Dynamika
-
zasady dynamiki
-
zasady zachowania
-
układy inercjalne
-
układy nieinercjalne
Wykład - KURS 3 -
Dynamika
-
zasady dynamiki
-
zasady zachowania
-
układy inercjalne
-
układy nieinercjalne
Wykład - KURS 3 -
Dynamika
badanie przyczyn ruchu
badanie związków między ruchem
ciała a siłami działającymi na ciało
określenie ruchu ciała pod działaniem
znanych sił
wyznaczenie sił działających na ciało,
gdy znany jest jego ruch
2
Dynamika – badanie przyczyn
ruchu (Newton, XVIII w.)
Oddziaływania fundamentalne
Oddziaływania
Źródło
Intensywność
względna
Promień
działania
Grawitacyjne
Masa
10
-39
Daleko-
zasięgowe
Słabe
Cząstki elementarne
10
-15
Krótko-
zasięgowe
(10
-15
m)
Elektro-
magnetyczne
Ładunki elektryczne
10
-2
Daleko-
zasięgowe
Jądrowe (silne)
Hadrony (protony,
neutrony, mezony)
1
Krótko-
zasięgowe
(10
-15
m)
3
a
m
F
Masa, pęd, siła
masa – wielkość skalarna
charakteryzuje właściwości inercjalne ciała, czyli jego
uległość wobec oddziaływań na niego innych ciał
mechanika klasyczna masa ciała nie zależy od prędkości
określenie masy poprzez porównanie z masą innego ciała
wzorca
pęd – wielkość wektorowa
wielkość dynamiczna charakteryzująca ruch ciała
pęd p – iloczyn masy i prędkości ciała
siła – wielkość wektorowa
będąca miarą oddziaływań prowadzących do zmiany
prędkości – jeśli ciało o masie m porusza się z
przyspieszeniem a, to pozostaje ono pod działaniem siły F
definiowanej jako
v
m
p
4
Siły wewnętrzne i zewnętrzne
w układzie ciał
układ ciał – zbiór dwóch lub większej liczby ciał
układ zamknięty – masa układu podczas ruchu
nie ulega zmianie
siła wewnętrzna – siła działająca między
ciałami składowymi układu
siła zewnętrzna – siła pochodząca ze strony
ciał nie należących do układu
układ odosobniony(izolowany) – wypadkowa
sił zewnętrznych na układ jest równa zeru
5
Ciało
pozostaje w spoczynku
porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym
dopóki wypadkowa sił zewnętrznych nie zmieni tego
stanu, czyli jest równa zeru
I zasada dynamiki Newtona –
przyczyna zachowania stałej
prędkości ciała
prędkość ciała pozostaje stała (w szczególności równa zero,
czyli ciało pozostaje w spoczynku), dopóki oddziaływania ze
strony innych ciał (zewnętrzne siły) jej nie zmienią, czyli
wypadkowa siła działająca na to ciało jest równa zero
lub
a= 0
Z doświadczenia:
6
7
Pierwsza zasada dynamiki nosi nazwę
zasady bezwładności.
Przez bezwładność rozumiemy właściwość ciała
decydującą o tym, że ciało bez działania sił nie
może zmienić ani wartości, ani kierunku swej
prędkości. Czyli bez działania sił pozostaje w
takim stanie jak było wcześniej: spoczywa jeśli
spoczywało, lub porusza się ruchem jedno-
stajnym jeśli było w jakimkolwiek ruchu.
Pośrednim wnioskiem z pierwszej
zasady jest fakt, że wszelkie zmiany
prędkości mogą zachodzić jedynie pod
działaniem sił. Musi więc istnieć związek między
siłą a zmianami prędkości. Ta zależność jest
treścią drugiej zasady dynamiki.
II zasada dynamiki Newtona –
przyczyna zmiany prędkości ciała
F
wyp
- wypadkowa siła (suma wektorowa wszystkich sił ) działa-
jąca na ciało o masie m zmienia jego prędkość, czyli nadaje mu
przyspieszenie a
8
a
m
F
wyp
9
II zasada dynamiki nie jest fundamentalnym
prawem fizyki
nie ma zastosowania dla ciał o bardzo małej
masie rzędu mas atomowych – mechanika
kwantowa
w podanej postaci ma zastosowanie tylko dla
ciał o stałej masie
10
Ogólne ujęcie drugiej zasady dynamiki
Do wyrażenia
podstawiamy znane wyraże-
nie:
i otrzymujemy
Iloczyn siły i czasu jej działania nazywamy
popędem siły
. Jest to wektor o kierunku
zgodnym z kierunkiem wektora .
