  traktującą  o  podstawowych  procesach 
eksploatacji  tych  systemów,  ich  identyfikacji, 
podstawowych 

charakterystykach 

ich 

eksploatacji, 

strategiach 

postępowania, 

modelach  i  metodach  rozwiązywania  zadań 
charakterystycznych dla tej dziedziny.

Warto  pamiętać,  że  w  skład  eksploatacji 
systemów 

technicznych 

wchodzi 

szereg 

składowych.  Do  poważniejszych  zaliczyć  można 
między 

innymi: 

diagnostyka 

techniczna, 

profilaktyka  systemów,  metody  zapewniania 
niezawodności, 

sposoby 

zwiększania 

efektywności  systemów,  lokalizacja  uszkodzeń, 
testowanie systemów itd.

Wśród  modeli  teorii  eksploatacji  rozróżnić 
można: 

techniczne 

(wykonane 

w 

innej 

„materii”), 

analityczne, 

symulacyjne, 

stochastyczne, statystyczne, algorytmiczne (kody 
programowe), 

statyczne, 

dynamiczne, 

przybliżone i adekwatne, itd.

Co to jest system: jest to zbiór elementów 
wraz z relacjami, które zachodzą między 
tymi elementami.

Co to jest model systemu technicznego: jest 
to  dowolne  materialne  lub  niematerialne 
oddanie funkcjonowania systemu w zakresie 
nas  interesującym.  Budowa  modelu  musi 
mieć  swój  cel.  Z  celu  modelowania  wynika 
jego  postać,  cechy,  zmienne  opisujące 
model, 

charakterystyki 

i 

parametry 

stosowane  do  jego  konstrukcji,  kryteria 
postępowania w zadaniach decyzyjnych, itd. 

Z  celu modelowania  wynikają jednoznacznie 
problemy  badawcze  związane  z  eksploatacja 
systemu  technicznego.  Na  podstawie   
problemów 

generowane 

są 

zadania 

badawcze  lub  konstrukcyjne.  Wiadomym 
stają  się  podstawowe  wyniki,  jakie  uzyskać 
trzeba  w  wyniku  badań  przeprowadzonych 
na modelach systemu technicznego.

Załóżmy,  że  w  systemie  wyodrębniono  jego 
elementy  składowe.  Nazywamy  je  krótko 
elementami. 

Oznaczmy 

przez 

E 

zbiór 

wyodrębnionych 

elementów 

badanego 

systemu. 





N

n

2

1

e

,...,

e

,...,

e

,

e

E 

gdzie e

n

 jest symbolem n-tego elementu, a N 

jest  liczbą  wyodrębnionych  elementów.  W   
systemach  technicznych  przyjmuje  się,  że 
każdy z elementów może przebywać w jednym 
z  jego  ściśle  określonych  stanów.  Ich 
określenie 

jest 

więc 

koniecznością! 

Przyjmijmy więc, że przez S

n

 oznaczymy zbiór 

stanów,  w  których  przebywać  może  n-ty 
element:

)

S

,...,

S

,...,

S

,

S

(

S

n

n

L

n

l

n

2

n

1

n



gdzie

L

n

 – jest licznością zbioru S

n

 

S

n

l

 – jest wybranym, l-tym stanem n-tego 

elementu.

Trzeba  też  odpowiedzieć  na  pytanie,  jaki 
jest  zbiór  stanów,  w  jakich  przebywać  może 
system.  Dla  powyższych  założeń  określić 
można,  że  liczność  zbioru  stanów  systemu 
nie może przekroczyć liczby





N

1

n

n

L

Gdyż różne stany systemu generowane mogą 
być  jedynie  różnymi  kombinacjami  stanów 
jego  elementów.  Zwykle  jednak  agreguje  się 
stany  systemu  wynikające  z  pojedynczych 
zmian  stanów  jego  elementów.  Liczba 
stanów 

systemu 

jest 

nieomal 

zawsze 

mniejsza  niż  podaje  to  formuła  powyższa. 
Załóżmy więc, że 





L

l

S

S

S

S

S

,...,

,...,

,

2

1



jest  zbiorem  stanów,  w  jakich  przebywać 
może system techniczny.

