WALEC
WALEC
O
.
Walec
to bryła
obrotowa powstała
przez obrót
prostokąta wokół
prostej zawierającej
jego bok.
Podstawami walca są
koła o takim samym
promieniu.
tworząc
a walca
podstaw
a
wysokość
walca
Do rozwiązywania zadań potrzebne
będą wzory na pole powierzchni
(
P
)
i
objętość (
V
) dowolnego walca.
P
p
– pole podstawy
P
b
- pole powierzchni bocznej
H - wysokość walca
r – promień podstawy
O
.
Przykład 1.
Oblicz pole i objętość walca, w którym wysokość
równa się 10cm, promień podstawy 5cm.
Dane:
r=5cm
H=10cm
Szukane: P, V.
Podstawą walca jest koło.
[cm
3
]
H
r
[cm
2
]
Odp: Pole powierzchni walca równa się 150π cm
2
,
jego
objętość 250π cm
3
.
O
.
Przykład 2.
Oblicz pole i objętość walca, w którym wysokość
równa się 40cm, przekrojem osiowym jest
prostokąt, w którym przekątna ma długość 50cm.
Dane:
x=50cm
H=40cm
Szukane: P, V.
Przekrojem walca jest prostokąt ABCD.
Przekątna x dzieli prostokąt na dwa
trójkąty prostokątne.
ΔABC - prostokątny
.
r
r
H
x
A
D
C
B
.
- odpada
[cm
3
]
lub
[cm
2
]
Odp: Pole powierzchni walca równa się 1650π cm
2
,
jego
objętość 9000π cm
3
.
O
Przykład 3.
Przekrojem walca jest prostokąt o wymiarach 6cm i
8cm. (rys obok) Oblicz pole i objętość walca, oblicz
pole przekroju płaszczyzną równoległą do
płaszczyzny podstawy.
Dane:
2r=6cm
H=8cm
Szukane: P, V,P
przekroju
r
H
r
[cm
3
]
Odp: Pole powierzchni walca równa się 66π cm
2
,
jego
objętość 72π cm
3
; pole przekroju 9π cm
2
.
[cm
2
]
[cm
2
]
O
.
Przykład 4.
Prostokąt o wymiarach 2cm i 4cm obraca się wokół
dłuższego boku. Oblicz pole i objętość powstałej
figury.
Dane:
r=2cm
H=4cm
Szukane: P, V.
W wyniku obrotu powstaje walec,
w którym promień podstawy ma
długość 2cm – długość krótszego boku
prostokąta, wysokość ma długość 4cm – długość
dłuższego boku prostokąta.
r
H
r
Odp: Pole powierzchni walca równa się 24π cm
2
,
jego
objętość 16π cm
3
.
[cm
3
]
[cm
2
]
O
.
Przykład 5.
Przekrojem walca jest kwadrat o przekątnej
długości 10cm.
Oblicz pole powierzchni i objętość walca.
Dane:
a=10cm
Szukane: P, V.
.
r
r
H
A
C
D
B
Obliczamy długość wysokości
walca, wykorzystując twierdzenie
Pitagorasa.
ΔABC - prostokątny
.
a
- odpada
lub
[cm
2
]
[cm
3
]
Odp: Pole powierzchni walca równa się 75π cm
2
,
jego
objętość cm
3
.
O
.
Przykład 6.
Przekrojem walca o wysokości 8cm jest prostokąt,
w którym przekątna tworzy z wysokością kąt o
mierze 30˚. Oblicz pole i objętość walca.
Dane:
=30˚
H=8cm
Szukane: P, V.
α
D
A
C
B
.
r
r
H
Obliczamy długość promienia
podstawy walca, wykorzystując
funkcje trygonometryczne.
ΔABC - prostokątny
α
[cm
3
]
Odp: Pole powierzchni walca równa się
cm
2
,
jego objętość cm
3
.
[cm
2
]