$

"

Logika

Tematyka kolokwium nr 3

dr Tomasz Kowalski

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 2 / 22

$

"

Zadanie 1

Dziedzina: osoby 
K(x) – x jest kobietą,

T(x) – x jest matką,

M(x) – x 

jest mężczyzną,
O(x) – x jest ojcem,

S(x)– x nosi spódnice, R(x) – x 

nosi krawat.
M(x,y) - x jest mądrzejszy niż y.

Zdanie:

~ x [ M(x)   O(x) ]

Nie każdy mężczyzna jest ojcem.

Dokonać symbolizacji następujących zdań w oparciu 
o legendę:

Nieprawda, że dla każdego x, jeżeli x jest mężczyzną, to 
x jest ojcem.

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 3 / 22

$

"

Zadanie 1

Dziedzina: osoby 
K(x) – x jest kobietą,

T(x) – x jest matką,

M(x) – x 

jest mężczyzną,
O(x) – x jest ojcem,

S(x)– x nosi spódnice, R(x) – x 

nosi krawat.
M(x,y) - x jest mądrzejszy niż y.

Zdanie:

 x [ K(x)  ( S(x)  R(x) )]

Pewna kobieta nosi spódnice i krawat.

Dokonać symbolizacji następujących zdań w oparciu 
o legendę:

Istnieje x takie, że x jest kobietą i x nosi spódnice i x 
nosi krawat.

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 4 / 22

$

"

Zadanie 1

Dziedzina: osoby 
K(x) – x jest kobietą,

T(x) – x jest matką,

M(x) – x 

jest mężczyzną,
O(x) – x jest ojcem,

S(x)– x nosi spódnice, R(x) – x 

nosi krawat.
M(x,y) - x jest mądrzejszy niż y.

Zdanie:

 x [ O(x)  y  ( T(y)  M(x,y) ) ] 

Pewien ojciec  jest mądrzejszy od 

wszystkich matek. 

Dokonać symbolizacji następujących zdań w oparciu 
o legendę:

Istnieje x takie, że x jest ojcem takim, że dla każdego y 
jeżeli y jest matką, to x jest mądrzejszy od y.

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 5 / 22

$

"

Zadanie 2

Zapisać schemat zdania: Nie każdy znany muzyk jest 

artystą.

Dziedzina: 
ludzie

Z(x) – x jest 

z

nany     M(x) – x jest  

m

uzykiem     A(x) -  

x jest 

a

rtystą

~ x  [ ( Z(x)  M(x) )  A(x) ] 

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 6 / 22

$

"

Zadanie 2

Zapisać schemat zdania: Każdy kogoś kocha.

Dziedzina: 
ludzie

K(x,y) – x kocha y.     

x  y K(x,y)

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 7 / 22

$

"

Zadanie 2

Zapisać schemat zdania: Każdy student lubi jakiegoś 

wykładowcę.

Dziedzina: 
ludzie

S(x) – x jest studentem     W(y) – y jest  wykładowcą
L(x,y) – x lubi y.

x [S(x)   y ( W(y)  

L(x,y) ) ]

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 8 / 22

$

"

Zadanie 3a

Wykazać, że formuła:

 x [ P(x)  y R(x,y) ]

nie jest tautologią ani kontrtatologią. 

Aby wykazać, że formuła nie jest tautologią należy 
zbudować  kontrmodel dla tej formuły wskazując 
zbiór U, pewną własność w tym zbiorze oraz 
relację tak, aby 

fałszywe

 było zdanie:

Dla każdego obiektu posiadającego własność P, 
można wskazać obiekt y, z którym jest on w pewnej 
relacji R .

Przyjmijmy:   U – zbiór ludzi, P(x) – x jest studentem, 
R(x,y) – x jest 

mężem y. 

Zdanie: Każdy student jest żonaty jest fałszywe.

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 9 / 22

$

"

Zadanie 3a

Wykazać, że formuła:

 x [ P(x)  y R(x,y) ]

nie jest tautologią ani kontrtatologią. 

Aby wykazać, że formuła nie jest kontrtautologią 
należy zbudować  model dla tej formuły wskazując 
zbiór U, pewną własność w tym zbiorze oraz relację 
tak, aby 

prawdziwe

 było zdanie:

Dla każdego obiektu posiadającego własność P, 
można wskazać obiekt y, z którym jest on w pewnej 
relacji R .

Przyjmijmy:   U – zbiór ludzi, P(x) – x jest studentem, 
R(x,y) – x jest 

dzieckiem y. 

Zdanie: Każdy student jest czyimś dzieckiem jest 
prawdziwe.

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 10 / 22

$

"

Zadanie 3a

Wykazać, że formuła:

 x [ P(x)  y R(x,y) ]

nie jest tautologią ani kontrtatologią. 

Ponieważ znaleźliśmy interpretację, przy której 
formuła jest zdaniem prawdziwym i interpretację, 
przy której formuła jest fałszywa, to tym samym 
wykazaliśmy, że badana formuła nie jest ani 
tautologią ani kontrtautologią. 

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 11 / 22

$

"

Zadanie 3b

Wykazać, że zawodna jest reguła:  

x P(x), x Q(x)

———————

x (P(x)  Q(x))

Istnieje obiekt posiadający własność P   - to ma być 
prawda. Istnieje obiekt posiadający własność Q   - to 
ma być prawda. 

Istnieje obiekt posiadający obie własności naraz   - to 
ma być fałsz.

