21 marca 2011
Reinhard Kulessa
1
Wykład 4
2.6 Przemiany gazu
idealnego
Zmiana stanu gazu idealnego może odbywać
się przy różnych warunkach narzuconych na
podstawowe parametry opisujące stan gazu.
Ogólną przemianę gazu przy zmianie
przynajmniej dwóch parametrów opisuje
przemiana politropowa.
C
v
p
C
const
pv
ln
ln
ln
(2.2
6)
Istnieje kilka dobrze znanych przemian gazu
idealnego, tóre tutaj przytoczymy.
1. Przemiana
izotermiczna, T=const,
=1.0
2. Przemiana
izobaryczna, p=const,
=0
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
2
3. Przemiana
izochoryczna
v=const
=±
4. Przemiana
adiabatyczna Q=0
=c
p
/c
v
5. Przemiana
politropowa
dowolne
Dla gazu idealnego
pV = nT.
p
V
V
1
V
2
izobara
izoterm
a
adiaba
ta
ogólna
izochora
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
3
3 Makroskopowe własności materii
Własności materii zmieniają się, jeśli
zmienimy
V, p i T.
Substancje mogą istnieć w
różnych fazach. Prześledźmy to dla wody.
T
p
to
pn
ie
ni
e p
ar
ow
an
ie
sub
lim
acj
a
Punkt
potrójny
Punkt
krytyczny
c.
stałe
ciec
z
para
gaz
A
B
Linia AB
pokazuje, że
woda może
równocześnie
znajdować się w
trzech fazach
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
4
Innymi własnościami makroskopowymi są
możliwości zmiany kształtów geometrycznych.
Określają to odpowiednie współczynniki.
Współczynnik objętościowej rozszerzalności
temperaturowej definiujemy jako:
p
T
T
p
V
V
,
1
(3.1)
Z kolei izotermiczny współczynnik ściśliwości
jest równy:
T
p
T
p
V
V
,
1
(3.2)
Można jeszcze zdefiniować współczynnik
prężności , który ma następującą postać:
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
5
V
T
T
V
p
p
,
1
Warto zauważyć, że trzy wymienione
współczynniki
(, , )
są ze sobą powiązane.
Wynika to z zależności pomiędzy pochodnymi
cząstkowymi trzech zmiennych, pomiędzy
którymi istnieje zależność funkcyjna. Jeżeli
zapiszemy w oparciu o równanie stanu gazu
doskonałego, że
V zależy od ciśnienia i
temperatury w następujący sposób V(p,T), to
zachodzi zależność:
p
V
T
V
T
p
T
V
p
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� =-
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(3.3)
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
6
Mnożąc po prawej stronie równania licznik i
mianownik przez V, oraz obydwie strony
równania przez p uzyskujemy zależność:
p
1
Jeżeli znamy z pomiarów
i ,
to nie musimy
już mierzyć
, tylko możemy je obliczyć z
powyższego równania.
Dla gazu idealnego
uzyskujemy również:
p
T
1
1
Praca, którą należy wykonać ażeby sprężyć
izotermicznie gaz idealny wynosi;
dV
p
W
T
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
7
W oparciu o równanie
(3.2)
otrzymujemy, że
2
1
2
2
2
2
1
p
p
V
dp
V
p
W
dp
V
dV
T
p
p
T
T
T
T
p
T
p
V
V
,
1
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
8
4. Analiza procesów energetycznych w
układach otwartych
4.1 Wstęp
Dotychczas omówiliśmy analityczną postać I
zasady termodynamiki, oraz podaliśmy przykłady
wyliczania termodynamicznych własności
substancji.
W tym rozdziale rozszerzymy omawianie
zagadnień termodynamiki do układów, w
których masa substancji może przekraczać
granice układu, czyli do układów otwartych.
Ażeby w pełni móc podać zależności opisujące
procesy zachodzące w takich układach, należy
postępować według pewnej procedury
pozwalającej dokładnie scharakteryzować układ
i zachodzące procesy. Należy m.in. rozważyć
następujące problemy:
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
9
1. W jaki sposób jest opisany układ termodynamiczny,
który mamy analizować,
2. Jaką substancję zawiera rozważany układ i czy są
znane własności tej substancji,
3. Czy układ jest otwarty czy zamknięty,
4. W jaki sposób należy opisać zachodzący proces
termodynamiczny,
5. Czy rozważany układ jest stacjonarny, czy zmienny
w czasie.
Po znalezieniu odpowiedzi na te pytania, należy
należy dokonać analizy matematycznej
problemu, która może przebiegać następująco:
1. Naszkicowanie układu i określenie wlotu i wylotu
masy i energii,
2. Matematyczne sformułowanie dostępnej
informacji,
3. Przeprowadzenie bilansu energii,
4. Napisanie relacji opisujących proces,
5. Połączenie wszystkich informacji i otrzymanie
wyniku.