Iloczyn masy i prędkości nosi nazwę
pędu
. Jest
to również wektor.
Kierunek wektora pędu jest zgodny z kierunkiem
prędkości . Równanie ostatnie wyraża, że
wektor
popędu siły jest równy wektorowemu przyrostowi
pędu wywołanemu przez tę siły.
czyli
a
m
F
1
2
1
2
t
t
a
.
m
m
t
t
F
1
2
1
2
p
t
t
F
1
2
.
t
p
F
II zasady dynamiki Newtona
- ogólna postać
zmiana masy występuje w przypadku:
straty lub przyrostu materii
dla ciał poruszających się z prędkościami bliskimi
prędkości światła c - efekty relatywistyczne
Szybkość zmiany pędu ciała jest równa sile
wypadkowej działającej na to ciało
ogólniejsza postać II zasady dynamiki Newtona
słuszna także dla ciał o zmieniającej się masie
a
m
dt
v
d
m
F
wyp
dla
11
wyp
F
dt
p
d
dt
dm
v
dt
v
d
m
dt
v
dm
dt
p
d
F
wyp
0
dt
dm
12
Gdy prędkość ciała jest porównywalna z prędkością
światła, należy uwzględniać zmienność masy podczas
ruchu co opisuje szczególna teoria względności.
Zmienność masy wynikająca z ruchu ciała jest
określona równaniem Einsteina:
(3.4)
gdzie m oznacza masę ciała będącego w ruchu,
m
0
– masę tegoż ciała w spoczynku,
c – prędkość światła w próżni (ok. 3000 000 km/s).
Ze wzoru wynika, że nawet wtedy, gdy prędkość ciała równa
się 30 000 km/s, zmiana masy jest niewielka, mniejsza od
1%. Gdy prędkości zbliżają się do prędkości świata (co może
występować np. w przypadku mikrocząsteczek), masa coraz
szybciej rośnie. W tych warunkach zamiast mechaniki
niutonowskiej należy stosować mechanikę relatywistyczną.
2
2
0
c
/
1
m
m
III zasada dynamiki Newtona –
wzajemne oddziaływanie dwóch ciał
dla każdej zewnętrznej siły
działającej na ciało występuje
siła równa co do wartości, ale
przeciwnie skierowana, którą
dane ciało wywiera na ciało,
będące źródłem siły zewnętrznej
A
B
F
AB
F
BA
dla sił wewnętrznych, sile jednej
części układu przeciwdziała siła
reakcji innej części układu
wypadkowa siła w izolowanym z
układzie jest równa zeru. Tylko
siły zewnętrzne mogą być przy-
czyną ruchu układu.
W przyrodzie nie ma izolowanych sił
III zasada dynamiki
Newtona – przykład
uniwersalnej zasady
symetrii, nie ma od niej
odstępstw
Podczas zderzenia siła z jaka mały samochód działa na duży jest takiej samej wartości
13
A
B
B
A
F
F
III zasada dynamiki Newtona –
siły akcji i reakcji działają na różne ciała
siły działające na melon:
F
MS
i F
MZ
- nie są siłami akcji i
reakcji (działają na to samo
ciało)
- są siłami akcji i
reakcji
pary sił F
MS
i F
SM
pary sił F
MZ
i F
ZM
14
Zasady dynamiki Newtona
Ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się
ruchem jednostajnym prostoliniowym dopóki nie
zostanie zmuszone za pomocą odpowiednich sił do
zmiany tego stanu (zasada bezwładności)
Szybkość zmiany pędu ciała jest równa sile
wypadkowej działającej na to ciało
Gdy dwa ciała oddziaływają wzajemnie to siła
wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest
równa i przeciwnie skierowana do siły z jaką ciało
pierwsze działa na ciało drugie
A
B
B
A
F
F
wyp
F
dt
p
d
wyp
F
a
m
dt
v
d
m
dt
v
dm
15
Równanie ruchu
t
v
r
F
F
,
,
dt
v
d
m
a
m
F
dt
m
F
v
x
0
, v
0
– położenie i prędkość w
początkowej chwili czasu t
0
=0
Z równania ruchu można otrzymać prędkość i tor ciała w dowolnej
chwili czasu , odtworzyć ruch przeszły i przewidzieć poruszanie
się w przyszłości charakter deterministyczny
Jeżeli znamy masę i siłę działającą na ciało to II
zasada dynamiki Newtona określa tzw. równanie
ruchu
dt
v
r
Przykład: Rozpatrzmy ruch jednowymiarowy o a=const.
