Wykład 22

Prawdopodobieństwo 

całkowite. Schemat 

Bernoulli’ego

dr Tomasz Kowalski

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 2 / 

46

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech  A, B     i  P(B) > 0. 

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia 
A  pod warunkiem, że zaszło zdarzenie  B, 
nazywamy liczbę 

(

)

(

)

.

( )

P A B

P A B

P B

�

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 3 / 

46





={(i,j): i,j = 1, 2, 3, 4, 

5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że 

suma wyrzuconych oczek jest 

parzysta, jeżeli wiadomo, że suma ta 

jest mniejsza od 8? 

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

A



={(i,j)  : i + j  jest 

parzysta}

B



={(i,j)  : i + j  

< 8}

(

)

(

)

.

( )

P A B

P A B

P B

�

=

Szukane 
prawdopodobieństwo, to

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 4 / 

46

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że 

suma wyrzuconych oczek jest 

parzysta, jeżeli wiadomo, że suma ta 

jest mniejsza od 8? 

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

B



={(i,j)  : i + j  

< 8}

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 5 / 

46

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do gry.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że 

suma wyrzuconych oczek jest 

parzysta, jeżeli wiadomo, że suma ta 

jest mniejsza od 8? 

(1,
1)

(1,
2)

(1,
3)

(1,
4)

(1,
5)

(1,
6)

(2,
1)

(2,
2)

(2,
3)

(2,
4)

(2,
5)

(2,6
)

(3,
1)

(3,
2)

(3,
3)

(3,
4)

(3,5
)

(3,6
)

(4,
1)

(4,
2)

(4,
3)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,
1)

(5,
2)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,
1

)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

B



={(i,j)  : i + j  

< 8}

21 7

( )

36 12

P B =

=

AB

9

1

(

)

36 4

P A B

� =

=

1

(

)

1 12 3

4

(

)

7

( )

4 7

7

12

P A B

P A B

P B

�

=

=

= � =

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 6 / 

46

Niektóre własności prawdopodobieństwa 

warunkowego

(

)

( )

1.

( | )

1.

( )

( )

P B B

P B

P B B

P B

P B

�

=

=

=

(

)

0

( | )

0.

( )

( )

P A B

P A B

P B

P B

�

=

=

=

2.   Jeżeli zdarzenia A i B wykluczają się, to

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 7 / 

46

Zależność i niezależność zdarzeń

Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, 
jeżeli

(

)

( )

( ).

P A B

P A P B

� =

�

W przypadku, gdy warunek ten nie zachodzi 
zdarzenia nazywamy zależnymi.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 8 / 

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3, 

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do 

gry.
Niech A oznacza zdarzenie: 

suma wyrzuconych oczek jest 

większa od 8, 
B – oznacza zdarzenie: suma 

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są 

niezależne? 

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

A



={(i,j)  :  i +,j  > 

8}

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 9 / 

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3, 

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do 

gry.
Niech A oznacza zdarzenie: 

suma wyrzuconych oczek jest 

większa od 8, 
B – oznacza zdarzenie: suma 

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są 

niezależne? 

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,
6)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,
5)

(4,
6)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,
4)

(5,
5)

(5,
6)

(6,1
)

(6,2
)

(6,
3)

(6,
4)

(6,
5)

(6,
6)

n( ) = 36

A



={(i,j)  :  i +,j  > 

8}

n(A) = 10

( ) 10

5

( )

.

( ) 36 18

n A

P A

n

=

=

=

W

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 10 / 

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3, 

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do 

gry.
Niech A oznacza zdarzenie: 

suma wyrzuconych oczek jest 

większa od 8, 
B – oznacza zdarzenie: suma 

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są 

niezależne? 

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(1,4
)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,3
)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,2
)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,1
)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,6
)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,5

)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,4
)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

B



={(i,j)  :  5 | (i + 

j ) }

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 11 / 

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3, 

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do 

gry.
Niech A oznacza zdarzenie: 

suma wyrzuconych oczek jest 

większa od 8, 
B – oznacza zdarzenie: suma 

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są 

niezależne? 

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(

1,4

)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,
3)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,
2)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,
1)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,
6)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,
5)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,
4)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

B



={(i,j)  :  5 | (i + 

j ) } n(B) = 7

( )

7

( )

.

