1
1
2
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menarik kesimpulan
dengan silogisme, modus
ponens,
dan modus tollens
UN’O
6
3
Logika Matematika
Logika merupakan alat untuk
menarik kesimpulan yang
sahih (sah)
UN’O
6
4
Pernyataan/Proposisi
Kalimat yang mempunyai salah satu
dari nilai benar atau salah
disebut proposisi atau pernyataan.
Pernyataan ditulis dengan
huruf kecil p, q, r dan seterusnya
UN’O
6
5
Ingkaran Pernyataan
Negasi atau ingkaran dari
pernyataan p, ditulis ~p
adalah pernyataan lain yang
menyangkal pernyataan yang
diberikan
UN’O
6
6
Tabel Kebenaran Ingkaran
Contoh:
p : hari ini hujan
~p : hari ini
tidak
hujan
atau
tidak benar
hari ini hujan
p
~p
B
S
S
B
UN’O
6
7
Pernyataan Majemuk
adalah pernyataan baru yang
dibentuk dari beberapa
pernyataan
tunggal (komponen) dengan
menggunakan kata hubung logika
Seperti: ‘dan
dan
’, ‘
’, ‘atau
atau
’, ‘
’, ‘jika…
jika…
maka…
maka…
’,
’,
atau
atau
‘
‘…jika dan hanya jika…
…jika dan hanya jika…
’
’
UN’O
6
8
Nilai Kebenaran
Pernyataan Majemuk
tergantung:
▪ nilai kebenaran dari pernyataan
tunggalnya (komponennya)
▪ kata hubung logika yang
digunakan
UN’O
6
9
Konjungsi
Pernyataan majemuk yang dibentuk
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dengan menggunakan
kata hubung logika ‘
dan
’.
Konjungsi “
p dan q
”
dilambangkan “
p Λ q
”
UN’O
6
10
Tabel Kebenaran Konjungsi
‘p Λ q’ bernilai benar hanya
apabila
p dan q sama-sama bernilai benar
p
q
p Λ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
S
UN’O
6
11
Disjungsi
Pernyataan majemuk yang dibentuk
dari pernyataan-pernyataan p dan q
dengan menggunakan
kata hubung logika ‘
atau
’.
Disjungsi “
p atau q
”
dilambangkan “
p V q
”
UN’O
6
12
Tabel Kebenaran Disjungsi
‘p V q’ bernilai salah hanya
apabila
p dan q sama-sama bernilai salah
p
q
p V q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
B
B
S
UN’O
6
13
Implikasi
Pernyataan majemuk yang disusun
dari pernyataan-pernyataan p dan
q
dalam bentuk ‘jika p maka q’
Implikasi “
Jika p maka q
”
dilambangkan “
p → q
”
UN’O
6
14
Tabel Kebenaran Implikasi
‘p → q’ bernilai salah apabila
p bernilai benar dan q bernilai
salah
p
q
p → q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
B
B
UN’O
6
15
Biimplikasi
Pernyataan majemuk yang disusun
dari pernyataan-pernyataan p dan
q
dengan kata hubung
‘
jika dan hanya jika
’
Biimplikasi “
p jika dan hanya jika q
”
dilambangkan “
p ↔ q
”
UN’O
6
16
Tabel Kebenaran Biimplikasi
‘p ↔ q’ bernilai benar apabila
p dan q
keduanya
bernilai
benar atau salah
p
q
p ↔ q
B
B
S
S
B
S
B
S
B
S
S
B
UN’O
6
17
Contoh 1
Kalimat (p → q) → r bernilai
benar
Jika
(1) p benar, q salah, r salah
(2) p salah, q benar, r salah
(3) p salah, q salah, r benar
(4) p salah, q salah, r salah
UN’O
6
18
Jawab
Jadi, pernyataan yang benar
adalah pernyataan (1) dan
(3)
S
B
B
B
B
S
B
S
Pernyataa
n ke
p
q
(p
q )
r (p q) r
1
2
3
4
B
S
S
S
S
B
S
S
S
S
B
S
UN’O
6
19
Contoh 2
Diberikan empat pernyataan p, q, r,
dan s. Jika pernyataan berikut
benar
p ↔ q, q → r, r → s
dan s pernyataan yang salah,
maka di antara pernyataan berikut
yang salah adalah….