0
0,
,
x
r
2
2
dt
x
d
dt
dv
a
1
C
at
dt
a
v
1
0
0
C
v
v
0
v
at
v
2
0
2
0
2
C
t
v
at
dt
v
at
dt
v
x
2
0
0
C
x
x
0
0
2
2
x
t
v
at
x
ConstantAccel.swf
16
Zasady zachowania –
najbardziej
fundamentalne prawa
„zewnętrzne” – pędu,
momentu pędu, energii
„wewnętrzne” – ładunku,
liczby nukleonów, liczby
leptonowej
Energia
Energia to wielkość fizyczna charakteryzująca stan ciała
(układu ciał) pod względem jego zdolności do wykonywania
pracy (ruchu ciała)
zależnie od różnych rodzajów procesów fizycznych mówimy
o różnych formach energii:
wewnętrznej
mechanicznej
elektromagnetycznej
jądrowej
chemicznej
zasadniczo rozróżnia się energię:
E
k
kinetyczną – związaną z ruchem ciała
U potencjalną – związaną z siłami działającymi na ciało i
jego położeniem
18
Energia kinetyczna
punktu materialnego
Energia kinetyczna K punktu materialnego
o masie m poruszającego się z prędkością v,
dużo mniejszą od prędkości światła c (v<<c)
2
2
1
v
m
K
Energia kinetyczna jest związana z ruchem ciała,
ciało posiada energię kinetyczną ponieważ porusza się
Energia kinetyczna
wyraża fakt, że
poruszające się ciało jest
zdolne go wykonania
pracy nad ciałem, w
które uderzy
19
Energia kinetyczna
Wyznaczmy całkowitą pracę siły F wzdłuż toru AB
B
A
B
A
B
A
AB
v
d
v
m
r
d
dt
v
d
m
=
r
d
F
=
W
to energia kinetyczna
2
mv
2
1
K
gdzie
Zasada równoważności pracy i energii
Zmiana energii kinetycznej
cząstki jest równa całkowitej
pracy wykonanej nad cząstką
20
Grupy i rodzaje sił
Dla sił zachowawczych
praca sił pomiędzy dwoma punktami
nie zależy
od
wyboru drogi, a tylko od położenia końcowego i
początkowego punktu
praca po drodze zamkniętej jest równa zero
x
r
d
r
F
r
d
r
F
r
d
r
F
W
L
L
L
AB
3
1
2
)
(
)
(
)
(
Z punktu widzenia zasady zachowania
energii w mechanice:
siły zachowawcze (grawitacyjne,
sprężystości)
siły rozpraszające (tarcie)
0
r
d
r
F
W
ABA
)
(
B
A
L
1
L
3
L
2
0
y
21
Siły zachowawcze – energia
potencjalna
const
r
d
F
r
d
F
W
ADB
ACB
AB
Jeżeli praca wykonana przez siłę
przemieszczająca cząstkę z punktu A
do B jest niezależna od toru
łączącego punkty A i B, to siła jest
siłą zachowawczą.
Zmiana energii potencjalnej to praca wykonana nad ciałem
przez siłę zachowawczą, wzięta z przeciwnym znakiem
B
A
A
B
AB
AB
U
=U
r
d
F
W
=
U
Zwykle A wybiera się w nieskoń-
czoności i przyjmuje
0
A
U
B
B
r
d
F
-
U
czyli określa energię potencjalną w punkcie B
22
Energia potencjalna
punktu materialnego
Energia potencjalna – energia wynikająca z położenia lub
konfiguracji układu ciał względem siebie
Jeśli siły działające na ciało zależą tylko od położenia F(r)
tzw.