( ) 36

n B

P B

n

=

=

W

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 12 / 

46





={(i,j): i, j = 1, 2, 3, 

4, 5, 6}

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do 

gry.
Niech A oznacza zdarzenie: 

suma wyrzuconych oczek jest 

większa od 8, 
B – oznacza zdarzenie: suma 

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są 

niezależne? 

(1,1
)

(1,2
)

(1,3
)

(

1,4

)

(1,5
)

(1,6
)

(2,1
)

(2,2
)

(2,
3)

(2,4
)

(2,5
)

(2,6
)

(3,1
)

(3,
2)

(3,3
)

(3,4
)

(3,5
)

(3,6
)

(4,
1)

(4,2
)

(4,3
)

(4,4
)

(4,5
)

(4,
6)

(5,1

)

(5,2

)

(5,3

)

(5,4

)

(5,
5)

(5,6

)

(6,1
)

(6,2
)

(6,3
)

(6,
4)

(6,5
)

(6,6
)

n( ) = 36

n(AB) = 

3

(

)

3

1

(

)

.

( )

36 12

n A B

P A B

n

�

� =

=

=

W

AB

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 13 / 

46

Przykład

Rzucamy dwiema kostkami do 

gry.
Niech A oznacza zdarzenie: 

suma wyrzuconych oczek jest 

większa od 8, 
B – oznacza zdarzenie: suma 

oczek jest podzielna przez 5.
Czy zdarzenia A i B są 

niezależne? 

1

(

)

.

12

P A B

� =

7

( )

,

36

P B =

5

( )

,

18

P A =

Sprawdzamy warunek:

(

)

( ) ( ).

P A B

P A P B

� =

�

1

5 7

12

18 36

=

�

Warunek nie zachodzi. Zdarzenia są 
zależne.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 14 / 

46

Zależność i niezależność zdarzeń

(

)

( ) oraz (

)

( ).

P A B

P A

P B A

P B

=

=

 Jeżeli zdarzenia  A  i  B  o dodatnich 
prawdopodobieństwach są niezależne, to 

Istotnie

(

)

(

)

( )

P A B

P A B

P B

�

=

( ) ( )

( )

P A P B

P B

�

=

( )

P A

=

Podobnie

(

)

(

)

( )

P B A

P B A

P A

�

=

( ) ( )

( )

P B P A

P A

�

=

( ).

P B

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 15 / 

46

Niezależność zbioru zdarzeń

Dany jest zbiór zdarzeń losowych  A

1

,...A

n

. 

Mówimy, że zdarzenia te są niezależne,  jeżeli 
dla dowolnego podciągu indeksów i

1

,...,i

k   

zachodzi  wzór:

P(A

i1

...  A

ik

)  = P(A

i1

) 

. 

... 

. 

P(A

ik

).

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 16 / 

46

Przykład (Bernsteina)

W urnie znajdują się 4 paski oznaczone 110, 
101,  011, 000. Załóżmy, że wyciągnięcie 
każdego paska jest tak samo prawdopodobne 
Niech A

i

 oznacza zdarzenie polegające na 

wybraniu paska z 1 na pozycji i-tej ( i = 1, 2, 3 ).

Wykazać, że zdarzenia A

1

, A

2

, A

3

 są zależne, ale 

parami są niezależne.

Mamy tutaj: P(A

1

) =  P(A

2

) = P(A

3

) =  ½  .

Sprawdzimy, czy zachodzi warunek:

P(A

1

A

2

A

3

) = P(A

1

) 

. 

P(A

2

) 

.

P(A

3

) .

P(A

1

A

2

A

3

) = 

0

P(A

1

) 

. 

P(A

2

) 

.

P(A

3

) 

=

1 1 1 1

2 2 2 8

� � =

Warunek nie 

zachodzi. 

Zdarzenia są 

zależne

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 17 / 

46

Przykład (Bernsteina)

W urnie znajdują się 4 paski oznaczone 110, 
101,  011, 000. Załóżmy, że wyciągnięcie 
każdego paska jest tak samo prawdopodobne 
Niech A

i

 oznacza zdarzenie polegające na 

wybraniu paska z 1 na pozycji i-tej ( i = 1, 2, 3 ).

Wykazać, że zdarzenia A

1

, A

2

, A

3

 są zależne, ale 

parami są niezależne.

Mamy tutaj: P(A

i

) =  P(A

j

) = ½  .

