Obwody elektryczne I
Obwody elektryczne I
Literatura:
1. Michał Tadeusiewicz -
Teoria Obwodów
część I
wyd. PŁ
2. Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin -
Podstawy Teorii Obwodów
tom I
wyd. WNT
3.
Teoria Obwodów - zadania
pod redakcją M. Tadeusiewicza
wyd. PŁ
Podstawowe wiadomości
o obwodach elektrycznych
Elementy obwodów –
strzałkowanie prądów i napięć
i
u
Element dwukońcówkowy - dwójnik
Układ
n - zaciskowy
1
2
3
n-1
n
i
1
i
n
u
n-1
u
3
u
2
u
1
Przykład układu n - zaciskowego to czwórnik
1
1’
2
2’
Czwórnik
U
1
U
2
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
i
1
i
2
i
3
i
6
i
4
i
5
Przykład
obwodu
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
Przykłady pętli
I
II
III
1
2
3
4
5
6
V
IV
1
2
3
4
5
6
Przykłady pętli
Pętle I, II, III nazywamy „oczkami” obwodu.
I
II
III
Wewnątrz oczek nie ma innych gałęzi.
Prawa Kirchhoffa
PPK
Dla każdego obwodu,
dla każdego jego węzła
w każdej chwili t
suma algebraiczna wszystkich prądów
w gałęziach zbiegających się w węźle
jest równa zero.
W sumie tej znak + przypisujemy
prądowi „od węzła”.
n
k
k
i
1
0
PPK
Sumowanie odbywa się po wszystkich gałęziach
w węźle. Jest ich n.
Można napisać tyle równań ile jest węzłów
i
1
i
2
i
3
i
6
i
4
i
5
A
B
C
D
A: i
1
+ i
2
+ i
3
= 0 B: -i
1
+ i
4
+ i
6
= 0
C: - i
2
- i
4
+ i
5
= 0D: - i
3
- i
5
- i
6
= 0
Napisaliśmy 4 równania, tzn. tyle, ile jest węzłów.
Tworzą one układ równań zależnych, gdy dodamy
je stronami otrzymamy
0=0
gdyż każdy prąd
wypływa z jednego węzła („+”)
i wpływa do innego („-”).
Piszemy zawsze równań prądowych
1
-
liczba węzłów
NPK
Dla każdego obwodu,
dla każdej jego pętli
w każdej chwili t
suma algebraiczna napięć gałęziowych
w rozpatrywanej pętli
jest równa zero.
W sumie tej znak + przypisujemy
napięciom zgodnym z przyjętym
kierunkiem obiegu pętli
n
k
k
u
1
0
NPK
Sumowanie odbywa się po wszystkich gałęziach
tworzących pętlę. Jest ich n.
u
1
u
2
u
3
u
4
u
5
u
6
I
II
III
I: - u
1
- u
4
+ u
2
= 0
II: - u
2
- u
5
+ u
3
= 0
III: u
4
- u
6
+ u
5
= 0
Ile równań napisaliśmy na podstawie
praw Kirchhoffa?
Przyjmijmy, że gałęzi jest
b,
potrzebne jest zatem
b
równań – tyle , ile jest niewiadomych
prądów w gałęziach.
1
Z PPK
równań
Z NPK
1
b
równań
Właśnie jest oczek w obwodzie
1
b
Moc i energia
Moc chwilowa
)
(
)
(
)
(
t
i
t
u
t
p
Energia
t
d
i
u
t
w
)
(
)
(
)
(
Związek między mocą i energią:
dt
t
dw
t
p
)
(
)
(
t
d
p
t
w
)
(
)
(
i
u
Uwaga:
Wartości chwilowe wielkości obwodowych,
np.prądów i napięć (funkcje czasu)
oznaczamy zawsze małymi literami
np.
u(t), i(t), p(t), w(t)
Jednostki
V
u 1
1
Jednostka napięcia
Jednostka
natężenia
prądu:
A
i 1
1
Jednostka oporu (rezystancji):
1
1R
Jednostka mocy:
W
p 1
1
Stosujemy jednostki podstawowe układu SI:
Jednostka energii:
J
w 1
1
Będziemy rozważać elementy SLS:
•skupione (S)
•liniowe (L)
•stacjonarne (S)
Opornik
i
u
R
t
i
R
t
u
Jest to prawo Ohma
.
const
R
u(t)
i(t)
gdy
charakterystyka
prądowo-napięciowa
opornika liniowego jest linią prostą
przechodzącą przez
początek układu współrzędnych.
Ri
u
Rezystor
t
i
G
t
u
1
t
u
G
t
i
Wprowadzimy pojęcie
konduktancji (przewodności)
R
G
1
Jednostką konduktancji jest 1 simens
S
G 1
1
Cewka
t
i
L
t
Strumień magnetyczny
przenikający przez uzwojenie
jest proporcjonalny do prądu
i
.
const
L
gdy
i
u
L
charakterystyka
strumieniowo-prądowa
cewki liniowej
jest linią prostą
przechodzącą przez
początek układu współrzędnych.