siły zachowawcze
, to mogą być reprezentowane
przez funkcję energii potencjalnej U
)
(r
F
dr
dU
punkt odniesienia r
odn
o zerowej energii
potencjalnej może być dowolnie wybrany
Energia potencjalna = praca wykonana przez siły zewnętrzne
przy przesunięciu ciała z punktu odniesienia o zerowej energii
potencjalnej do danego punktu o położeniu r
r
r
odn
r
d
F
r
U
)
(
znając energię potencjalną można wyznaczyć
siłę działającą na ciało
23
PRZYKŁAD
Praca wykonana przez siłę grawitacyjną
r
j
r
i
r
r
F
mg
g
=mgh
h
h
=mg
dy
mg
dy
j
dx+
i
mg
j
W
2
1
h
h
h
h
AB
2
1
2
1
=
Ponieważ praca
wykonana przez siłę
grawitacyjną jest
niezależna od tego po
jakim torze porusza się
cząstka między punktami
A i B, więc jest to siła
zachowawcza
r
d
F
W
AB
g
AB
mgh
W
U
AB
24
Grawitacyjna energia
potencjalna
r
Mm
G
r
GMm
dr
r
GMm
dr
r
Mm
G
r
d
F
r
d
F
U
R
R
R
R
R
2
2
1
Energia potencjalna to praca jaką należy wykonać przenosząc
daną masę z nieskończoności do danego punktu pola
Energia potencjalna masy m w polu
grawitacyjnym ma zawsze wartość
ujemną i rośnie do zera w miarę
oddalania się do nieskończoności
r
r
r
M
m
G
F
2
W polu grawitacyjnym zgodnie z prawem powszechnego
ciążenia na masę m działa siła grawitacyjna
U
r
0
F m
25
Prawo zachowania energii
mechanicznej
jeżeli wszystkie siły działające na cząstkę są zachowawcze, to
całkowita energia cząstki w każdym jej położeniu jest wielkością
stałą, zwaną całkowitą energią mechaniczną
siła niezachowawcza np. siła tarcia, ciepło, promieniowanie
energia układu izolowanego może przekształcać się z jednej
postaci w inną, jednak energia całkowita w jej różnorodnych
formach nie może być ani stworzona z niczego, ani też
unicestwiona
A
B
AB
K
K
W
B
A
AB
U
U
)
e
zachowawcz
(
W
const
=
U
+
K
=
U
+
K
B
B
A
A
)
U
K
(
)
U
K
(
)
wcze
niezachowa
(
W
A
A
B
B
AB
A
B
AB
AB
K
K
wcze
niezachowa
W
e
zachowawcz
W
)
(
)
(
26
Zasada zachowania pędu
pęd cząstki o masie bezwładnej m i prędkości jest wektorem
całkowity pęd izolowanego i zamkniętego układu cząstek pozostaje stały
(jeśli na układ cząstek nie działają siły zewnętrzne lub ich wypadkowa jest równa zeru, to całkowity
pęd układu nie ulga zmianie)
pęd początkowy jest równy pędowi końcowemu
jeśli wypadkowa sił zewnętrznych jest wzdłuż pewnej osi równa zeru, to składowa pędu w tym kierunku
nie ulega zmianie
v
m
p
z
y
x
mv
k
mv
j
mv
i
p
v
const
v
m
v
m
v
m
v
m
N
i
i
i
N
N
B
B
A
A
1
konc
pocz
p
p
27
Zderzenie sprężyste
m
1
v
1
+ m
2
v
2
= m
1
u
1
+ m
2
u
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
u
m
u
m
m
m
v
v
Zasada zachowania pędu Zasada zachowania energii
przed
po
Zderzeniem nazywamy krótkotrwały proces, w którym jakieś
ciała zbliżają się do siebie, a następnie w wyniku wzajemnego
oddziaływania ich ruch ulega zmianie.
28
Zderzenie niesprężyste (idealne)
1
1
V
m
2
2
V
m
1
2
1
u
m
m
Zasada zachowania pędu
Zasada zachowania energii
1
2
1
2
2
1
1
u
m
m
V
m
V
m
E
u
m
m
V
m
V
m
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
E
2
1
2
2
1
1
1
m
m
v
m
v
m
u
strata energii
Airtrack.s wf
29
Prawa ruchu Newtona konsekwencją
zasady zachowania pędu
const
v
m
v
m
B
B
A
A
a
m
F
B
B
A
A
a
m
a
m
B
A
F
F
const
v =
0
F
II P.N.