Sprawdzimy, czy zachodzi warunek:

P(A

i

A

j

) = P(A

i

) 

. 

P(A

j

)  dla i 



 j.

P(A

i

A

j

) =

P(A

i

) 

. 

P(A

j

)  =

1 1 1

2 2 4

� =

Warunek 

zachodzi. 

Zdarzenia są 

niezależne.

1

4

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 18 / 

46

Układ zupełny zdarzeń

A

3

A

4

Zdarzenia 

A

1

, 

A

2

, 

A

3

,

 

A

4

…

tworzą zupełny układ 
zdarzeń, jeżeli są parami 
rozłączne i w sumie są 
równe .

A

1

A

2

Niech B będzie dowolnym zdarzeniem. 
Wówczas

B = (B  

A

1

)  (B  

A

2

 

)  ( B  

A

3

 

)  ( 

B  

A

4

 

)

B

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 19 / 

46

Układ zupełny zdarzeń

A

3

A

4

Zdarzenia 

A

1

, 

A

2

, 

A

3

,

 

A

4

…

tworzą zupełny układ 
zdarzeń, jeżeli są parami 
rozłączne i w sumie są 
równe .

A

1

A

2

Niech B będzie dowolnym zdarzeniem. 
Wówczas

B = (B  

A

1

)  (B  

A

2

 

)  ( B  

A

3

 

)  ( 

B  

A

4

 

)

B

P(B) = P(B  

A

1

) + P(B  

A

2

) + P( B  

A

3

) + P( B  

A

4

)

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 20 / 

46

Układ zupełny zdarzeń

(

)

(

)

( )

i

i

i

P B A

P B A

P A

�

=

A

3

A

4

Zdarzenia 

A

1

, 

A

2

, 

A

3

,

 

A

4

…

tworzą zupełny układ 
zdarzeń, jeżeli są parami 
rozłączne i w sumie są 
równe .

A

1

A

2

B

P(B) = P(B  

A

1

) + P(B  

A

2

) + P( B  

A

3

) + P( B  

A

4

)

Ponieważ

to

(

)

(

) ( )

i

i

i

P B A

P B A P A

�

=

�

P(B) = P(B|

A

1

)P(

A

1

) + P(B|

A

2

)P(

A

2

) + P(B|

A

3

)P(

A

3

) + P(B|

A

4

)P(

A

4

)

czyli

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 21 / 

46

Prawdopodobieństwo całkowite

 Jeżeli zdarzenia A

1

, A

2

, …, A

n

  o 

prawdopodobieństwach dodatnich wykluczają się 
parami (tzn. A

i

 A

j 

=   gdy i  j)  oraz A

1

A

2 

 … 

 A

n

= , to dla dowolnego zdarzenia  B   

zachodzi wzór:

P B

P A P B A

P A

P B A

P A

P B A

n

n

( )

( )

(

)

( )

(

) ...

( )

(

)









 



1

1

2

2

1

( )

( | ) ( ).

n

i

i

i

P B

P B A P A

=

=

�

czyli

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 22 / 

46

Przykład

Urna 1

Urna 2

Z przypadkowo 
wybranej urny 
wybieramy 1 kulę.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę 
białą, jeżeli prawdopodobieństwo wybrania każdej z 
urn wynosi ½?

Niech:  B oznacza wybranie kuli białej. 
            A

1

 wybranie urny pierwszej i A

2

 wybranie urny  

drugiej.

1

2

1

2

1

2

1

1

( )

0,

( )

0,

,

.

2

2

P A

P A

A

A

A

A

= >

= >

� =W

� =�

1

2

3

1

(

)

,

(

)

.

5

5

P B A

P B A

=

=

1

1

2

2

( )

( ) (

)

( ) (

)

P B

P A P B A

P A P B A

=

�

+

�

=

1 3 1 1

3

1

4

2

2 5 2 5 10 10 10 5

= � + � =

+

=

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 23 / 

46

Przykład

Urna 1

Urna 2

Z przypadkowo 
wybranej urny 
wybieramy 1 kulę.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę 
białą, jeżeli prawdopodobieństwo wybrania każdej z 
urn wynosi ½?

