MECHANIKA  2

 

Wykład Nr 14

Teoria uderzenia

DYNAMIKA PUNKTU NIESWOBODNEGO 

Punkt,  którego  ruch  ograniczony  jest 
jakimiś 

więzami, 

nazywamy 

punktem 

nieswobodnym. 

Więzy  oddziaływają  na  poruszający  się  punkt 
pewnymi  siłami,  które  nazywamy  reakcjami 
więzów.  Istnienie  więzów  powoduje  więc 
pojawienie 

się 

w 

równaniach 

rucha 

dodatkowych sił – reakcji więzów. 

(1)

Równanie ruchu przyjmie postać

Równania ruchu:

Po przekształceniu 
otrzymujemy:

Ruch punktu po gładkiej równi 

pochyłej

Rys. 
7

Równania 

ruchu:

gdzie:

Po podstawieniu:

Ruch wahadła matematycznego 

Przy małych wychyleniach wahadła sin = wówczas 
                                         

więc  równanie ruchu przybiera postać:

Jest to równanie ruchu 
harmonicznego prostego.

Przypomnijmy, że równanie ruchu harmonicznego 
prostego ma postać: 

Zatem dla wahadła:

Równanie ruchu ma postać:            
              

0





max







t

Warunek początkowy:

dla

Po scałkowaniu względem czasu otrzymamy wzór na prędkość:

Po wyznaczeniu stałej c i podstawieniu do wzoru na v:

Ponieważ

to

Załóżmy, że dla t = 0,                 
wówczas:

0





Rys. 
2

Zderzenie proste środkowe 

Zderzenie  zachodzi  w  przypadku  działania  na 
siebie  dwu  ciał  siłą  o  skończonej  wartości  w 
bardzo krótkim przedziale czasu.

Zderzenie  środkowe  charakteryzuje  się 
tym, że normalna do płaszczyzny styku w 
punkcie  styku  obu  ciał  przechodzi  przez 
środki masy tych ciał. 

W procesie zderzenia rozróżniamy dwa 

charakterystyczne okresy:

a)        - pierwszy okres:     od chwili zetknięcia się 

ciał aż do chwili  największego zbliżenia ich 
środków mas, przy równoczesnym  
odkształcaniu się obu ciał,

Okresy zderzenia

b)       - drugi okres: od chwili rozpoczęcia oddzielania 
się obu mas.

Pęd zderzających się mas

 

Pęd  przed  po  zderzeniu  jest 
taki sam

Rys. 
2

c

– wspólna prędkość obu mas przy końcu pierwszego 
okresu. 

Stąd 

Energia kinetyczna

W  wyniku  odkształcania  się  ciał  przy  zderzeniu 
występuje zmiana energii kinetycznej układu w pewnej 
jej  części  na  pracę  odkształcenia.  Strata  ta  może  być 
pozorna  lub  rzeczywista,  w  zależności  od  tego,  czy 
zostanie  zwrócona  w  drugim  okresie  zderzenia. 
Oznaczmy ją przez

Uwzględniając wzór                                                   
otrzymamy 

(23) 

(23a
) 

Pęd układu w drugim okresie 

zderzenia

Przechodząc  do  drugiego  okresu  zauważamy,  że 
obowiązuje  nadal  zasada  zachowania  pędu  badanego 
układu, czyli że

(2
4) 

 

Prędkości     oraz      zależeć będą od tego, czy 

strata energii kinetycznej została:

1

w

2

w

Zderzenie sprężyste i plastyczne

a)  zwrócona  w  100%  (zderzenie  ciał  doskonale 
sprężystych),

b)  pochłonięta  w  100%  (zderzenie  ciał  idealnie 
plastycznych),
c) 

pochłonięta 

częściowo 

(zderzenie 

ciał 

rzeczywistych).

Współczynnik zderzenia

przy czym 
oczywiście 

Wartości graniczne współczynnika

          

odpowiadają: 

k

1



k

0



k

dla ciała idealnie 
sprężystego, 

dla ciała idealnie plastycznego. 

(2
5) 

Prędkości po zderzeniu

Uwzględniając równania (24) i (25) otrzymamy po 

podstawieniu i przekształceniu 

(2
6) 

Dla zderzenia ciał idealnie 
sprężystych 





1



k

(2
7) 

Dla 

zderzenia 

ciał 

idealnie 

plastycznych 





0



k

(2
8) 

Rzeczywista strata energii kinetycznej

Rzeczywista strata energii 
kinetycznej wynosi 

Po podstawieniu  wartości      oraz       ze wzoru (26) 
otrzymamy

1

w

2

w

Charakterystyczne 
przypadki:

Po zderzeniu nastąpiła więc wymiana 
prędkości pomiędzy obiema masami. 

