REDUKCJE POMIARÓW
ASTRONOMICZNYCH
I GEODEZYJNYCH NA
ELIPSOIDĘ ODNIESIENIA
REDUKCJE POMIARÓW
ASTRONOMICZNYCH
I GEODEZYJNYCH NA
ELIPSOIDĘ ODNIESIENIA
Wstęp
Wszystkie naziemne obserwacje geodezyjne
kątów i długości wykonywane są w
układzie horyzontalnym, zdefiniowanym poprzez
kierunek linii pionu rzeczywistego pola siły ciężkości
w punkcie obserwacji (w tym polu instrumenty
pomiarowe orientuje się poprzez poziomowanie).
Redukcje wielkości geodezyjnych najpierw na
geoidę, wzdłuż rzeczywistej linii pionu, a następnie z
geoidy rzutowanie poprzez normalne na elipsoidę
odniesienia, nazywa się redukcjami w systemie
Pizzettiego.
Wstęp – c.d.
Systemowi Pizzettiego przeciwstawia się
system
Helmerta
(geodezja
klasyczna)
bezpośredniego
rzutowania
normalnego
na
powierzchnię elipsoidy odniesienia.
Koncepcja
Mołodeńskiego (1960) wprowadza nowy system
redukcji w polu normalnym siły ciężkości, znajdujący
się niejako pomiędzy dwoma wymienionymi powyżej
systemami.
1. Redukcja szerokości i długości
astronomicznej
Podstawowym składnikiem redukcji szerokości
’ i długości
’ zaobserwowanych
metodami astronomii geodezyjnej jest redukcja z
fizycznej powierzchni Ziemi na geoidę, wyrażona
ogólnymi wzorami na zmianę kierunku linii pionu
wynikającą z krzywizny linii pionu:
x
g
H
'
2
sin
M
*
f
H
'
sec
y
g
H
1. Redukcja szerokości i długości
astronomicznej – c.d.1
Podstawowym problemem jest wyznaczenie
przeciętnej wartości przyspieszenia siły ciężkości g
wzdłuż linii pionu.
Robocza postać wzorów na redukcję z fizycznej
powierzchni Ziemi na geoidę (przyjmując za f *
wartość f * = 0.005 302 44 (dla GRS’80),
średni promień Ziemi: R = 6 371 009 m, oraz
przeciętną wartość przyspieszenia normalnego γ =
980 619.9 mgala) przyjmie postać:
H
x
g
H
00021
.
0
'
2
sin
000171
.
0
H
y
g
'
sec
00021
.
0
1. Redukcja szerokości i długości
astronomicznej – c.d.2
1. Redukcja szerokości i długości
astronomicznej – c.d.3
Wzory dotyczące następnego etapu redukcji z
geoidy na elipsoidę odniesienia mają postać:
ag
B
ag
L
gdzie:
ξ
ag
oraz
η
ag
są
astronomiczno-
geodezyjnymi odchyleniami pionu (wyznaczane
metodą interpolacji liniowej lub interpolacji drugiego
stopnia), przy czym:
2
2
Ostatecznie szerokość geodezyjna B i długość L
wyrażą się jako:
B
B
'
L
L
'
2. Redukcja azymutów
2. Redukcja azymutów – c.d.1
Oznaczając przez δα’
n
zmianę azymutu
spowodowaną obrotem południka a wynikającą z
krzywizny linii pionu, natomiast δα’
v
zmianę
azymutu spowodowaną obrotem wertykału celu,
oraz zapisując składowe kąta linii pionu w postaci:
x
=
’ -
,
y
= (
’ -
) cos
’
,
można napisać, że:
,
sin
'
tan
'
x
n
'
'
cos
'
sin
'
z
ctg
y
x
v
2. Redukcja azymutów – c.d.2
W związku z tym, że kąt krzywizny jest bardzo
mały oraz z’ jest z reguły bliskie 90
O
, wpływ skręcenia
wertykału nie osiąga w podstawowych sieciach
geodezyjnych wartości znaczących. Z tego względu
składnik redukcji związany ze skręceniem wertykału
jest pomijany.
Następny etap redukcji azymutu polega na
uwzględnieniu wpływu odchylenia pionu w punkcie
stanowiska P i w punkcie celu K. Odchylenie pionu
w punkcie P spowoduje zarówno skręcenie
płaszczyzny południka δα’
n
, jak i wertykału celu δα’
v
.
Obydwa wpływy odchyleń pionu na skręcenie
wertykału celu można przedstawić jednym wzorem w
postaci:
cos
sin
P
K
P
K
K
v
s
H
2. Redukcja azymutów – c.d.3
Na
koniec
należy
uwzględnić
wpływ
wichrowatości normalnych elipsoidy w punktach
stanowiska P i celu K zarówno przy rzutowaniu na
geoidę, jak i elipsoidę odniesienia:
2
sin
cos
2
'
2
2
K
K
w
N
H
a
e
Powyższy wzór jest wzorem przybliżonym
ważnym dla długości boków rzędu kilkudziesięciu
kilometrów.
Ostatecznie wzór na redukcję azymutu
w rzeczywistym polu siły ciężkości
otrzymuje się dodając kolejne etapy redukcji:
v
w
A
'
'
3. Redukcja długości
Klasyczne podejście do redukcji długości S’,
pomierzonej na fizycznej powierzchni Ziemi i
zredukowanej na średnią wysokość obu punktów
końcowych odcinka S’, polega na wyznaczeniu
różnicy
pomiędzy
długością
redukowaną
bezpośrednio na elipsoidę S
0
(rzut normalny)
i długością S otrzymaną w wyniku najpierw
pionowego rzutu na geoidę a następnie normalnego
rzutu z geoidy na elipsoidę odniesienia.
Do pierwszego etapu redukcji wykorzystujemy
średnią wysokość:
)
(
2
1
K
P
K
P
m
N
N
H
H
H
3. Redukcja długości – c.d.1
Rys. Bezpośrednia redukcja długości na
elipsoidę
3. Redukcja długości – c.d.2
Wyliczając średni promień krzywizny elipsoidy
R
A
, bezpośredni rzut ortogonalny S’ na elipsoidę
odniesienia wyrazimy:
A
m
R
H
S
S
1
'
0
Przyjmuje się założenie, że powierzchnie
geoidy i elipsoidy odniesienia są w
granicach odcinka S nachylone względem siebie tak
nieznacznie, że można uznać:
K
A
K
P
A
P
0
H
H
S
S
gdzie: θ
P-A
i θ
K-A
oznaczają rzuty odchyleń pionu
odpowiednio w punktach P i K na płaszczyznę
przekroju normalnego o azymucie A, w którym leży
odcinek PK.
3. Redukcja długości – c.d.3
Rys. Wpływ odchyleń pionu na redukcję
długości
3. Redukcja długości – c.d.4
Można przyjąć średnią wysokość:
K
P
H
H
H
2
1
a wtedy :
A
K
A
P
0
H
S
S
Ostatecznie oznaczając δS = S – S’, można
zapisać
wzór
na
redukcję
długości
na
powierzchnię
elipsoidy
odniesienia
w
rzeczywistym polu siły ciężkości:
A
A
H
R
H
S
S
K
P
K
P
A
m
cos
sin
'