1

1

2

2

( )

( ) (

)

( ) (

)

P B

P A P B A

P A P B A

=

�

+

�

=

0,5 0,6 0,5 0,2 0,4

=

� +

� =

Losowania

Urna 1

Kula c

Kula b

Kula c

Kula b

0,5

0,6

0,2

0,5

0,8

0,4

Urna 2

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 24 / 

46

Przykład

Telewizory produkowane są przez dwie fabryki, z 
których jedna wykonuje 60% a druga 40% całej 
produkcji. Pierwsza fabryka wypuszcza na rynek 
90% telewizorów bez braków, a druga 80%. Jakie 
jest prawdopodobieństwo kupienia telewizora bez 
braku?

Niech: B oznacza zakup telewizora bez braku. 
           A

1

 - wybranie pierwszej fabryki i A

2

 wybranie 

drugiej.

1

2

1

2

1

2

60

3

40

2

( )

0,

( )

0,

,

.

100 5

100 5

P A

P A

A

A

A

A

=

= >

=

= >

� =W

� =�

1

2

90

9

80

8

(

)

,

(

)

.

100 10

100 10

P B A

P B A

=

=

=

=

1

1

2

2

( )

( ) (

)

( ) (

)

P B

P A P B A

P A P B A

=

�

+

�

=

3 9

2 8

27 16 43

5 10 5 10

50

50

+

= � + � =

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 25 / 

46

Wzór Bayesa

 Jeżeli zdarzenia A

1

, A

2

, …, A

n

  o 

prawdopodobieństwach dodatnich wykluczają 
się parami (tzn. A

i

 A

j 

=   gdy i  j)  oraz 

A

1

A

2 

 …  A

n

, to dla dowolnego zdarzenia  

B     o dodatnim prawdopodobieństwie 

zachodzi wzór:

P A B

P A P B A

P A

P B A

P A

P B A

P A

P B A

i

i

i

n

n

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

) ...

( )

(

)











 



1

1

2

2

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 26 / 

46

Przykład

W hurtowni znajdują się detale pochodzące z trzech 
fabryk F

1

 , F

2

 , F

3

 . Zapotrzebowanie pokrywane jest 

przez fabryki odpowiednio w 50%, 30% i 20%. 
Produkcja tych fabryk zawiera odpowiednio 1%, 2%, 3% 
braków. Wybrany losowo detal jest dobry. Jakie jest 
prawdopodobieństwo, że wyprodukowała go trzecia 
fabryka?

Niech B oznacza  zdarzenie: „wylosowany detal jest 
dobry”,
A

i

  -zdarzenie: „wylosowany detal pochodzi z fabryki 

F

i

”, (i = 1, 2, 3). 

1

2

2

1

2

3

50

5

30

3

20

2

( )

0,

( )

0,

( )

0.

,

100 10

100 10

100 10

P A

P A

P A

A

A

A

=

=

>

=

=

>

=

=

>

� � =W

A

1

 , A

2

 , A

3 

 - parami 

rozłączne.

1

2

3

99

98

97

(

)

,

(

)

,

(

)

.

100

100

100

P B A

P B A

P B A

=

=

=

3

3

3

1

1

2

2

3

3

( ) (

)

(

)

( ) (

)

( ) (

)

( ) (

)

P A P B A

P A B

P A P B A

P A P B A

P A P B A

�

=

=

�

+

�

+

�

2 97

10 100

5 99

3 98

2 97

10 100 10 100 10 100

194

983

�

�

+

�

+

�

=

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 27 / 

46

1. Kiedy rzucamy monetą wynikiem może być reszka 
albo orzeł,
2. Wartość progowa sumy rocznej opadu bądź 
średniej rocznej
     temperatury może być przekroczona bądź nie. 

W powyższych przykładach 
zdarzenie posiada dwa 
warianty realizacji: 
dla wygody jeden z nich 
nazywamy "sukcesem„, 
 a drugi "porażką". 

Przykład

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 28 / 

46

Schemat Bernoulliego

Rozpatrzmy  n  niezależnych powtórzeń 
tego samego doświadczenia. 

Zakładamy, że każde z doświadczeń 
kończy się jednym z dwóch wyników. 

Przy tym jeden, umownie zwany 
sukcesem, zachodzi z 
prawdopodobieństwem  p, drugi - zwany 
porażką , zachodzi z 
prawdopodobieństwem q = 1 - p. 