 1.                                (ciało doskonale sprężyste).  

1



k

2

1

m

m 

Ze wzorów (27) 
otrzymamy: 

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ 

UKOŚNE ŚRODKOWE

 2.               ,                    (nieruchoma ściana),              .

0

2









2

m

1



k

Ze wzorów (27) 
otrzymamy:

Masa m

1

 odbija się z tą samą 

prędkością.

3.              ,                   (nieruchoma ściana),             (ciało 
rzeczywiste). 

0

2









2

m

0



k

Wykorzystując wzory  (26)  napiszemy:

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ 

UKOŚNE ŚRODKOWE

Przypadek  ten  podaje  zarazem  prosty  sposób  wyznaczania 

współczynnika  zderzenia  k.  Jak  wiadomo  bowiem  z 

kinematyki,  ciało  spadające  z  wysokości  H  na  stałą 

podstawę ma w początkowej chwili zderzenia prędkość         

       

  .  Po  odbiciu  wznosi  się  na  wysokość  h,  czyli  przy 

końcu drugiego okresu zderzenia miało ono prędkość      

   .

Ponieważ 

(pomijając  znak  minus,  gdyż  interesuje 

nas tylko moduł), zatem

gH

2

1





gh

2

w

1



1

1

–

w



k



Masa m

2

 odbije się z prędkością zmniejszoną o 

k .

k =

Przejdźmy  teraz  do  omówienia  zderzenia  ukośnego 
środkowego  (rys.  3).  Rozkładamy  wektory  prędkości  na 
składowe normalne i styczne do płaszczyzny styku

Rys. 
3

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ 

UKOŚNE ŚRODKOWE

ZDERZENIE PROSTE ŚRODKOWE ORAZ 

UKOŚNE ŚRODKOWE

Jeżeli  pominiemy  straty  tarcia  przy  zderzeniu  i  możliwości, 

ewentualnych  obrotów  mas  (przyjęto  je  jako  punkty 

materialne)  w  wyniku  na  ogół  różnych  wartości  składowych 

stycznych      oraz        (przyjmując  idealnie  gładkie  powierzchnie 

styku mas), to w wyniku zderzenia zmienią się tylko składowe 

normalne.

t

1



t

2



oraz 

Do  oceny zmian  składowych normalnych wykorzystamy wzory 
(26),  wprowadzając  jedynie  odpowiednie  wskaźniki  n, 
składowe zaś styczne pozostaną bez zmiany, czyli: 

Ostatecznie składając wektorowo otrzymamy po zderzeniu

 

Oddziaływanie strumienia padającego na 

przegrodę

Do  wyznaczenia  reakcji        przegrody  na  działanie 
strumienia,  padającego  pod  kątem        (rys.  4), 
wykorzystamy zasadę pędu i impulsu według wzoru

R



Załóżmy, 

że 

dane 

są 

ponadto 

przekrój 

strumienia  A,  gęstość  ρ 

(niezmienna 

w 

czasie) 

oraz 

średnia 

prędkość 

strumienia v.

Rys. 
4

W  czasie  dt  wystąpi  przemieszczenie  przekroju  ab  w 
położenie a'b' (rys. 4) o od vdt. Równocześnie strumień 
rozdzielając się na przegrodzie przemieści się w swych 
strugach  z  położeń  ef  w  e'f'  oraz  z  położeń  cd  w  c'd' 
(rys.  4).  Zauważmy,  że  kierunki  wektorów  prędkości 
tych rozdzielonych na przegrodzie strug są przeciwne i 
styczne do przegrody.

Oddziaływanie strumienia padającego na 

przegrodę

Rys. 
4

Zgodnie  więc  z  zasadą  pędu  i  impulsu  (19) 

napiszemy rzutując wektory pędów pulsu na oś     

, 

prostopadłą do przegrody 

x

Oddziaływanie strumienia padającego na 

przegrodę

Oddziaływanie strumienia padającego na 

przegrodę

Gdyż wektory pędów tych strug  są  styczne do 
przegrody,  zatem

Stąd ostatecznie 
otrzymujemy reakcję 
przegrody w kierunku osi

 

x

oraz