III P.N.
I P.N.
x
y
z
m
A
m
B
v
B
r
A
v
A
r
B
Rozpatrzmy dwie masy m
A
i m
B
poruszające się z prędkościami
0
dt
v
d
m
dt
v
d
m
B
B
A
A
m
F
a
1
B
A
v
v
,
30
Równorzędność zasady zachowania
pędu i praw Newtona
z zasady zachowania pędu można wyprowadzić
prawa Newtona
z II i III zasady dynamiki Newtona można
wyprowadzić zasadę zachowania pędu
const
p
p
dt
p
p
d
dt
p
d
dt
p
d
dt
v
dm
dt
v
dm
dt
v
d
m
dt
v
d
m
F
F
B
A
B
A
B
A
B
B
A
A
B
B
A
A
A
B
B
A
0
)
(
III zasada dynamiki Newtona
II zasada dynamiki Newtona
w układzie odosobnionym pęd
całkowity układu jest stały w
czasie
31
32
Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu.
Siła dośrodkowa.
Rozważmy ruch jednostajny po okręgu z punktu widze-
nia dynamiki. Zgodnie z I zasadą dynamiki tylko ruch
jednostajny prostoliniowy może istnieć bez działania
sił.
Ruch jednostajny po okręgu wymaga już istnienia
siły.
Według II zasady dynamiki wartość liczbowa tej siły wyraża
się zależnością
F=ma.
(3.6)
Pamiętamy, że przyspieszenie a w ruchu jednostajnym po
okręgu możemy zapisać
(3.7)
Uwzględniając wyrażenie (3.6) i (3.7) otrzymujemy
lub
(3.8)
Kierunek tej siły jest zgodny z kierunkiem przyspie-
szenia a, tak więc siła ta działa wzdłuż promienia r do
środka koła. Stąd pochodzi nazwa siły dośrodkowej.
r
r
a
2
2
r
m
F
2
r
m
F
2
33
Można
wymienić
wiele
przykładów
siły
dośrodkowej.
Gdy kamień przymocowany do sznurka wprawiamy
w ruch po okręgu, to siłę dośrodkową wywiera nasza
ręka za pośrednictwem napiętego sznurka.
Gdy pociąg posuwa się po zakrzywionym torze, to
sprężyste oddziaływanie zewnętrznej szyny stanowi
siłę dośrodkową.
Jeśli przyjmiemy, że Księżyc krąży dokoła Ziemi po
torze
kołowym,
to
siłę
dośrodkową
stanowi
przyciąganie grawitacyjne Ziemi.
Podczas krążenia elektronu po kołowej orbicie dokoła
jądra atomu siłę dośrodkową stanowi elektryczne
przyciąganie ujemnie naładowanego elektronu przez
dodatnio naładowane jądro atomowe.
34
Inercjalne układy
odniesienia
Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że jeśli na ciało
nie działają żadne siły lub działają siły zrównoważone
(F=0), to ciało jest nieruchome lub porusza się ru-
chem jednostajnym prostoliniowym. >Ponieważ ruch
jest zmianą położenia ciała względem układu odnie-
sienia, możemy zapytać,
czy w każdym układzie
odniesienia będzie spełniona I zasada dynamiki
Newtona.
Otóż okazuje się, że zasada ta obowiązuje tylko
w inercjalnych układach odniesienia.
Układy odniesie-
nia, w których I zasada dynamiki nie jest spełniona,
noszą nazwę układów nieinercjalnych
. Pierwsza
zasada dynamiki jest w istocie postulatem, że
układ inercjalny istnieje.
