Figura geometryczna – dowolny zbiór punktów
z przestrzeni euklidesowej, np. linia prosta, kula,
kwadrat.
Figury geometryczne na płaszczyźnie noszą
nazwę figur płaskich, w przestrzeni
trójwymiarowej – brył geometrycznych.
Dział geometrii dotyczący figur płaskich to
planimetria; dotyczący brył to stereometria.
Słowa figura używa się też czasem wyłącznie
w znaczeniu figury płaskiej.
FIGURY GEOMETRYCZNE
FIGURA GEOMETRYCZNA TO ZBIÓR PUNKTÓW
PŁASZCZYZNY
CO TO JEST FIGURA GEOMETRYCZNA
PUNKTY
zaznaczamy kropkami i
oznaczamy dużymi literami
alfabetu
.
A
.
K
.
W
.
Z
.
RR
Prosta
Prosta
lub
linia prosta
- jedno z najważniejszych pojęć geometrii.
Potocznie:
nie zakrzywiona, nie ograniczona z obydwu
stron linia o zerowej grubości.
Opis ten pasuje do prostych w zwyczajnej geometrii, tzw. geometrii
euklidesowej. Jej nazwa pochodzi od greckiego matematyka Euklidesa, który
w III wieku p.n.e. w wielkim dziele Elementy po raz pierwszy opisał
podstawowe pojęcia geometryczne, w tym prostą. Więcej na temat prostych
w geometrii euklidesowej podano w sekcji Geometria euklidesowa.
W matematyce rozważane są także inne geometrie. Przykładowo geometria
powierzchni kuli (tzw. geometria sferyczna) była od I wieku n.e
.
rozwijana na
potrzeby podróżników i astronomów. Pojęcie prostej można uogólnić na
przestrzenie nieeuklidesowe. Jeśli tylko jest określona odległość między
punktami danej przestrzeni matematycznej, odpowiednikiem prostych w tej
przestrzeni są tzw. linie geodezyjne czyli linie określające najkrótsze drogi
między punktami. Według tej ogólnej definicji,
prosta to taka, nie
posiadająca końców krzywa, która dla
każdych dwóch swoich punktów zawiera w
całości najkrótszą drogę pomiędzy nimi.
PROSTA
PROSTA NIE MA
ANI
POCZĄTKU,
ANI
KOŃCA
!
A
B
a
JAK NAZWAĆ PROSTĄ ?
.
.
a
C
D
prosta a
prosta CD
Półprosta
Półprosta to jednowymiarowa figura
geometryczna powstała przez
przecięcie prostej w dowolnie
wybranym punkcie, nazywanym
początkiem półprostej.
Punkt ten, oraz wszystkie punkty
prostej leżące po jednej jego stronie
tworzy półprostą.
PÓŁPROSTA
.
Półprosta ma początek, ale nie ma końca
…...
Półprostą
o początku A nazywamy każdą
z części prostej AB (AB), na jakie dzieli
ją punkt A. Półprostą, do której należy
punkt B, nazywamy półprostą AB
A
B
JAK NAZWAĆ PÓŁPROSTĄ?
.
.
C
D
.
.
półprosta CD
.
K
L
półprosta KL
.
półprosta a
a
Odcinek
Odcinek - w geometrii część prostej
zawarta pomiędzy dwoma jej
punktami
z tymi punktami włącznie.
Odcinek w całości zawiera się
wewnątrz tej prostej.
A
B
Odcinkiem
o końcach A i B
nazywamy część prostej AB
zawartą między punktami A,B
wraz z tymi punktami.
ODCINEK
.
.
A
B
odcinek AB
ZAPAMIĘTAJ
: odcinek ma dwa końce
!
ŁAMANA
.
.
.
.
.
.
.
.
.