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
10
4.2 Bilans energii i konwencja dotycząca
znaku energii
W rozdziale 2 omówiliśmy relacje
energetyczne dotyczące układów zamkniętych,
czyli takich dla których nie zachodzi transport
masy poprzez granice układu.
Przyjęliśmy
przyjmować za dodatnią energię dodaną do
układu, a za ujemną energię oddawaną przez
układ, który rozważamy.
Nie możemy oczywiście zapomnieć o
zasadzie zachowania energii:
Energia, którą układ pobiera jest równa
energii, którą oddaje plus energia
akumulowana w układzie.
Analiza układu opierać się będzie na
relacjach poznanych na poprzednim
wykładzie.
Pamiętamy, że dla układów zamkniętych
można zapisać pierwszą zasadę
termodynamiki jako:
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
11
dE
W
d
Q
d
(4.1)
Użyliśmy we wzorze różniczek, aby móc opisać
każdy możliwy proces.
d‘
Q
d‘
W
d’Q+d’W=dE
W układzie
zamkniętym nie ma
przepływu masy.
4.3 Układ otwarty
Przykładem termodynamicznego układu
otwartego może być grzejnik wody.
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
12
Strumi
eń
Zimnej
wody
Ciepł
awod
a
Q
dostarczan
e ciepło
Granica
układu
Zdefiniowany układ nie bardzo zgadza się z
nasza poprzednią definicją układu
termodynamicznego, jako pewnej określonej
wyodrębnionej ilości materii. Problem ten
rozwiążemy, stosując do analizy takich
układów praw dotyczących układów
zamkniętych.
Zobaczmy w jaki sposób możemy opisać
przepływ masy. Można tego dokonać
definiując jej strumień.
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
13
1
2
A
m
s
Jeśli przez
V
=
s/dt oznaczymy średnią
prędkość
przepływającej substancji, której
gęstość oznaczymy przez ,
wtedy strumień
masy przepływającej na jednostkę czasu przez
układ wynosi
m
AV
r
=
.
(4.2
)
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
14
4.4 Analiza układu otwartego – objętość
kontrolna
Aby móc analizować procesy
termodynamiczne w układach otwartych
wprowadzamy pojęcie objętości kontrolnej
.
Jest to pewna część przestrzeni, określona
granicą, w której obserwujemy przepływ masy
i energii.
dt
dm
i
m
A
e
m
objętość
kontroln
a
bilans
masy
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
15
dt
dE
i
m
B
e
m
objętość
kontrolna
bilans
energi
i
e
i
e
e
Literą e oznaczyliśmy ilość energii na
jednostkę masy.
dt
Q
d'
dt
W
d'
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
16
Masa wpływająca do objętości kontrolnej jest
równa masie wypływającej z niej plus wzrost
masy wewnątrz objętości kontrolnej.
e
dt
dm
i
m
m
(4.3)
Jest oczywiste, że nasz układ może mieć wiele
wlotów i wylotów. Wtedy równanie (4.3)
przyjmuje postać:
e
i
e
dt
dm
i
m
m
(4.4)
W celu analizy bilansu energii w całym
obszarze kontrolnym, rozważmy ustaloną
masę, która porusza się przez objętość
kontrolną.
Odpowiada to zachowaniu się
układu zamkniętego, w którym następuje ruch
masy przez objętość kontrolną
.
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
17
Układ ten może być poddany ciśnieniu
otoczenia. Może nastąpić transfer ciepła przez
granicę układu, mogą na niego działać różne
siły wykonujące pracę.
Energia wewnętrzna układy zamkniętego może
zmieniać się na wskutek ruchu z jednego
miejsca do drugiego, jak również na wskutek
zmiany prędkości.
Niezależnie od obserwowanych zjawisk możemy
zastosować zasadę zachowania energii.
Całkowity przepływ masy do i z objętości
kontrolnej można rozważyć jako ciąg
elementów
dm
, czyli małych zamkniętych układów
termodynamicznych.
Możemy uważać, że
strumień masy przepływający przez układ
transportuje energię wewnętrzną przez granice
naszego układu
.
Dla takiego układu możemy sformułować
zasadę zachowania energii następująco:
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
18
Transport energii wewnętrznej do objętości
kontrolnej +
ciepło dodane do objętości kontrolnej, +
praca wykonana na wszystkich elementach w
czasie ich ruchu przez układ,
są równe wzrostowi energii wewnętrznej
wewnątrz objętości kontrolnej + transport
energii wewnętrznej z objętości kontrolnej.
