Pojęcie czasoprzestrzeni i interwału

Czasoprzestrzeń

– czterowymiarowa przestrzeń Einsteina

charakteryzująca się czterema współrzędnymi (x,y,z,t)

Interwał

– wielkość fizyczna opisująca odległość między dwoma

miejscami zdarzeń

W układzie O interwał s

12

wyraża się zależnością:

gdzie:

t = t

2

−t

1

, x = x

2

−x

1

, y = y

2

−y

1

, z = z

2

−z

1

W ruchomym układzie O’ poruszającym się względem układu
nieruchomego O z prędkością

u

interwał

s’

12

wynosi:

Zgodnie z tr. Lorentza:

x’ = (x– ut), y’ = y, z’ = z

s’

12

=

s

12

Interwał między dwoma miejscami zdarzeń we wszystkich

inercjalnych układach odniesienia ma tę samą wartość – interwał jest

niezmiennikiem (inwariantem) względem transformacji Lorentza

Interwał między dwoma miejscami zdarzeń we wszystkich

inercjalnych układach odniesienia ma tę samą wartość – interwał jest

niezmiennikiem (inwariantem) względem transformacji Lorentza

)

z

y

x

(

t

c

s

2

2

2

2

2

12



















)

'

z

'

y

'

x

(

'

t

c

'

s

2

2

2

2

2

12



















W

YK

ŁA

D B

EZ

RY

SU

NK

ÓW

W

YK

ŁA

D B

EZ

RY

SU

NK

ÓW

)

t

u

x

(

t

u

x

ut

x

ut

x

)

ut

x

(

)

ut

x

(

'

x

'

x

'

x

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

























































y

y

y

'

y

'

y

'

y

1

2

1

2















z

z

z

'

z

'

z

'

z

1

2

1

2















)

x

c

u

t

(

)

x

c

u

t

(

)

x

c

u

t

(

'

t

'

t

'

t

2

1

2

1

2

2

2

1

2





























2

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12

)

s

(

z

y

x

t

c

z

y

x

1

c

t

z

y

x

)

c

u

1

(

c

t

z

y

x

)

u

c

(

t

)

'

s

(





















































































s’

12

=

s

12

Zadanie:

sprawdzić, czy ma miejsce równość:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12

z

y

)

c

u

1

(

x

)

u

c

(

t

z

y

t

u

t

x

u

2

x

x

c

u

x

t

u

2

t

c

z

y

)

t

u

t

x

u

2

x

(

)

x

c

u

x

t

c

u

2

t

(

c

z

y

)

t

u

x

(

)

x

c

u

t

(

c

)

'

s

(





















































































































































=

?

2

2

c

u

1

1







2

2

2

1

c

u

1







bo

Dodawanie prędkości

Zał.:

Ciało porusza się  do osi x z

prędkością

v’

względem układu O’

Prędkość ciała względem układu O zgodnie z mechaniką klasyczną:

v = v’ + u

 to jest fałsz w mechanice relatywistycznej

W mechanice relatywistycznej

v

obliczamy z transformacji Lorentza

N

IE

!

u

'

v

v

dt

)

ut

(

d

dt

'

dx

dt

dx

ut

'

x

x

'

x

x

0





















Relatywistyczne dodawanie prędkości

Obliczamy pochodne dla x’=(x – ut) oraz t’=f(t) z transformacji Lorentza

O’  O

O  O’

x’ = (x − ut)

x = (x’ + ut’)

y’ = y

y = y’

z’ = z

z = z’

t’ =

t =











 



x

c

u

t

2











 



'

x

c

u

'

t

2





u

v

u

dt

dx

dt

'

dx

x



































 















 





2

x

2

c

uv

1

dt

dx

c

u

1

dt

'

dt

2

x

x

2

x

x

x

c

uv

1

u

v

)

c

uv

1

(

1

)

u

v

(

'

v



















dt

'

dt

:

dt

'

dx

'

dt

dt

dt

'

dx

'

dt

'

dx

'

v

x









W układzie O:

W układzie O’:

t’ = f(t)

dt

dx

v

x



'

dt

'

dx

'

v

x



Tr

an

sf

or

m

ac

ja

Lo

re

nt

za

2

x

x

x

c

uv

1

u

v

'

v







Relatywistyczne dodawanie prędkości

Można też wyznaczyć wzór na
transformację w drugą stronę:

Przejście między
układami O i O’

Gdy

v’ i u << c,

to

uv/c

2

 0

i mamy: v = v’ + u

Wniosek: mechanika klasyczna jest szczególnym przypadkiem
mechaniki relatywistycznej dla małych prędkości

Wniosek: mechanika klasyczna jest szczególnym przypadkiem
mechaniki relatywistycznej dla małych prędkości

Sprawdźmy postulat szczególnej teorii względności o stałej prędkości
światła

Jeżeli przyjmiemy v’= c, to

c

c

u

c

u

c

c

u

1

u

c

c

uc

1

u

c

v

2





















Prędkość światła w obu układach jest jednakowa!

v = c

v’= c

2

c

uv

1

u

v

'

v







O’ O

2

c

'

uv

1

u

'

v

v







O O’

Zależność masy od prędkości

Podstawowe prawa mechaniki (zasady zachowania pędu, krętu
i energii) pozostają słuszne i w mechanice relatywistycznej !

Podstawowe prawa mechaniki (zasady zachowania pędu, krętu
i energii) pozostają słuszne i w mechanice relatywistycznej !

Aby pozostała słuszna zasada zachowania pędu, masa ciała
musi zależeć od prędkości:

m

0

– masa spoczynkowa ciała

Zależność czynnika
Lorentza  = m/m

0

od

stosunku prędkości v/c

Pęd w mechanice relatywistycznej jest zdefiniowany jako:

p = mv = m(v)v

Zależność m od v została potwierdzona doświadczalnie w zjawiskach
z udziałem cząstek elementarnych

)

v

(

m

c

v

1

m

m

m

2

2

0

0











E = mc

2

E

k

= E – E

0

= (m –m

0

)c

2

= (m

0



– m

0

)c

2

= m

0

c

2

(−1)

gdzie:

Masa i energia

Aby zasada zachowania energii mogła być spełniona w mechanice
relatywistycznej, to:

Słynne

równanie Einsteina

wyrażające równoważność masy i energii

E – całkowita energia ciała

E

0

= m

0

c

2

Gdy ciało jest w spoczynku:

E

0

– energia spoczynkowa ciała

Gdy siła wprawia ciało w ruch, praca tej siły zamienia się w energię
kinetyczną ciała E

k

równą E – E

0

Wstawiając wielkość  otrzymamy:

2

2

c

v

1

1











)

mv

2

1

(

E

1

c

v

1

1

c

m

1

c

m

E

2

.

klas
k

2

2

2

0

2

0

.

rel
k









































Żadne ciało materialne nie może osiągnąć prędkości światła, bo gdy

v  c,

to

E

k





Z v=c mogą poruszać się jedynie cząstki o masie m

0

równej zeru –

foton i neutrino

E

k

= E – E

0

= (m –m

0

)c

2

 E = E

k

+ E

0

Plan wykładu

Plan wykładu

Prawo powszechnego ciążenia
Zachowawczość siły grawitacji

Pole grawitacyjne – natężenie, energia

potencjalna, potencjał

Prędkości kosmiczne

GRAWITACJA

GRAWITACJA

INFORMATYKA

INFORMATYKA

Prawo powszechnego ciążenia

Newton, 1798 r.