łamana otwarta ABCD
łamana zamknięta KLMNO
A
B
C
D
K
L
M
N
O
DEFINICJA
Kąt-to część płaszczyzny ograniczona
dwiema półprostymi o wspólnym początku.
wierzchoł
ek
rami
ę
ramię
KĄT - DEFINICJA
* WYRÓŻNIAMY KĄTY
a) wklęsłe
b) wypukłe
wypukły
wklęsł
y
RODZJE KĄTÓW
* ZE WZGLĘDU NA MIARY
Ostry – od 1 - 89
Prosty - 90
Rozwarty- od 91 - 179
Półpełny - 180
Pełny - 360
Wklęsły – od 181 do 359
PODZIAŁ KĄTÓW
Jest to kąt płaski, którego obszar zawiera wszystkie
punkty płaszczyzny; jego ramiona pokrywają się.
KĄT PEŁNY
Jest to kąt płaski stworzony przez półproste
uzupełniające się, czyli taki, którego ramiona tworzą
linię prostą.
KĄT PÓŁPEŁNY
Jest to kąt płaski będący połową kąta półpełnego.
KĄT PROSTY
Jest to taki kąt płaski, który jest mniejszy niż kąt
prosty i większy niż kąt zerowy.
KĄT OSTRY
Jest to kąt płaski, który jest większy od kąta
prostego i mniejszy od kąta półpełnego.
KĄT ROZWARTY
Jest to para kątów płaskich, które mają jedno ramię
wspólne, a dwa ich pozostałe ramiona tworzą prostą.
KĄTY PRZYLEGŁE
Kątami przyległymi
nazywamy takie dwa kąty,
które mają jedno ramę
wspólne, a pozostałe
ramiona są półprostymi
dopełniającymi się.
Suma miar kątów
przyległych równa się 180
Kąty wypukłe, których ramiona
wzajemnie się przedłużają,
nazywamy kątami
wierzchołkowymi.
Kąty wierzchołkowe mają
równe miary.
KĄTY PRZYLEGŁE I WIERZCHOŁKOWE
Nazwy i własności kątów powstających
przez przecinające się proste.
*
Suma kątów przyległych wynosi 180
o
Nazwy i własności kątów
powstających przez przecinające się
proste.
Jakie miary mają kąty ?
Zadanie
Z trzech odcinków można
zbudować trójkąt tylko wtedy,
gdy suma dwóch krótszych
odcinków jest większa od
najdłuższego.
Suma miar kątów
trójkąta wynosi
180
MIARY KĄTÓW W TRÓJKĄTACH
Ostrokątny
Prostokątny
Rozwartokątn
y
Równoramienny
Równobocz
ny
KLASYFIKACJA TRÓJKĄTÓW
Rodzaje trójkątów
a) trójkąt ostrokątny, który ma wszystkie kąty ostre
b) trójkąt prostokątny, który ma kąt prosty i dwa ostre
c) trójkąt rozwartokątny, który ma kat rozwarty i dwa
ostre
Ze względu na miarę tego największego
kąta rozróżniamy trzy rodzaje trójkątów:
Ze względu na boki wyróżniamy
także trzy rodzaje trójkątów:
a) trójkąt równoboczny
b) trójkąt równoramienny
c) trójkąt różnoboczny
czworokąty
jedna para
boków
równoległyc
h
nie mają
boków
równoległyc
h
trapezy
dwie pary boków
równoległych
równoległobo
ki
wszystki
e
wszystki
e
kąty
przystające
prostokąt
y
boki
równe
romby
wszystki
e
wszystki
e
boki równe
kąty
przystające
kwadraty
trapezoidy
dwie pary boków
sąsiednich
równych
deltoidy
Czworokąty to:
Symetria w czworokątach -
KWADRAT
• wszystkie boki
równe
• przeciwległe boki
równoległe
• wszystkie kąty
proste
• przekątne są
równe, dzieląc się
na połowy
i są prostopadłe
• symetria osiowa
• symetria
środkowa
Symetria w czworokątach -
PROSTOKĄT
• przeciwległe boki
równe i równoległe
• wszystkie kąty
proste
• przekątne są
równe
i dzielą się na
połowy
• symetria osiowa
• symetria
środkowa
Symetria w czworokątach -
ROMB
• wszystkie boki równe
• przeciwległe boki równoległe
• przeciwległe kąty równe
• przekątne dzielą się na połowy
i są prostopadłe
• symetria osiowa
• symetria środkowa
Symetria w czworokątach -
DELTOID
• dwie pary sąsiednich
boków równych
• przekątne są
prostopadłe
• symetria osiowa
Symetria w czworokątach –
TRAPEZ
RÓWNORAMIENNY
• podstawy równoległe
• symetria osiowa
Symetria w czworokątach -
RÓWNOLEGŁOBOK
• przeciwległe boki
równe
i równoległe
• przeciwległe kąty
równe
• przekątne dzielą się
na
połowy
• symetria środkowa
*
*
Każdy równoległobok ma oś
Każdy równoległobok ma oś
symetrii.