Li
indukcyjność
L - indukcyjność cewki
H
L 1
1
dt
di
L
dt
d
t
u
Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie
„strumień skojarzony” z uzwojeniem:
z
dt
d
t
u
Kondensator
C
i
u
t
u
C
t
q
Ładunek elektryczny
na okładkach kondensatora
jest proporcjonalny do napięcia
gdy
.
const
C
charakterystyka
napięciowo-ładunkowa
kondensatora liniowego
jest linią prostą
przechodzącą przez
początek układu współrzędnych.
q
u
Cu
q
pojemność
C - pojemność kondensatora
F
C 1
1
dt
du
C
dt
dq
t
i
Elementy pasywne i aktywne obwodów
Element pasywny pobiera energię
Element aktywny dostarcza ją do obwodu
t
d
i
u
t
w
)
(
)
(
)
(
0
pasywny
t
d
i
u
t
w
)
(
)
(
)
(
0
aktywny
Źródła niezależne:
a) źródła napięcia
Idealne:
rzeczywiste:
E
u
AB
=E
A
B
A
B
E
R
w
u
AB
Charakterystyki źródeł:
Źródło idealne napięcia stałego
E
u
i
E
Źródło rzeczywiste napięcia stałego
E
R
w
u
i
i
R
E
u
w
E
u
i
w
R
E
b) źródła prądu
idealne:
rzeczywiste:
A
J
u
AB
B
J
G
w
u
AB
A
B
Źródło idealne prądu stałego
J
u
J
i
Źródło rzeczywiste prądu stałego
J
G
w
i
w
i
u
i
G
G
J
G
i
J
G
i
R
i
u
w
w
w
w
w
w
w
1
1
1
i
u
J
J
G
w
i
R
E
u
w
Połączenia oporników
a. Połączenie szeregowe:
R
1
R
2
R
n
U
1
U
2
U
n
U
i
n
U
U
U
U
2
1
n
R
i
R
i
R
i
2
1
n
R
R
R
i
2
1
n
k
k
z
R
i
U
R
1
n
k
k
z
R
i
U
R
1
W połączeniu szeregowym
rezystancje oporników dodają się
Dzielnik napięcia
U
R
1
R
2
U
1
U
2
i
2
1
R
R
U
i
2
1
1
1
1
R
R
R
U
R
i
U
2
1
2
2
2
R
R
R
U
R
i
U
b. Połączenie równoległe:
i
i
1
i
2
R
1
R
2
u
1
1
R
i
u
2
2
R
i
u
2
1
i
i
i
1
1
R
u
i
2
2
R
u
i
2
1
1
1
R
R
u
i
2
1
1
1
1
R
R
u
i
R
z
W połączeniu równoległym
odwrotności rezystancji oporników dodają się
n
k
k
z
R
R
1
1
1
Dla dwóch oporników otrzymamy:
2
1
2
1
R
R
R
R
R
z
R
R
R
R
R
gdy
z
2
1
2
1
Dzielnik prądu
i
i
1
i
2
u
R
1
R
2
Jaka część prądu i popłynie przez R
1
,
a jaka przez R
2
?
2
2
1
1
R
i
R
i
2
1
i
i
i
2
1
2
1
R
R
R
i
i
2
1
1
2
R
R
R
i
i
Przykład:
i
i
1
i
2
R
1
R
2
A
i
R
R
9
6
12
2
1
A
R
R
R
i
i
3
3
1
9
6
12
6
9
2
1
2
1
A
R
R
R
i
i
6
3
2
9
6
12
12
9
2
1
1
2
V
R
i
u
36
12
3
1
1
V
R
i
u
36
6
6
2
2
V
R
i
u
z
36
4
9
4
12
6
12
6
z
R
Zasada superpozycji
x
y
x
1
x
2
x
1
+x
2
y
1
+y
2
y
2
y
1
y=Ax
Odpowiedź układu liniowego
na sumę wymuszeń
równa się sumie odpowiedzi na
poszczególne wymuszenia
działające z osobna.
UL
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
x
y
x
1
x
2
x
1
+x
2
y
2
y
1
y=f(x)
y=y
1
+y
2
Dlaczego superpozycji nie można stosować
do układów nieliniowych:
Przykład:
W obwodzie działają dwa źródła napięcia e
1
i
e
2
. Celem jest obliczenie napięcia u
AB
metodą superpozycji.
i
1
i
2
e
1
e
2
R
1
R
2
R
3
u
AB
A
B
i
3
Pierwszy etap superpozycji
-
pozostawiamy w obwodzie tylko źródło e
1
, a
źródło e
2
zwieramy:
i
2
’
e
1
R
1
R
2
R
3
u
AB
’
A
B
i
1
’
i
3
’
1
3
2
3
2
R
R
R
R
R
R
z
i
1
’=
e
1
R
z
3
2
3
2
'
1
'
R
R
R
R
i
u
AB
Drugi etap superpozycji
- pozostawiamy
w obwodzie tylko źródło e
2
, a e
1
zwieramy:
i
1
’’
i
2
’’
e
2
R
1
R
2
R
3
u
AB
A
B
i
3
’’
3
2
3
2
''
2
''
R
R
R
R
i
u
AB
2
3
1
3
1
''
R
R
R
R
R
R
z
''
2
''
2
z
R
e
i
3
2
3
2
'
1
'
R
R
R
R
i
u
AB
3
2
3
2
''
2
''
R
R
R
R
i
u
AB
AB
AB
AB
u
u
u
''
'