W  poprawnie  budowanym  modelu  systemu 
technicznego  znane  muszą  być  związki 
pomiędzy wystąpieniem konkretnych stanów, 
w jakich przebywać mogą elementy systemu i 
stanem 

całego 

systemu. 

Związki 

te 

uwzględniają  jednocześnie  relacje,  jakie 
zachodzą  między  elementami  systemu  i 
formalnie  zapiszemy  je  za  pomocą  tzw. 
strukturalnej funkcji systemu

S

S

:

F

n

N

1

n

X





Funkcja  ta  pozwala  jednoznacznie  określić 
stan,  w  jakim  przebywa  system,  w  oparciu  o 
znajomość  stanów,  w  jakich  przebywają  jego 
elementy. 

W 

złożonych 

modelach 

funkcjonowania 

systemów 

technicznych 

rozpatruje  się  najczęściej  modele  dynamiczne. 
Oznacza  to,  że  uwzględnia  się  fakt  zmiany 
stanów  w  czasie  przez  poszczególne  jego 
elementy,  zatem  również  przez  system.  Proces 
zmiany  stanów  systemu  i  jego  elementów 
nazywamy właśnie funkcjonowaniem systemu.

W  praktyce  nie  trzeba  śledzić  wszystkich 
zmian  stanów  systemu  i  jego  elementów. 
Przyjmijmy,  że  T  oznacza  zbiór  chwil 
(eksploatacyjnych),  w  których  chcemy  znać 
stany, 

w 

jakich 

przebywają 

elementy 

systemu. Stan systemu będzie jednoznacznie 
określony  dzięki  posiadanej  strukturalnej 
funkcji  systemu  F.  Możemy  teraz  oznaczyć 
przez X

n

(t) funkcje 

n

n

S

T

:

X



która definiuje proces przechodzenia 
elementu n-tego przez stany ze zbioru S

n

 w 

interesujących nas chwilach ze zbioru T, 
n=1,...,N.

Definiując funkcje wektorową X(t)





T

t

,

)

t

(

X

),...,

t

(

X

),...,

t

(

X

),

t

(

X

)

t

(

X

N

n

2

1





możemy powiedzieć, że definiuje ona łączny 
proces przechodzenia wszystkich elementów 
systemu przez wyróżnione dla nich stany w 
interesujących nas chwilach ze zbioru T.  

Proces zmian stanów systemu w chwilach ze 
zbioru T definiuje więc jednoznacznie trójka

F

,

T

),

t

(

X

Jeśli 

przyjmiemy, 

że 

przechodzenie 

elementów  systemu  ze  stanu  na  stan  ma 
charakter  stochastyczny,  co  często  ma 
miejsce 

w 

przypadku 

systemów 

technicznych, 

to 

funkcja 

X(t) 

jest 

wielowymiarowym  procesem  stochastycznym 
dyskretnym  w  stanach.  Oznaczmy  zbiór 
możliwych  wartości  tego  procesu  przez  X. 
Zachodzi oczywiście zależność

n

N

1

n

S

X

X





Dla wielu systemów technicznych proces X(t) jest 
tak  skomplikowany,  że  analityczne  metody 
badania  charakterystyk  tych  systemów,  nawet 
pomimo  ewentualnej  znajomości  szczegółowych 
zjawisk  zachodzących  pomiędzy  poszczególnymi 
elementami. 

Jedną  z  metod  ominięcia  tych  kłopotów  jest 
przybliżenie opisu funkcjonowania systemów 
technicznych  modelami  prostszymi.  Na  ich 
podstawie 

podejmuje 

się 

decyzje 

o 

konieczności 

badania 

charakterystyk 

szczegółowych,  co  jest  kolejnym  krokiem  w 
budowie modeli adekwatnych. 

W  wykładzie  niniejszym  przedstawione 
zostaną  podstawowe  modele  stochastyczne, 
które można użyć do opisu funkcjonowania i 
eksploatacji 

systemów 

technicznych. 

Założymy, 

że 

interesują 

nas 

modele 

dynamiczne  i  stochastyczne.  Upływ  czasu  i 
probabilistyczne 

reguły 

przechodzenia 

elementów 

systemu 

pomiędzy 

stanami 

eksploatacyjnymi  są  nieodzowną  cechą 
dojrzałych modeli systemów. Dlatego wykład 
jest  ściśle  związany  z  modelowaniem 
stochastycznym 

eksploatacji 

systemów 

technicznych.  Modele  te  mają  zazwyczaj  tę 
cechę,  że  ich  charakterystyki  zmieniają  się 
wraz z upływem czasu.