Dwa punkty materialne o masach m

1

i m

2

przyciągają się wzajemnie

siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną
do kwadratu ich odległości r

G – stała grawitacji

W przypadku ciał rozciągłych:

W przypadku ciał rozciągłych:

Jednorodne ciała kuliste oraz ciała złożone z
jednorodnych warstw kulistych przyciągają się
tak, jak punkty materialne umieszczone w ich
środkach

Ciężar ciała

Ciężar ciała

– siła, jaką ciało materialne jest przyciągane przez Ziemię

Gdy m – masa ciała; M – masa Ziemi, R – promień Ziemi, to siła F:

F = GMm

R

2

Siła F nadaje przyspieszenie g, więc F = mg

g = GM

R

2

g = 9,78 do 9,83 m/s

2

F =G

m

1

m

2

r

2

2

R

Mm

G

mg



•

•

Pole grawitacyjne

Wyobraźmy sobie, że w absolutnie pustej przestrzeni został
umieszczony punkt materialny o masie M. W przestrzeni wokół M
powstanie pole grawitacyjne działające na próbną masę m siłą F:

Natężenie pola grawitacyjnego



 na powierzchni Ziemi jest równe

g

g

Natężenie pola grawitacyjnego





na powierzchni Ziemi jest równe

g

g

r

r – wektor wodzący,

którego początek

znajduje się w

środku masy M

Natężenie pola
grawitacyjnego





2

r

Mm

G

F 

Natężeniem pola grawitacyjnego

Natężeniem pola grawitacyjnego





nazywamy stosunek

siły działającej na masę próbną m

m

do wartości tej masy;

natężenie pola jest wektorem:

m

F









3

3

r

r

M

G

m

r

r

Mm

G

m

F





















R

r

gdy

g







3

3

r

r

Mm

G

F

r

Mmr

G

F













Zapis wektorowy

2

2

R

M

G

m

R

Mm

G

g

m

F











M

m

r

r

F

F

x

y

z

Pole grawitacyjne - energia potencjalna

Siła grawitacji jest siłą zachowawczą 

wykład z mechaniki

W

– praca siły grawitacji wykonana przy przesunięciu masy próbnej

m

z

punktu

P

do



jest równa energii potencjalnej względem punktu

P

Znak „–”, bo siła F tworzy kąt

180° z przesunięciem

E

p

masy m jest ujemna i w miarę oddalania się od masy M rośnie

osiągając zero w













0

r

p

Fdr

W

E

0

r

r

2

r

2

r

Mm

G

r

1

GMm

r

dr

GMm

dr

r

Mm

G

W

0

0

0















 























r

Mm

G

)

r

(

E

p





ds

F

W

s

0





Wz

ór:









1

n

x

dx

x

1

n

n

Wz

ór:

Wykres energii potencjalnej

masy znajdującej się w polu

grawitacyjnym masy M

x=r; n=−2

Pole grawitacyjne - potencjał

E

p

(r) = – GMm

r

Grawitacyjna energia potencjalna masy próbnej m
w dowolnej odległości r od masy M

Potencjałem pola grawitacyjnego

nazywamy stosunek

energii potencjalnej masy próbnej m do wartości tej masy

Potencjał określa energię potencjalną w odległości r od środka
masy M przypadającą na jednostkę masy

Przedstawione wzory mają ogólny charakter i można je

stosować do pola grawitacyjnego dowolnych ciał niebieskich

M

m

r

r

F

F

r

GM

rm

GMm

m

)

r

(

E

)

r

(

V

p











Prędkości kosmiczne

Prędkość kosmiczna

to najmniejsza możliwa prędkość, jaką

musi mieć punkt materialny, aby:

swobodnie krążyć po orbicie wokół Ziemi –

pierwsza

prędkość kosmiczna

mógł pokonać przyciąganie ziemskie i oddalić się od Ziemi –

druga

prędkość kosmiczna

mógł pokonać przyciąganie słoneczne i opuścić Układ

Słoneczny –

trzecia

prędkość kosmiczna

Prędkości kosmiczne

Pierwsza prędkość kosmiczna

to najmniejsza możliwa prędkość,

jaką musi mieć punkt materialny swobodnie krążący po orbicie wokół
Ziemi

Na poruszający się po orbicie pocisk działają dwie siły o przeciwnych
zwrotach

Warunkiem stabilności orbity jest równość w/w sił:

v

I

odpowiada orbita o promieniu r ~ R:

m

M

Siła odśrodkowa

Siła grawitacji

gr

odś

F

F 

2

2

R

g

GM

R

GM

g

oraz

R

r











r

mv

F

2

odś



2

gr

r

Mm

G

F 

r

GM

v

v

r

M

G

r

mv

r

Mm

G

2

2

2











Rg

R

gR

R

GM

)

R

r

(

v

v

2

I











s

/

km

9

.