a. ~p b. ~r c. ~q
d. p Λ r e. p V ~r
UN’O
6
20
Jawab
s pernyataan yang salah
r → s benar; berarti r salah
q → r benar; berarti q salah
p ↔ q benar; berarti p salah
Jadi, ~p benar; ~r benar; ~q benar
p Λ r salah; jawaban d
p V ~r benar
UN’O
6
21
Ekivalensi
Pernyataan Majemuk
Dua pernyataan majemuk
yang ekivalen
adalah dua pernyataan majemuk
yang mempunyai nilai kebenaran
yang sama
UN’O
6
22
Pernyataan Ekivalen
1. ~(p Λ q) ≡ ~p V ~q
2. ~(p V q) ≡ ~p Λ ~q
3. p Λ (q V r) ≡ (p Λ q) V (p Λ r)
4. p V (q Λ r) ≡ (p V q) Λ (p V r)
UN’O
6
23
Pernyataan Ekivalen
5. p → q ≡ ~p V q
6. ~(p → q) ≡ p Λ ~q
7. p↔q ≡ (p → q) Λ (q → p)
≡ (~p V q) Λ (~q V p)
8. ~(p ↔ q) ≡ (p Λ ~q) V (q Λ
~p)
UN’O
6
24
Contoh 1:
Ingkaran yang benar dari
pernyataan
“Saya lulus Ujian Nasional dan saya
senang”
adalah….
UN’O
6
25
(1). Saya tidak lulus Ujian Nasional
dan saya tidak senang
(2). Tidak benar bahwa saya lulus
Ujian
Nasional dan saya senang
(3). Saya lulus Ujian Nasional dan
saya tidak senang
(4) Saya tidak lulus Ujian Nasional
atau saya tidak senang
UN’O
6
26
Jawab:
Ingkaran p Λ q adalah
~(p Λ q) ≡ ~p V ~q
Jadi pernyataan yang benar
adalah
(2) Tidak benar saya lulus Ujian
nasional dan saya senang
(4) Saya tidak lulus Ujian
Nasional
atau saya tidak senang
UN’O
6
27
Contoh 2:
Ingkaran dari (p Λ q) → r adalah….
a. ~p V ~q V r b. (~p Λ ~q) V r
c. p Λ q Λ ~r d. ~p Λ ~q Λ r
e. (~p V q) Λ r
Jawab:
ingat bahwa: ~(p→q) ≡ p
Λ ~q
~[(p Λ q) → r] ≡ (p Λ q) Λ
~r
≡ p Λ q Λ ~r
Jadi, jawabannya adalah c
UN’O
6
28
Contoh 3:
Ingkaran pernyataan:
“Jika guru tidak hadir maka semua
murid senang” adalah….
a. Guru hadir dan semua murid
tidak
senang
b. Guru hadir dan ada beberapa
murid
senang
c. Guru hadir dan semua murid
senang
UN’O
6
29
d. Guru tidak hadir dan ada
beberapa
murid tidak senang
e. Guru tidak hadir dan semua
murid
tidak senang
Jawab:
Ingat bahwa: ~(p → q) ≡ p Λ ~q
Jadi ingkaran dari “Jika guru tidak
hadir
maka semua murid senang” adalah
“guru tidak hadir dan ada beberapa
murid tidak senang” jawaban d
UN’O
6
30
Konvers, Invers, dan
Kontraposisi
Jika diketahui implikasi
p → q
maka:
Konversnya adalah q → p
q → p
Inversnya adalah ~p → ~q
~p → ~q
Kontraposisinya adalah
~q → ~p
Catatan:
p → q
≡
~q → ~p
UN’O
6
31
Contoh 1:
~p → q mempunyai nilai kebenaran
sama dengan….
(1). p V q (2). p Λ q
(3). ~q → p (4). ~q Λ ~p
Jawab:
ingat bahwa: p → q ≡ ~p V ~q
≡ ~q → ~p
~p → q ≡ ~q → p… (3)
≡ p V q … (1)
UN’O
6
32
Contoh 2:
Pernyataan berikut yang ekivalen
dengan:
“Jika p benar maka q salah”
adalah….