Przyjmijmy:   U – zbiór liczb, P(x) – x jest parzysta, 
Q(x) – x jest nieparzysta . 

Istnieje liczba parzysta   - to jest 

prawda

.                  

            Istnieje liczba nieparzysta   - to jest 

prawda.

 

Istnieje liczba jednocześnie parzysta i nieparzysta - 
to jest 

fałsz

.

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 12 / 22

$

"

Zadanie 3b

Wykazać, że zawodna jest reguła:  

x P(x), x Q(x)

———————

x (P(x)  Q(x))

Ponieważ znaleźliśmy strukturę, dla której w 
powyższym schemacie przesłanki jest 
prawdziwe, a wniosek fałszywy, to badany 
schemat wnioskowania jest zawodny.

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 13 / 22

$

"

Zadanie 4a

Sprawdzić, jakie zachodzą stosunki między 
następującymi zbiorami:
A – zbiór studentów prawa, 
B – zbiór studentów, 
C – zbiór studentów dziennych, 
D – zbiór studentów matematyki.

A  

B, 

A # 
C, 

A )( D lub A # 
D, 

C  B,  D  B, 

C # D. 

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 14 / 22

$

"

Zadanie 4b

Określić zależności pomiędzy następującymi 
zbiorami:
A – zbiór studentów, którzy zdali logikę na 
5,
B – zbiór studentów, którzy zdali logikę na 
3,
C – zbiór studentów leniwych, 
D – zbiór, którego elementami są zbiory 
studentów, którzy zdali logikę na taką samą 
ocenę. 

A )( B
A # C,

A )( D i A  D,
B # C,

B )( D i B  D, 

C )( D.

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 15 / 22

$

"

Zadanie 5

x  [(A  B) – C]  x  [(A – B )  (B – C)] 

[(x  A  x  B)  ~ (x  C)]  [(x  A  ~ (x  B ))  (x  B  ~ (x 

 C))] 

[x  (A  B)  ~ (x  C)]  [x  (A – B )  x  (B – C)] 

Sprawdzić, czy prawem rachunku zbiorów jest 

wyrażenie:     [(A  B) – C]  [(A – B )  (B – C)] 

Po podstawieniu zmiennej p za x  A, q za x  B 

oraz r za x  C otrzymamy:

[(p  q)  ~ r]  [(p  ~ q)  (q  ~ r)]

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 16 / 22

$

"

Zadanie 5

Zbadamy przy pomocy metody skróconej, czy 
formuła:

 [(p  q)  ~ r]  [(p  ~ q)  (q  ~ r)]

 jest tautologią.

[(p  q)  ~ r]  [(p  ~ q)  (q  ~ 

r)]

0

1

0

1

1

1

1

0

Sprawdzimy, czy formuła może stać się 
schematem zdania fałszywego, stawiając pod 
głównym spójnikiem 0.

Ponieważ istnieje przypadek, w którym formuła jest 
schematem zdania fałszywego, to nie jest ona 
tautologią. Tym samym badane wyrażenie 

nie jest

 

prawem rachunku zbiorów.

1

1

1

0

0

0

1

1

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 17 / 22

$

"

Zadanie 6

P(R) – zbiór wszystkich mężczyzn posiadających 
rodzeństwo lub ludzi posiadających brata.

Określić dziedzinę lewostronną i prawostronną oraz 
pole relacji. Ustalić stosunek, jaki zachodzi między 
dziedzinami jednostronnymi relacji: 

xRy  – x jest bratem 
y

D

L

(R) – zbiór wszystkich mężczyzn posiadających 

rodzeństwo.

D

P

(R) – zbiór wszystkich ludzi 

posiadających brata.

D

L

(R) #  

D

P

(R) 

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 18 / 22

$

"

Zadanie 7

Zbadać własności formalne określonej w zbiorze 
wszystkich ludzi relacji bycia bratem:

 xRy  x jest bratem y.

R jest zwrotna  x (xRx).

R jest przeciwzwrotna  x ~ 

(xRx).

Nikt nie jest swoim własnym bratem, więc jest to relacja 
przeciwzrotna.

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 19 / 22

$

"

Zadanie 7

Zbadać własności formalne określonej w zbiorze 
wszystkich ludzi relacji bycia bratem:

 xRy  x jest bratem y.

Ponieważ może być tak, że jedna osoba jest bratem 
drugiej, a druga bratem pierwszej, ale może być też 
tak, że jedna jest bratem drugiej, a druga nie jest 
bratem pierwszej (bo jest siostrą), oznacza to, że 
nasza relacja nie jest ani symetryczna, ani 
asymetryczna, ani słabo asymetryczna. 

R jest symetryczna  xy (xRy  

yRx).

R jest asymetryczna  xy (xRy  ~ 

yRx).

R jest słabo asymetryczna  xy [(x 



 y  

xRy)  ~ yRx].

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 20 / 22

$

"

Zadanie 7

Zbadać własności formalne określonej w zbiorze 
wszystkich ludzi relacji bycia bratem:

 xRy  x jest bratem y.

Nasza relacja nie jest przechodnia.

R jest przechodnia   xyz [(xRy  yRz) 

 xRz].

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 21 / 22

$

"

Zadanie 7

Zbadać własności formalne określonej w zbiorze 
wszystkich ludzi relacji bycia bratem:

 xRy  x jest bratem y.

Nie jest to relacja spójna.

R jest spójna  xy [x 



 y  (xRy 

 yRx)].

 Tomasz Kowalski – Logika. Tematyka kolokwium nr 3

 Slajd nr 22 / 22

$

"