Mówimy wtedy, że mamy do czynienia ze 
schematem  n  prób Bernoulli’ego.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 29 / 

46

Prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie k 
 sukcesów (przy dokładnie n – k  porażkach) 
w n próbach Bernoulli’ego jest równe:

( )

.

k n k

n

n

P k

p q

k

-

� �

=��

� �

Schemat Bernoulliego

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 30 / 

46

Przykład

4!

1

2! 2! 16

=

�

�

3

8

=

Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest 
równe ½

.  

W rodzinie jest czwórka dzieci. Jakie 

jest prawdopodobieństwo, że są tam dwaj 
chłopcy?

Mamy tu do czynienia ze schematem 4 prób 
Bernoulli’ego, gdzie sukcesem jest urodzenie się 
chłopca z prawdopodobieństwem w jednej próbie 
½. 

2

2

4

1

1

( ) ( )

2

2

2

��

=

�

�

��

��

P k

n
k

p q

n

k n k

( ) 













Szukane prawdopodobieństwo jest 
prawdopodobieństwem uzyskania dwóch 
sukcesów w czterech próbach Bernoulli’ego.

2! 3 4 1

2! 2! 16

��

=

�

�

P

4

(2)

4

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 31 / 

46

Przykład

3

1

5

1024 1024

= �

+

1

64

=

Prawdopodobieństwo trafienia do celu w 
pojedynczym strzale jest równe ¼

.  

Strzelec oddał 

serię 5 strzałów. Jakie jest prawdopodobieństwo, 
że są trafił co najmniej 4 razy?

Mamy tu do czynienia ze schematem 5 prób 
Bernoulli’ego, gdzie sukcesem jest trafienie do celu 
z prawdopodobieństwem w jednej próbie ¼. 

4

1

5

0

5

5

1

3

1

3

( ) ( )

( ) ( )

4

5

4

4

4

4

��

��

=

�

�

+

�

�

��

��

��

��

P k

n
k

p q

n

k n k

( ) 













Szukane prawdopodobieństwo jest 
prawdopodobieństwem uzyskania 4 lub 5 
sukcesów w pięciu próbach Bernoulli’ego.

16

1024

=

P

5

(4) + 

P

5

(5) 

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 32 / 

46

Obliczanie prawdopodobieństw oraz ich sum jest 
w przypadku dużych  n  połączone z pewnymi 
trudnościami. 

W sposób przybliżony prawdopodobieństwa te 
dają się  wyrazić z pomocą tzw. funkcji Gaussa 
i funkcji Laplace’a.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 33 / 

46

Funkcja Gaussa

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0.125

0.25

0.375

0.5

X

Y





( )

x

e

x





1

2

2

2

D = R

Funkcja jest 
parzysta





( )

( )





x

x

 Funkcja osiąga 
maksimum w 
punkcie x

0

 = 0 

wynoszące 

1

0,399

2p

�

Punkty wykresu o 
odciętych x

1

 = -1 i x

2

 = 1,  

są punktami przegięcia.

Poza przedziałem  [-5; 5] 
wartości funkcji są praktycznie 
równe zeru. 

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 34 / 

46

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0.125

0.25

0.375

0.5

X

Y

Funkcja Gaussa





( )

x

e

x





1

2

2

2

Funkcja wraz z osią 
OX ogranicza pole 
równe 1.

Pole 
0,683

Pole
0,954

Pole 
0,997

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 35 / 

46

Tablica wartości funkcji Gaussa

Wartości funkcji Gaussa znajdują się w 
tablicy nr 1.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 36 / 

46

Tablica wartości funkcji Gaussa

(1,92)

j

( 0,8)

(0,8)

j

j

-

=

=

= 
0,0632

= 
0,2897

(4,8)

j

= 0

( )

( )

x

x

j

j

-

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 37 / 

46

Funkcja Laplace’a

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

0.125

0.25

0.375

0.5

X

Y

2

2

0

1

( )

2

x

t

x

e dt

p

-

F

=

�

D = 
R

Funkcja jest 
parzysta

( )

( )

x

x

F -

=- F

(0) 0

F

=

(

) 0,5

F +� =

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 38 / 

46

Funkcja Laplace’a

2

2

0

1

( )

2

x

t

x

e dt

p

-

F

=

�

D = 
R

Funkcja jest 
parzysta

( )

( )

x

x

F -

=- F

(0) 0

F

=

(

) 0,5

F +� =

 

y

x

( )

 

 

-4 

-3 

-2 

-1 

1 

2 

3 

4 

-0,5 

-0,25 

0,25

5 

0,5 

X 

 

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 39 / 

46

Tablica wartości funkcji Laplace,a

Wartości funkcji Laplace’aa znajdują się w 
tablicy nr 2.