a. p benar atau q salah
b. Jika q salah maka p benar
c. Jika p salah maka q benar
d. Jika q benar maka p salah
e. Jika q benar maka p benar
UN’O
6
33
Jawab:
Implikasi p → q ekivalen dengan
Kontraposisi ~q → ~p dan ~p V
q
Jadi “Jika p benar maka q salah”
ekivalen dengan
“Jika q benar maka p salah”
atau
“p salah atau q salah”
UN’O
6
34
Penarikan Kesimpulan
menentukan pernyataan nilai
(konklusi) dari pernyataan-
pernyataan (premis) melalui
aturan tertentu
UN’O
6
35
Suatu kesimpulan (konklusi)
dianggap sah jika:
▪ implikasi dari konjungsi
premisnya
dengan konklusinya adalah
tautologi
(selalu benar untuk semua
kondisi)
▪ Konjungsi semua premisnya
benar maka konklusinya benar
UN’O
6
36
Penarikan Kesimpulan
yang sah
Di dalam logika matematika ada
beberapa penarikan kesimpulan
yang sah, di antaranya adalah
UN’O
6
37
1. Modus Ponens:
p → q (premis 1
= benar)
p (premis 2
=
benar)
q (konklusi benar)
Contoh:
Jika hujan lebat maka terjadi
banjir
Hari ini hujan lebat
Terjadi banjir
UN’O
6
38
2. Modus Tollens:
p → q (premis 1
=
benar)
~q (premis 2
=
benar)
~p (konklusi
benar)
Contoh:
Jika BBM naik maka ongkos bis
naik
Ongkos bis tidak naik
BBM tidak naik
UN’O
6
39
3. Silogisme:
p → q (premis 1
= benar)
q r (premis 2
=
benar)
p r (konklusi benar)
Contoh:
Jika Budi rajin belajar maka lulus
UN
Jika lulus UN maka orangtua
senang
Jika Budi rajin belajar maka
orangtua senang
UN’O
6
40
Soal 1:
Diketahui pernyataan p dan q
Argumenatsi: ~p q
~r ~q
r p
disebut….
a. Implikasi b.
Kontraposisi
c. Modus ponens d. Modus
tollens
e. silogisme
UN’O
6
41
Bahasan
Argumentasi:
~p q ~p q
~r ~q ≡ q r
(kontraposisi)
~r p ~p r
≡ ~r p
(kontraposisi)
Jadi, disebut silogisme
jawaban e
UN’O
6
42
Soal 1:
Diketahui pernyataan p dan q
Argumenatsi: ~p q
~r ~q
r p
disebut….
a. Implikasi b.
Kontraposisi
c. Modus ponens d. Modus
tollens
e. silogisme
UN’O
6
43
Soal 2
Penarikan kesimpulan dari premis-
premis: p V q
~q
….
a. p
b. ~p
c. q
d. ~(p V q)
e. ~ q
UN’O
6
44
Bahasan
p V q ≡ ~p q
(ekivalensi)
~p q ≡ ~q p
(kontraposisi)
dengan demikian
p V q
~q
berarti: ~q p
~q
p
Jawabannya a
Modus
ponens
UN’O
6
45
Soal 2
Penarikan kesimpulan dari premis-
premis: p V q
~q
….
a. p
b. ~p
c. q
d. ~(p V q)
e. ~ q
UN’O
6
46
Soal 3
Penarikan kesimpulan dari
1. p V q
~p
q
yang sah adalah….
a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2
c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3
e. hanya 2 dan 3
2. p q
q ~r
~r ~p
3. p ~q
q V r
p r
UN’O
6
47
Bahasan
1. p V q
~p
q
argumenatsi nomor 1 di atas sah
karena merupakan modus ponens
~p q (ekivalen)
~p
q
UN’O
6
48
Bahasan
2. p q
q ~r
~r ~p
argumenatsi nomor 2 di atas
tidak sah karena bukan silogisme
p
q
q
~r
p
~r
p
~r
r ~p
(kontraposisi)
UN’O
6
49
Bahasan
3. p ~q
q V r
p r
argumentasi nomor 3 di atas
sah karena merupakan silogisme
Jadi, jawabannya hanya 1 dan 3 d
p ~q
~q r
p r
(ekivalensi)
UN’O
6
50
Soal 3
Penarikan kesimpulan dari
1. p V q
~p
q
yang sah adalah….
a. hanya 1 b. hanya 1 dan 2
c. hanya 3 d. hanya 1 dan 3
e. hanya 2 dan 3
2. p q
q ~r
~r ~p
3. p ~q
q V r
p r
UN’O
6
51
SELAMAT BELAJAR