Do  modeli,  których  przedstawieniu  poświęcony 
jest niniejszy wykład, należą:

•  modele  oparte  na  procesach  dyskretnych 
Markowa (łańcuchy),

• modele oparte na procesach ciągłych Markowa,
•  modele  oparte  na  procesach  semimarkowskich 
(półmarkowskie),

• modele procesu odnowy,
• modele kolejkowe.

Uwaga: modelami, których nie będziemy omawiać 
na  wykładzie,  są  modele  symulacyjne.  Stanowią 
one 

ciekawą 

propozycję 

opisu 

systemów 

technicznych,  na  przykład  w  aspekcie  ich 
eksploatacji, 

w 

której 

złożoność 

systemu 

technicznego nie odgrywa istotnej dziś roli. 

Warto  jeszcze  powiedzieć  o  jednej  bardzo 
ważnej rzeczy, którą stale podkreślam. Badając 
system  techniczny  nie  zastanawiamy  się  na 
ogół 

nad 

eksploatacją 

w 

jej 

ogólnym 

znaczeniu.  Zazwyczaj  wyodrębniamy  pewne 
składowe  cechy  eksploatacyjne.  Następnie 
budujemy  miary  ich  jakości.  Te  z  kolei 
posiadają  wartości,  które  chcemy  wyznaczyć. 
Proces wyznaczania wartości miar eksploatacji 
systemu  technicznego  bywa  złożony  i  trudny. 
Niemniej  jednak  procedura  poniższa  jest  dla 
inżyniera nieodzowna:

• określamy cechy eksploatacyjne systemu,
• określamy miary oddające te cechy,
•  opracowujemy  metody  uzyskiwania  wartości 
miar eksploatacji systemu technicznego,

•  organizujemy  proces  wyznaczania  wartości 
wybranych miar,

•  analizujemy  system  analizując  miary  jego 
eksploatacji.

Schemat  postępowania  w  badaniu  własności 

systemu technicznego :



określenie własności systemu (efektywność, 
niezawodność, itd.. )



określenie składowych własności systemu



określenie miar własności (miar efektywności) 
systemu



opracowanie metod wyznaczania wartości 
miar własności (efektywności) systemu



wyznaczanie wartości miar własności systemu



opis badania własności systemu (efektywności 
systemu) przez przedstawienie wyników 
analizy uzyskanych wartości miar własności 
(efektywności) systemu 

Często  mamy  do  czynienia  z  charakterystykami 
mierzalnymi,  których  wartości  da  się  w  prosty 
sposób  wyznaczyć  (zmierzyć).  Chociaż  są  one 
nierzadko  ważne  dla  określenia  efektywności 
systemu,  to  jednak  nie  są  one  interesujące  z 
badawczego punktu widzenia.
Interesującymi  dla  nas,  z  tego  punktu  widzenia, 
są 

charakterystyki 

lub 

wielkości 

(cechy 

mierzalne)  systemu  technicznego,  które  ze 
względu  na  swoją 

zmienność,  złożoność

   

lub 

losową  naturę

  w  trakcie  ich  badania  traktować 

musimy  jako 

zmienne  losowe  lub  procesy 

stochastyczne

. 

Warto wyjaśnić niektóre pojęcia z tego zakresu.

Niech :
E – pewien zbiór zdarzeń elementarnych, 
T – zbiór wartości, jakie może przyjąć parametr,
wtedy funkcję

X(e,t)   eE ,  tT 

X : ET R

nazywamy funkcją losową (procesem 
stochastycznym).
X

t

(e) - dla ustalonego  t  jest zmienną losową

X

e

(t) - dla ustalonego  e  jest funkcją rzeczywistą

Proces  stochastyczny  jest  więc  określony  jeśli 
określona jest trójka

 X,T,F 

X  -  zbiór  stanów  procesu,  wartości,  jakie  może 
przyjąć proces X(t) w dowolnej chwili t
T  -  zbiór  wartości  parametru  t,  F  -  rodzina 
dystrybuant FF

Cechy mierzalne systemów technicznych

Dystrybuanty te określone są przez formułę :





 

 

 





n

i

n

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

t

t

t

t

X

X

X

X

F

n

n

i

i

n

i

n

i

,

1

    

          

,...,

3

,

2

,

1

,...,

,...,

,...,

,...,

,

 ;

,...,

,...,

,

1

1

2

1

2

1













Postać  przykładowych  realizacji  procesów 
stochastycznych,  w  zależności  od  typów 
zbiorów stanów procesu lub zbioru wartości 
tegoż procesu, przedstawiona jest na folii.