Inercjalne układy
odniesienia
Jeżeli ciało, na które nie działają żadne siły,
pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem
jednostajnym prostoliniowym to układ odniesienia
nazywamy inercjalnym
Pierwsza zasada dynamiki Newtona nie jest
prawem przyrody, lecz postulatem układu
inercjalnego w przyrodzie
Układ związany z Ziemią jest przybliżeniem układu
inercjalnego
35
Transformacje Galileusza
Punkt P nieruchomy w stacjonarnym układzie 0
1
obserwowany jest
z układu 0
2
poruszającego się z prędkością względem układu 0
1
v
vt
-
x
x
1
2
1
2
y
=
y
1
2
z
=
z
1
2
t
=
t
y
1
x
1
z
1
0
1
y
2
x
2
z
2
0
2
v
P
vt
Transformacje Galileusza to układ równań wiążący współrzędne
i czas dwóch układów inercjalnych (słuszny gdy v << c)
const
v
v
)
,
,
(
0
0
36
Niezmienniczość Galileusza
Czas we wszystkich układach inercjalnych jest taki sam,
biegnie jednakowo
Galileuszowskie dodawanie prędkości
Przyspieszenie jest niezmiennikiem transformacji Galileusza
Zasada względności Galileusza: istnieje nieskończenie wiele
układów inercjalnych w których spełniona jest pierwsza i
druga zasada dynamiki Newtona. Wszystkie te układy są
równoważne i żaden z nich nie jest wyróżniony
v
v
v
2
1
1
2
=t
t
1
2
a
a
v
dt
dx
dt
dx
1
2
37
Prawo zachowania pędu jest niezmiennikiem
transformacji Galileusza
const
v
m
v
m
'
'
1
1
w układzie
0
1
const
v
m'
v
m
'
2
2
w układzie
0
2
Prawo zachowania pędu pozostaje niezmiennicze we
wszystkich układach inercjalnych
y
1
x
1
z
1
0
1
y
2
x
2
z
2
0
2
m
v
m’
1
v
'
1
v
v
v
v
2
1
v
v
v
'
'
2
1
v
m
m
const
v
m'
v
m
'
2
2
'
38
z
1
x
1
y
1
z
2
y
2
x
2
P
Układy nieinercjalne
a
v
v
v
2
v
1
=v
2
+v
r
2
r
1
a
a
2
a
1
=a
2
+a
r
Układ 0
2
porusza się ruchem niejednostajnym prostoliniowym
z prędkością v i przyspieszeniem a
39
Układy nieinercjalne
Przyspieszenie (siła) nie są niezmiennicze
przy przejściu z jednego układu do drugiego
W układzie nieinercjalnym do sił rzeczywiście
działających trzeba dodać siły bezwładności –
zmodyfikowane drugie prawo Newtona
a
m
a
m
a
m
1
2
b
2
F
F
a
m
gdzie
a
m
F
b
siła bezwładności
40
PRZYKŁAD
Winda poruszająca się ruchem niejednostajnym
a
b
F
g
m
b
F
F
F
2
a
b
F
g
m
b
F
F
F
2
g
a
b
F
g
m
0
2
F
41
Wirujący układ odniesienia
Układ O
2
wiruje wokół dowolnej osi ze stała prędkością
kątową
z
1
x
1
y
1
z
2
y
2
x
2
P
r
2
r
1
r
z
2
v
2
42
Siły bezwładności w ruchu obrotowym
Układ 0
2
wiruje wokół osi ze stałą prędkością kątową
2
2
1
2
2
v
m
r
m
a
m
a
m
siła odśrodkowa
skierowana jest w kierunku promienia obrotu
siła Coriolisa
jeżeli prędkość ciała względem 0
2
jest zerowa – siła Coriolisa nie
występuje
jeżeli prędkość ciała w układzie 0
2
jest skierowana w kierunku osi
obrotu- siła Coriolisa nie występuje
Układy nieinercjalne
siła odśrodkowa
siła Coriolisa
43
Pole grawitacyjne
>> Ruch satelitów
44
Pole grawitacyjne
45
Prawo powszechnego ciążenia:
Dwa punkty materialne o masach m
1
i m
2
przyciągają się
wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie
proporcjonalną do kwadratu ich odległości r
Kule oddziałują ze sobą tak, jak
punkty materialne umieszczone
w środkach tych kul.