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 40 / 

46

Tablica wartości funkcji Laplace’a

( )

( )

x

x

F -

=- F

(1,2)

F

=

( 2,5)

F -

=

(3,9)

F

=

0,3849

0,4937

=-

0,4999

(2,5)

- F

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 41 / 

46

Twierdzenie lokalne Moivre’a - Laplace’a 

Jeżeli prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w 
pojedynczym doświadczeniu jest równe  p, to 
prawdopodobieństwo zajścia dokładnie  k  
sukcesów w  n próbach Bernoulli’ego wyraża się 
wzorem przybliżonym:

1

( )

( ),

n

P k

x

npq

j

�

�

gdzie 



  jest funkcją Gaussa, 

,

k np

x

npq

-

=

1

.

q

p

= -

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 42 / 

46

Przykład

Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z 
prawdopodobień-stwem p = 0,8. Strzelec oddał do 
celu serię 100 strzałów. Obliczyć 
prawdopodobieństwo, że trafił dokładnie 82 razy.

n = 100,  k = 82,  p = 0,8,   q = 1 – p = 
0,2

npq =

1

( )

( )

n

P k

x

npq

j

�

�

=

1

( )

( ),

,

n

k np

P k

x

x

npq

npq

j

-

�

�

=

100 0,8 0,2

� � =

82 80

4

-

=

16 4

=

2

0,5

4

=

82 100 0,8

4

-

�

=

k np

x

npq

-

=

=

1

(0,5)

4

j

=

1

0,3521 0,088

4

�

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 43 / 

46

Twierdzenie integralne Moivre’a - 

Laplace’a 

Jeżeli prawdopodobieństwo zajścia sukcesu w 
pojedynczym doświadczeniu jest równe  p, to 
prawdopodobieństwo zajścia od  k

1

 do k

2

  

sukcesów w  n próbach Bernoulli’ego wyraża się 
wzorem przybliżonym:

1

2

2

1

(

)

( )

( ),

n

P k k k

x

x

� �

�F

- F

gdzie      jest funkcją 

Laplace’a, 

1

1

0,5

,

k

np

x

npq

-

-

=

2

2

0,5

,

k

np

x

npq

+

-

=

1

.

q

p

= -

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 44 / 

46

Przykład

Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z 
prawdopodobień-stwem p = 0,8. Strzelec oddał do 
celu serię 100 strzałów. Obliczyć 
prawdopodobieństwo, że trafił dokładnie co 
najmniej 76 razy, ale nie więcej niż 85 razy.

n = 100,  k

1

 = 76,  k

2

 = 85,  p = 0,8,   q = 

1 – p = 0,2

100 0,8 0,2

16 4

npq =

� � =

=

1

1

0,5

76 0,5 100 0,8 75,5 80

4,5

1,125,

4

4

4

k

np

x

npq

-

-

-

-

�

-

-

=

=

=

=

=-

1

2

1

2

2

1

1

2

0,5

0,5

(

)

( )

( ),

,

,

n

k

np

k

np

P k

k k

x

x

x

x

npq

npq

-

-

+

-

� �

�F

- F

=

=

2

2

0,5

85 0,5 100 0,8 85,5 80 5,5

1,375

4

4

4

k

np

x

npq

+

-

+

-

�

-

=

=

=

=

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 45 / 

46

Przykład

Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z 
prawdopodobień-stwem p = 0,8. Strzelec oddał do 
celu serię 100 strzałów. Obliczyć 
prawdopodobieństwo, że trafił dokładnie co 
najmniej 76 razy, ale nie więcej niż 85 razy.

n = 100,  k

1

 = 76,  k

2

 = 85,  p = 0,8,   q = 

1 – p = 0,2

100

(76

85)

(1,375)

( 1,125)

(1,375)

(1,125) 0,4154 3697 0,7851

P

k

� �

�F

- F -

=

=F

+F

=

+

=

T.Kowalski. Matematyka. Wykład 22: Prawdopodobieństwo całkowite. 
Schemat Bernoulli’ego

Slajd.

 46 / 

46