Cechy mierzalne systemów technicznych

Procesy stochastyczne o niezależnych wartościach spełniają formułę :

Procesy stochastyczne o niezależnych 
przyrostach spełniają :

 

 

 

 





 





n

i

2

1

0

n

0

i

i

i

n

n

i

i

1

1

0

0

t

...

t

...

t

t

t

x

t

X

P

x

t

X

,...,

x

t

X

,...,

x

t

X

,

x

t

X

P





























dla przyrostów

 

 

 

n

i

t

X

t

X

t

X

i

i

i

,...,

2

,

1

    

,

 

1











 

 

 





 





 





























n

i

i

i

n

n

x

t

X

P

x

t

X

P

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

1

0

0

1

1

0

0

,...,

,

Cechy mierzalne systemów technicznych

Procesy stochastyczne Markowa spełniają warunek :

Zatem  nie  jest  to  proces,  dla  którego  stan,  w 
jakim  znajdzie  się  on  w  chwili  t

n

  ,  zależy 

jedynie od poprzedniego stanu, a nie zależy od 
stanów  stanów  wcześniejszych.  Jest  to  częsta 
pomyłka  będąca  niezrozumieniem  procesów 
Markowa. Stan 

zależy od stanów poprzednich

, 

ale 

informacja 

o 

stanie 

bezpośrednio 

poprzedzającym 

zawiera 

w 

sobie 

całą 

informacje,  jaką  można  by  uzyskać  analizując 
poprzednie stany. W sensie formalnym opisuje 
to powyższa 

równość rozkładów warunkowych

.

































1

1

0

0

2

2

1

1

,..

.,

,





























n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

t

X

x

t

X

P

x

t

X

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

CECHY MIERZALNE SYSTEMÓW TECHNICZNYCH

Uwaga 

: często mówi się o obiektach (systemach), że są jednorodne 

lub stacjonarne. Niekiedy zaleca się badać właśnie jednorodność lub 
stacjonarność  systemów.  Nic  bardziej  błędnego.  Jest  to  slang,  który 
często prowadzi do fatalnych w skutkach konsekwencji.

Cecha  mierzalna  systemu

  (

mierzalna,  bo  wtedy  można  mówić  o 

spełnieniu  pewnych  formuł

)    może  posiadać  własność  jednorodności 

lub stacjonarności, lub nie posiadać jej.

Jednorodność

  -  jest  cechą  systemu  wskazującą  na  niezmienność 

pewnych reguł opisujących zachowanie się systemu wraz z upływem 
czasu.  Jeśli  powtórzą  się  jakiekolwiek  warunki  chwilowe,  to  dalszy 
przebieg  zdarzeń  powinien  rządzić  się  tymi  samymi  co  poprzednio 
prawami,  co  nie  oznacza  oczywiście,  że  należy  oczekiwać  takich 
samych realizacji co poprzednio.

Stacjonarność

  -  jest  cechą  systemu  wskazującą  na  stałość  wartości 

pewnych  charakterystyk  systemu  w  upływającym  czasie.  Stałość 
wyrażaną w różny sposób.

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW 
TECHNICZNYCH

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW 
TECHNICZNYCH

Przykład 

: (

ilustrujący chyba dobitnie tę tezę

)

Samochód  uszkadza  się  co  odcinek  czasu  o  rozkładzie  wykładniczym  z 
odpowiednim  parametrem  l  (model  katastroficznych  zjawisk).  Samochód 
starzeje się, zatem jego własność jednorodności i stacjonarności w wielu 
aspektach nie może być przez nas uznana.
Proces liczby uszkodzeń do dowolnej chwili t  jest procesem Poissona, 

 













n

i

i

i

t

l

n

t

N

P

0

t

l

-

   

,

e

 

!