symetrii.
Jest nim punkt przecięcia
Jest nim punkt przecięcia
przekątnych.
przekątnych.
Kwadrat
Kwadrat to czworokąt
foremny
o równych bokach i
przystających kątach
(wszystkie kąty są proste).
Kwadrat to szczególny
przypadek prostokąta o
wszystkich bokach równych a
także rombu
o wszystkich kątach równych.
Każde dwa kwadraty są do
siebie podobne.
Kwadrat
Kwadrat to czworokąt foremny o
równych bokach i przystających kątach
(wszystkie kąty w kwadracie są proste).
Kwadrat to szczególny przypadek
prostokąta o wszystkich bokach
równych a także rombu o wszystkich
kątach równych.
Przekątne kwadratu są wzajemnie
prostopadłe oraz mają jednakową
długość. Ich punkt przecięcia dzieli
każdą z nich na dwie równe części.
Punkt ten jest także środkiem symetrii
kwadratu. Przekątne kwadratu zawarte
są w dwusiecznych jego kątów.
Kwadrat na płaszczyźnie posiada cztery
osie symetrii: dwie z nich to proste
zawierające przekątne, drugie dwie to
symetralne boków.
Trójkąt
Trójkąt - figura geometryczna o trzech niewspółliniowych
wierzchołkach.
Boki trójkąta to odcinki łączące wszystkie trzy pary
wierzchołków.
W przestrzeni płaskiej
(euklidesowej)
suma kątów
wewnętrznych trójkąta jest równa kątowi półpełnemu .
ProstokĄt
• Prostokąt to figura geometryczna - czworokąt o
wszystkich kątach prostych.
• Szczególnym przypadkiem prostokąta jest
kwadrat.
Romb
• Romb to równoległobok, którego wszystkie cztery
boki mają równą długość. Szczególnym
przypadkiem rombu jest kwadrat. Przekątne tego
wielokąta przecinają się w połowie pod kątem
prostym.
Równoległobok
• Równoległobok to figura geometryczna - czworokąt, który
ma dwie pary boków równoległych. Przekątne
równoległoboku przecinają się w połowie. Przeciwległe kąty
są równej miary. Suma miar kątów sąsiednich wynosi 180
stopni. Szczególnymi przypadkami równoległoboku są romb
i prostokąt.
Trapez
Trapez (ang
.
Trapezium ,
US trapezoid) –
czworokąt, który
posiada dwa równoległe
boki zwane
podstawami. Dwa
pozostałe boki zwane
są ramionami. Wśród
trapezów wyróżniamy:
trapezy równoramienne
– ramiona tej samej
długości
trapezy prostokątne –
dwa kąty proste.
Deltoid
• Deltoid ("latawiec") to czworokąt, który ma oś symetrii
przechodzącą przez dwa jego wierzchołki. Równoważnym
warunkiem jest istnienie dwóch par przylegających boków o
równych długościach.