Analityczny zapis jest
następujący:
e
dt
dE
dt
W
d
dt
Q
d
i
E
E
'
'
(4.4)
Gdzie E
i
i E
e
oznaczają transport energii
wewnętrznej na jednostkę czasu odpowiednio
na wlocie i wylocie układu. Możemy wielkości
te wyrazić następująco:
. .
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
19
e
e
i
i
e
m
e
e
m
i
E
E
(4.5)
Równanie
(4.4)
można stosować do analizy
układów otwartych.
Można jednak wyrazić inaczej człon
odpowiadający pracy.
Aby masa przepływała przez układ potrzebna jest
siła. Siła ta jest
dana przez ciśnienie w układzie.
Element masy o objętości
A · s
ażeby być
przetransportowany
do lub z objętości kontrolnej musi być poddany
działaniu siły
p·A
na drodze
s
, przy czym niezależnie od wielkości
masy
s=V/A
.
Praca potrzebna na przepchanie masy do lub z
objętości kontrolnej jest równa:
V
p
A
V
A
p
s
F
ds
F
W
(4.6
)
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
20
1
2
m
s
A
Wypadkowa praca wykonana na układzie przy
przesunięciu masy z punktu 1 do punktu 2
wynosi
2
2
1
1
V
p
V
p
W
wyp
p
1
V
1
jest pracą wykonaną na objętości przy
wprowadzaniu jej w objętość kontrolną, a
p
2
V
2
odpowiednio przy wyprowadzaniu jej z
objętości kontrolnej. Różnica jest równa
wypadkowej pracy dodanej.
pV
jest pracą strumienia substancji i należy tą
wielkość rozpatrywać oddzielnie od pracy
wprowadzonej z zewnątrz.
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
21
Równanie energetyczne przyjmie więc
postać:
)
(
'
'
)
(
e
e
e
e
zew
i
i
i
i
v
p
e
m
dt
dE
dt
W
d
dt
Q
d
v
p
e
m
(4.
7)
Przypominam, że
v
i,e
oznaczają objętość jednostki
masy.
W
zew
jest pracą dostarczoną objętości
kontrolnej przez siły zewnętrzne.
Równanie
(4.7)
przedstawia ogólny bilans
energii dla układu otwartego.
W przypadku, kiedy rozważany układ otwarty
zachowuje się jak stan stacjonarny, tzn. że nie
ma w objętości kontrolnej zmiany w czasie,
czyli
0
0
dE
dm
i
dt
dt
s
s
� �
� �
=
=
� �
� �
� �
� �
,
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
22
Wtedy i równanie
(4.7)
przechodzi w:
e
i
m
m
)
(
)
(
'
'
i
i
i
e
e
e
zew
v
p
e
v
p
e
m
dt
W
d
dt
Q
d
(4.
8)
Ażeby móc ostatecznie sformułować bilans
energii dla układu otwartego, przypomnijmy
sobie od jakich wielkości zależy
energia
wewnętrzna r.(2.13), (E=U+E
k
+E
p
+E
chem
+ .....)
oraz
definicję entalpii r
.(2.18)
(h=u+pv).
Entalpia jest własnością układu
, gdyż zależy
tylko od wielkości stanowiących własność
układu.
Ma ona fizyczne znaczenie w
zastosowaniu do układu otwartego
, które nie
jest już ważne dla układu zamkniętego. A to
dlatego, że iloczyn
pv
w układzie zamkniętym
nie stanowi pracy strumienia substancji.
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
23
Wprowadzając do bilansu energii
(r.(4.7))
entalpię i zakładając, że układ otwarty może
mieć więcej wlotów i wylotów, możemy zasadę
zachowania zapisać następująco:
...)
(
'
'
...)
(
e
e
i
i
chem
k
e
e
e
zew
chem
k
i
i i
E
E
h
m
dt
dE
dt
W
d
dt
Q
d
E
E
h
m
(4.9
)
Równanie to jest dość skomplikowane, ale w
rozważaniach praktycznych okazuje się, że
można go jeszcze uprościć. Np. dla gazu
idealnego, czy układu woda-para wodna
można zaniedbać energię chemiczną.
Oceńmy rolę energii kinetycznej. Policzmy
jaka prędkość jest potrzebna aby uzyskać
energię kinetyczną 1kJ/1kg.
21 marca 2011
Reinhard Kulessa
24
1000J/kg = 1/2v
2
v=44.7 m/s.
Jest to prędkość znacznie większa niż w
większości rozważanych przypadków
(nie
biorąc oczywiście pod uwagę turbiny
gazowej, czy silnika odrzutowego)
takich jak
strumień wody czy powietrza, pary w
rurociągu, czy freonu w chłodnicy.
Prędkości są zwykle tak małe, że można
zaniedbać energię kinetyczną w porównaniu
z entalpią czy energią wewnętrzną
.
Document Outline