)

(

}

{

dla którego wartość oczekiwana liczby uszkodzeń 
równa jest

 

t

l

t

N

E





}

{

Zatem ta cecha ta (oczekiwana liczba uszkodzeń) 
nie jest stacjonarna.

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW 
TECHNICZNYCH

Przykład 

: (

ciąg dalszy

)

Jeśli jednak zdefiniujemy interesującą nas charakterystykę jako: 
oczekiwana  liczbę  uszkodzeń  liczoną  w  ustalonym  przedziale 
czasu,  na  przykład  w  jednostce  czasu,  to  jednostkowa  liczby 
uszkodzeń ma wartość oczekiwaną równą

 

l

t

t

N

E



}

{

Zatem  cechy  dotyczące  tej  samej  fizycznie 
charakterystyki, 

bo 

liczby 

uszkodzeń 

liczonej  w  czasie,  chociaż  trochę  inaczej 
zdefiniowane  mogą  być  stacjonarne  bądź 
nie. Daje to obraz tego, że nie należy mówić 
o stacjonarności lub jednorodności systemu, 
ale  o 

stacjonarności  bądź  jednorodności 

cechach mierzalnych

 tego systemu.

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW 
TECHNICZNYCH

Z  formalnego  punktu  widzenia  jednorodne  procesy 
stochastyczne spełniają warunek :

Natomiast procesy jednorodne Markowa 
spełniają :

















 

 

 





0

0

1

1

0

0

1

1

,...,

,...,

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

x

t

X

x

t

X

x

t

X

P

n

n

n

n

n

n

n

n

















































 

 





 

 





1

n

n

1

n

n

1

n

1

n

n

n

1

n

1

n

n

n

t

t

      

x

0

X

x

X

P

x

t

X

x

t

X

P

x

t

X

x

t

X

P















































JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW 
TECHNICZNYCH









n

t

n

t

x

x

x

F

x

x

x

F

,...,

,

,...,

,

2

1

2

1







Stacjonarność procesów stochastycznych (w wąskim, ścisłym sensie)
Dla  procesu  stacjonarnego  rozpatrzymy  wielowymiarowe  zmienne 
losowe następującej postaci :

   

 



 



















n

n

t

X

t

X

t

X

t

X

t

X

t

X

,...,

 

 ,

,...,

 

 ,

2

1

2

1

Dla  procesów  stacjonarnych  w  wąskim  sensie  zmienne  te 
spełniają  warunek  (dla dowolnych t, v  i  n) :

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW 
TECHNICZNYCH

Stacjonarność 

procesów 

stochastycznych 

(szerokim  sensie)  definiowana  jest  za  pomocą 
momentów procesu  i funkcji autokorelacji.
Momentami tymi są :

 

 





 

 





t

X

D

t

t

X

E

t

m

2

2







Wartość 
oczekiwana

wariancja

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW 
TECHNICZNYCH





   









 

 





 

 













   

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

,

 

 

 

,

 posta

ć

 ma

cji

autokorela

 

funkcja

natomiast 

,

t

m

t

m

t

t

R

t

m

t

X

t

m

t

X

E

t

t

C

t

X

t

X

E

t

t

R

x

x

x

















Funkcja autokorelacji zdefiniowana jest 
następująco :









   

)

(

)

(

,

,

2

1

2

1

2

1

2

1

t

t

t

m

t

m

t

t

R

t

t

x

x















Unormowana funkcja autokorelacji 
przedstawiona jest następująco :

JEDNORODNOŚĆ I STACJONARNOŚĆ SYSTEMÓW 
TECHNICZNYCH









 













1

2

2

1

,

  

)

3

t

t

t

t

R

x

 

 













   

  

)

2

     

  

)

1

2

2





t

m

t

m



















2

1

2

1

 ,

;

t

t

R

t

t

R

x

x

R

x

(t

1

, t

2

) jest inwariantna względem 

przesunięcia w czasie :

Proces jest stacjonarny w szerokim sensie, 
gdy :

Zauważmy, że dla procesu stacjonarnego w 
wąskim sensie zachodzi :









 













1

2

2

1

,

t

t

t

t

R

x