Na powierzchni Ziemi m
1
= m, m
2
= M, r = R
gdzie R = 6400km, M = 6·10
24
kg
r
r
r
m
m
G
F
2
2
1
2
2
11
10
67
,
6
kg
m
N
G
s
m
R
M
g
mg
F
81
,
9
,
2
46
Natężenie pola grawitacyjnego
47
Oddziaływanie grawitacyjne realizuje się za pośredni-
ctwem pola grawitacyjnego. O „intensywności” takiego pola
świadczy wartość siły grawitacji działającej na umieszczone w
danym punkcje pola ciało o jednostkowej masie m
Natężenie pola w pobliżu powierzchni Ziemi jest równe
przyspieszeniu ziemskiemu g
Wartość g nie jest wszędzie na powierzchni
Ziemi jednakowa, gdyż:
•Ziemia nie jest jednorodna
•Ziemia nie jest kulista
•Ziemia się obraca
r
r
r
M
G
m
F
a
g
2
g
a
g
Energia potencjalna i potencjał
grawitacyjny
48
Energia potencjalna to praca jaką należy wykonać przenosząc
daną masę z nieskończoności do danego punktu pola
Potencjał pola grawitacyjnego przedstawia energię potencjalną
przypadającą na jednostkę masy ciała umieszczonego w
danym punkcie pola
r
Mm
G
r
GMm
dr
r
GMm
dr
r
Mm
G
r
d
F
r
d
F
U
R
R
R
R
R
2
2
1
kg
J
r
GM
m
E
V
p
49
I prawo Keplera
Ruch planety wokół Słońca odbywa
się po elipsie. Słońce znajduje się
w jednym z dwóch ognisk elipsy.
II prawo Keplera (prawo pól)
Podczas obiegu orbitalnego plane-
ty wokół Słońca jej promień wo-
dzący - łączący planetę ze Słoń-
cem - zakreśla jednakowe pola w
jednakowych odstępach czasu.
Innymi słowy, prędkość polowa
planety jest stała.
III prawo Keplera
Drugie potęgi okresów obiegu
planet wokół Słońca (T
1
, T
2
) są
wprost proporcjonalne do trzecich
potęg wielkich półosi (a
1
, a
2
) ich
orbit: T
1
2
:a
1
3
=T
2
2
:a
2
3
.
Zaczniemy od policzenia I i II prędkości kosmicznej
Wyznaczyć pierwszą prędkość kosmiczną, czyli najmniejszą
możliwą prędkość , jaką musi mieć punkt materialny (satelita)
swobodnie krążący po orbicie wokół Ziemi. Promień Ziemi
R=6400 km.
R
r
F
1
F
2
h
Ziemia
Wyobraźmy sobie pocisk wy-
strzelony poziomo na wys. h
nad Ziemią, któremu nadano
pewną prędkość początkową .
Po przebyciu pewnej drogi pocisk
spadnie na Ziemię. Jeżeli będzie-
my zwiększać prędkość początko-
wą pocisku, to jego droga będzie
coraz dłuższa i przy pewnej
prędkości początkowej pocisk
zacznie obiegać Ziemię dookoła i
nie spadnie na jej powierzchnię.
Nastąpi to wtedy, gdy prędkość
początkowa pocisku
osiągnie
pierwszą
prędkość
kosmi-
czną.
50
Na poruszający się po orbicie pocisk o masie m działają dwie siły
F
1
i F
2
o przeciwnych zwrotach:
siła odśrodkowa
i siła grawitacji
Warunkiem, aby orbita, po której porusza się pocisk, była stabil-
na jest równowaga tych sił
r
m
F
2
2
2
g
1
r
Mm
k
F
2
1
F
F
r
m
r
m
M
k
2
2
g
r
M
k
g
stąd
Promień r orbity satelity wynosi:
Ponieważ h<<R to pierwsza prędkość kosmiczna
I
wyraża się wzorem
h
R
r
R
M
k
g
I
Ale wiemy, że na powierzchni Ziemi spełnione jest równanie:
2
g
R
M
m
k
mg
2
g
R
g
M
k
gR
R
M
k
g
I
ostatecznie
m
6400000
s
m
81
.
9
2
I
s
/
km
9
.
7
s
/
m
7924
I
= 29 000 km/h
Wyobraźmy sobie ruch z taką prędkością w
atmosferze ziemskiej
52
A teraz kilka słów o tym jak naprawdę wyglądają
tory satelitów
.
Jeśli wystrzelimy rakietę z prędkością 8 km/s > to zajmie
ona orbitę kołową blisko powierzchni Ziemi. W każdej
sekundzie przebywa ona 8 km w kierunku poziomym
(stycznym) i 4,9 m w kierunku pionowym (radialnym) =
zakrzywienie Ziemi.
Wartość prędkości na orbicie kołowej pozostaje
stała, zmienia się tylko jej kierunek. Ruch satelity odbywa
się w kierunku prostopadłym do pola grawitacyjnego
Ziemi. Nie wykonuje on ruchu w kierunku pola co
powodowałoby wzrost prędkości, ani w kierunku
przeciwnym.