• Przekątne deltoidu są wzajemnie prostopadłe, jedna
przekątna zawarta jest w osi symetrii i jest symetralną
drugiej przekątnej. Deltoid ma parę przeciwległych kątów .
• Szczególnymi przypadkami deltoidu są romb oraz kwadrat..
Wzory na pola figur:
- kwadrat
- prostokąt
- trójkąt
- trapez
- równoległobok
- koło
POLE KWADRATU
P=a
.
a=
a
2
Pola figur płaskich –
WZORY -
KWADRAT
POLE PROSTOKĄTA
P=a
.
b
Pola figur płaskich –
WZORY -
PROSTOKĄT
POLE TRÓJKĄTA
h
a
2
1
P
Pola figur płaskich –
WZORY -
TRÓJKĄT
POLE TRAPEZU
h
2
b)
(a
P
Pola figur płaskich –
WZORY -
TRAPEZ
POLE RÓWNOLEGŁOBOKU
P=a
.
h
Pola figur płaskich –
WZORY -
RÓWNOLEGŁOBOK
POLE KOŁA
P=
.
r
2
Pola figur płaskich –
WZORY -
KOŁO
Kąty przyległe mają
w sumie 180
o
.
Kąty wierzchołkowe są
równe.
Kąty odpowiadające
wyznaczone przez proste
równoległe są równe.
Kąty naprzemianległe
wyznaczone przez proste
są równe.
Rodzaje kątów
ostrokątny
prostokątny
rozwartokątny
równoboczny
(dowolny)
α < 90°
β < 90°
δ < 90°
C = 90°
α + β = 90°
90° < α < 180°
α < 90° i β < 90°
równoramienny
α = β, α < 90°
β < 90°, δ < 90°
α = β = 45°
C = 90°
α = β, α < 90°
β < 90°
90° < δ < 180°
równoboczny
α = 60°
Nie ma
takiego
trójkąta
Nie ma
takiego
trójkąta
Trójkąty
kąty
boki
przekątne
Równoległobok
Przeciwległe kąty
równe
Przeciwległe boki
równe i równoległe
Przekątne dzielą się na
połowy
Romb
Przeciwległe kąty
równe
Wszystkie boki równe,
przeciwległe boki
równoległe
Przekątne dzielą się na
połowy i są
prostopadłe
Prostokąt
Wszystkie kąty proste
Przeciwległe boki
równe i równoległe
Przekątne są równe i
dzielą się na połowy
Kwadrat
Wszystkie kąty proste
Wszystkie boki równe,
przeciwległe boki
równoległe
Przekątne są równe,
dzielą się na połowy i
są prostopadłe
Deltoid
X
Dwie pary sąsiednich
boków równych
Przekątne są
prostopadłe.
Opis wielokątów
Wzór na pole
Wzór na obwód
Rysunek
Kwadrat
a
2
4a
Prostokąt
a · b
2· (a + b)
Równoległobok
a·h1
2· (a + b)
Romb
a·h
4a
Trapez
a + b + c +d
Trójkąt
a + b + c
b
a
a
a
a
a
a
c
d
b
a
c
b
a
b
h
1
h
b
a
2
2
h
a
Wzory
Odszukaj wśród figur trójkąty
prostokątne
.
Zadanie 1
Wybierz figury, które są
trapezami.
Zadanie 2
Który z kątów jest kątem ostrym ? Pokaż właściwą
strzałkę.
Zadanie 4.
Który z kątów jest kątem rozwartym ? Pokaż właściwą
strzałkę.
Zadanie 3
Połącz nazwę z figurą.
kwadrat
prostoką
t
trójkąt
prostokątny
pięciokąt
czworok
ąt
trapez
prostokątny
Zadanie 7
Połącz nazwę z figurą.
trapez
równoramienn
y
trójkąt
równoramienny
kwadrat
równoległobok
romb
prostokąt
Zadanie 8