7

v

I



Prędkości kosmiczne

Prędkości kosmiczne

Drugą prędkością kosmiczną (prędkością ucieczki)

Drugą prędkością kosmiczną (prędkością ucieczki)

nazywamy

najmniejszą możliwą prędkość, jaką musi mieć punkt materialny przy
powierzchni Ziemi, aby mógł się oddalić od niej w nieskończoność

Rozważmy

rzut ciała pionowo w górę

na wysokość h z prędkością v

Z zasady zachowania energii wynika równanie:

Całkowita energia
mechaniczna ciała
na powierzchni
Ziemi

Całkowita energia
mechaniczna ciała na
wysokości h, gdy jego
prędkość wynosi 0

Podstawiamy h = 

















































h

R

1

R

1

GM

2

v

h

R

1

R

1

GM

v

2

1

h

R

M

G

R

M

G

v

2

1

2

2

2

2

R

g

GM

R

GM

g









I

2

II

v

2

gR

2

R

gR

2

R

GM

2

v









h

R

Mm

G

R

Mm

G

mv

2

1

2









s

/

km

2

.

11

v

II



Prędkości kosmiczne

Aby ciało znajdujące się na orbicie Ziemi mogło pokonać przyciąganie
słoneczne i opuścić Układ Słoneczny należy mu udzielić

trzeciej

prędkości kosmicznej v

III

M

s

– masa Słońca

R

0

– promień orbity Ziemi

v

III

– zależy od tego, czy ciało startuje zgodnie z ruchem Ziemi czy

przeciwnie

s

/

km

1

.

42

R

GM

2

v

0

s

III





R

GM

2

v

II



Druga

prędkość

kosmiczna jest

niezbędna by pokonać przyciąganie
ziemskie i oddalić się od Ziemi

R – promień Ziemi
M – masa Ziemi

Prędkości kosmiczne

Prędkości kosmiczne

Tory pocisku wystrzelonego poziomo nad Ziemię z różnymi prędkościami

Przy prędkości v<v

I

torami

pocisku są parabole

Tory pocisku przy prędkościach
vv

I

: okręgi, elipsy, parabole i

hiperbole

Plan wykładu

Plan wykładu

RUCH DRGAJĄCY

RUCH DRGAJĄCY

Wielkości charakteryzujące drgania harmoniczne
Drgania swobodne – prosty oscylator harmoniczny
Drgania tłumione
Drgania wymuszone
Drgania złożone – składanie drgań

INFORMATYKA

INFORMATYKA

Ruch drgający i falowy

Ruchem drgającym

lub oscylacją nazywamy ruch ciała zachodzący wokół

stałego położenia równowagi

Ruch okresowy

(periodyczny) – taki ruch, w którym położenie lub stan

ciała powtarza się w jednakowych odstępach czasu, zwanych okresem
drgań

Ruch jest okresowy, jeśli dla dowolnego czasu t:

x(t) może być wyrażone różnymi funkcjami periodycznymi, np. sin lub cos

x = A cos(ωt + φ)

A – amplituda drgań
ω – częstość kątowa (pulsacja)
φ – faza początkowa

ωt + φ – faza drgań w chwili t

Drganie

x = A cos(ωt + φ)

nosi nazwę

harmonicznego

)

t

sin(

A

x

1









2

1











Inna postać drgania harmonicznego:

gdzie:

x(t) = x(t+T)

def