Przy ruchu prostopadłym do kierunku pola
prędkość satelity nie zmienia się co do wartości – zmienia
się jedynie jej kierunek
> satelita leci równolegle do
powierzchni Ziemi, spadając na nią w specyficzny
sposób.
53
54
W przypadku satelity krążącego blisko powierzchni
Ziemi okres jednego obiegu wynosi około 90 min.
Na większych wysokościach prędkość satelity
jest mniejsza i okres wzrasta >> satelity
telekomunikacyjne krążą na wysokości 5,5 razy
większej niż promień Ziemi >>> ich okres obiegu
wynosi 24 godziny. Tak więc satelita „wisi” nad
ustalonym punktem na powierzchni Ziemi.
Księżyc jest dalej i jego okres wynosi 27,3 dni
55
56
Orbity eliptyczne
Jeśli wystrzelimy rakietę ponad atmosferę ziemską (dla
uniknięcia oporu powietrza) z prędkością większą od 8
km/s to wyleci ona z orbity kołowej i jej tor stanie się
owalny = eliptyczny.
Na orbicie eliptycznej prędkość rakiety zmienia się.
Gdy prędkość jest większa od 8 km/s satelita wylatuje z
orbity kołowej i zaczyna się oddalać od Ziemi > porusza
się przeciwnie do siły grawitacji > dlatego jego prędkość
stopniowo się zmniejsza. …
57
Zasada zachowania energii w ruchu
satelitarnym
58
Tor typowego satelity
S 174
59
Wyznaczyć
drugą
prędkość
kosmiczną
tzw.
prędkość ucieczki
, czyli najmniejszą możliwą prędkość
II
jaką musi mieć punkt materialny (satelita) przy
powierzchni Ziemi, aby mógł się oddalić od Ziemi w
nieskończoność. Promień Ziemi R=6400 km.
Rozwiązanie:
Obliczmy najpierw, z jaką prędkością trzeba rzucić ciało
pionowo do góry, aby wzniosło się ono na wysokość h.
Zastosujemy w tym celu zasadę zachowania energii.
Całkowita energia mechaniczna E
1
na powierzchni Ziemi
wynosi:
gdzie
to energia kinetyczna
to grawitacyjna energia potencjalna
R
E
E
E
p
k
1
2
m
E
2
k
R
Mm
k
E
g
p
R
m
M
k
2
m
E
g
2
1
60
Całkowita energia mechaniczna E
2
ciała na
wysokości h ma postać:
bo na wysokości h; E
k
=0
Z prawa zachowania energii
h
R
Mm
k
E
g
2
2
1
E
E
h
R
Mm
k
R
m
M
k
2
m
g
g
2
h
R
1
R
1
M
k
2
g
Podstawiając
, otrzymujemy prędkość
ucieczki
h
R
M
k
2
g
II
61
Ale wiedząc, że na powierzchni Ziemi spełniona jest
równość
2
g
R
m
M
k
mg
2
g
R
g
M
k
gR
2
R
M
k
2
g
II
ostatecznie
m
6400000
s
m
81
.
9
2
2
II
s
/
km
2
.
11
s
/
m
11206
II
=40 320 km/h
Odpowiada to energii 62MJ /kg masy
Prędkość opuszczenia Układu Słonecznego =
42,5 km/s
62
Tab 9.1 177
63
Pierwszą próbę wysłania rakiety poza Układ
Słoneczny podjęto w1972 roku kiedy to wystrzelono
Pioniera 10 z prędkością 15km/s.
Rakietę naprowadzono na orbitę Jowisza dzięki
czemu została ona dodatkowo przyspieszona. Tak
zwiększona prędkość wystarczyła żeby Pionier
opuścił obszar przyciągania słonecznego. W roku
1984 przeciął on orbitę Plutona.
Nasza ziemska butelka powędrowała w
kosmos
Na koniec jedna uwaga – wszystkie
podane prędkości dotyczą przypadku gdy
silnik przestaje pracować krótko po starcie –
gdyby silnik pracował przez dłuższy czas
prędkość mogłaby być mniejsza.
64
Kolejne „drobiazgi”
65
będące skutkiem grawitacji … >>>
66
67
68