Gęstość widmowa mocy (PSD) sygnału 

losowego stacjonarnego i ergodycznego

Definicja gęstości widmowej 
mocy

 

 

2

2

1

lim





T

T

X

X

T

S







gdzi
e

 

 











T

T

t

i

T

dt

e

t

x

X





Związek gęstości widmowej mocy ergodycznego sygnału 
losowego z funkcją autokorelacji sygnału

 

 

 



























T

T

t

i

T

T

t

i

T

T

T

T

X

dt

e

t

x

dt

e

t

x

T

X

X

T

S

2

2

1

1

2

1

2

1

lim

2

1

lim







po wprowadzeniu nowych 
zmiennych 

1

2

1

t

t

;

t

t









 

  



 



















































d

e

R

d

e

dt

t

x

t

x

T

S

i

X

i

T

T

T

X

2

1

lim

 

 

 

 

 











































d

S

R

t

x

d

e

S

R

X

X

X

i

X

X

2

1

0

;

2

1

2

2

 

 

Gęstość widmowa mocy (PSD) sygnału 

losowego stacjonarnego i ergodycznego

Przykładowy sygnał 
losowy

 

 









0

2

0

2

cos

A

R

X

 













t

sin

A

t

X

0

0

gdzie faza jest zmienną losową o rozkładzie 
równomiernym

Sygnał jest ergodyczny ze względu na wartość oczekiwaną i 
funkcję autokorelacji

Funkcja autokorelacji 
sygnału

Gęstość widmowa mocy sygnału

 



 







0

0

2

0

2

























A

S

X

Jednostronna gęstość widmowa mocy 
sygnału

 





0

2

0











A

G

X

 

 

Gęstość widmowa mocy (PSD) sygnału 

losowego stacjonarnego i ergodycznego

Sygnał losowy stosowany do aproksymacji sygnału o 
zadanej gęstości widmowej mocy

 













.

..........

t

sin

A

.........

t

sin

A

t

sin

A

t

X

n

n

n





























2

2

2

1

1

1

gdzie fazy są zmiennymi losowymi o rozkładzie 
równomiernym oraz















n

n

n

1

Funkcja autokorelacji 
sygnału

 

 

 

 

.

..........

cos

A

.........

cos

A

cos

A

R

n

n

X

























2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

Jednostronna gęstość widmowa mocy 
sygnału

 









.....

.......

.....

......

2

2

1

2

1

2

1















































n

n

n

X

A

A

A

A

G

stąd można wyznaczyć przybliżoną wartość 
amplitud

 













n

X

n

G

A

 

 

Gęstość widmowa mocy (PSD) sygnału 

losowego stacjonarnego i ergodycznego

Zadanie: 
Wyznaczyć wariancję procesu stochastycznego, którego 
jednostronna gęstość widmowa mocy jest stała i wynosi G

0

 

w przedziale [0 omega

g

]

i jest równa zero poza tym przedziałem. Wyznaczyć 
przybliżoną realizację tego procesu i wyznaczyć jej wartość 
średnokwadratową.   



















g

g

X

G

d

G

0

0

0

2

2

1

2

1

Przybliżony proces stochastyczny mający zadaną gęstość

 





n

g

g

g

g

g

g

t

sin

n

G

.........

t

n

sin

n

G

t

n

sin

n

G

t

X































































0

2

0

1

0

2

Wartość średniokwadratowa realizacji tego 
procesu

 

g

g

g

g

G

n

G

n

n

G

.........

n

G

t

x



























0

0

0

0

2

2

1

2

1

2

1

2

1

 

 

Przejście sygnału stochastycznego przez 

obiekt liniowy 

Założenie: 

- Sygnały (wejściowy i wyjściowy) są sygnałami stacjonarnymi, 
ergodycznymi
- Realizacje sygnałów (wejściowego i wyjściowego) są sygnałami o
   ograniczonej mocy.

     

   

   

   





















































t

t

d

t

g

u

d

t

u

g

d

t

g

u

t

g

t

u

t

y

0

0

Realizacja sygnału wyjściowego jest splotem realizacja 
sygnału wejściowego i impulsowej funkcji przejścia 
obiektu.

 

 

   

 

 

   

0

2

1

2

1

2

1

1

1

0

G

t

u

d

g

dt

t

u

T

lim

dt

d

t

g

u

T

lim

dt

t

y

T

lim

t

y

T

T

T

T

T

t

T

T

T

T



































































Zależność między wartościami średnimi sygnałów: 
wejściowego i wyjściowego

 

 

Przejście sygnału stochastycznego przez 

obiekt liniowy 

Funkcja korelacji wzajemnej sygnału wyjściowego i 
wejściowego

  



dt

t

u

t

y

T

R

T

T

T

yu

















2

1

lim

Funkcja korelacji wzajemnej sygnału wejściowego i

 

wyjściowego

 

  



 

























yu

T

T

T

uy

R

dt

t

y

t

u

T

R

2

1

lim

Wzajemna gęstość widmowa mocy sygnału wyjściowego 
i wejściowego

 

 























d

e

R

S

i

yu

yu

 

 

Przejście sygnału stochastycznego przez 

obiekt liniowy 

Zależność między funkcją korelacji wzajemnej sygnałów 
wyjściowego i wejściowego a funkcją autokorelacji sygnału 
wejściowego

 

   

    



  







  



   







 





















































































































g

R

d

g

R

d

g

dt

t

u

t

u

T

dt

d

t

g

u

t

u

T

dt

t

y

t

u

T

R

uu

uu

T

T

T

t

T

T

T

T

T

T

uy

2

2

2

2

2

2

1

1

1

2

1

lim

|

2

1

lim

2

1

lim

1

2

Zależność między funkcją korelacji wzajemnej sygnałów 
wejściowego i wyjściowego a funkcją autokorelacji sygnału 
wejściowego

 

 

   

   































g

R

g

R

R

R

uu

uu

uy

yu

 

 

Przejście sygnału stochastycznego przez 

obiekt liniowy 

Zależność między wzajemną gęstością widmową mocy 
sygnałów wyjściowego i wejściowego a gęstością widmową 
mocy sygnału wejściowego

 

  



 

  



 

   

 

   











































































































































i

G

S

dt

e

d

t

g

R

S

d

e

d

g

R

d

e

R

d

g

R

R

uu

t

i

uu

uy

t

i

uu

i

uy

uu

uy

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

|

Analogicznie

 

   







i

G

S

S

uu

yu







 

 

Przejście sygnału stochastycznego przez 

obiekt liniowy 

Użyteczny schemat ułatwiający 
zapamiętanie wzorów

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 









































yy

yu

uu

yy

yu

uu

yy

uy

uu

yy

uy

uu

S

i

G

S

i

G

S

R

g

R

g

R

S

i

G

S

i

G

S

R

g

R

g

R









































Związek między gęstością widmową sygnału wejściowego i 
wyjściowego

 

   

       

 

















uu

uu

yu

yy

S

i

G

i

G

i

G

S

i

G

S

S

2















 

 

 

 

 

   















yy

uu

uy

yu

uy

S

S

S

2

2

2





Definicja funkcji 
koherencji 

)

(

)

(

)

(

2







yy

uu

uy

S

S

S





ponieważ 

Własności:

- jest funkcją rzeczywista i parzystą

- 

przyjmuje wartości mniejsze lub równe 

od jeden

1

)

(

2







uy

Przejście sygnału stochastycznego przez 

obiekt liniowy 

 

 

Przejście sygnału stochastycznego przez obiekt 

liniowy

 

Zadanie: 
Na wejście obiektu o transmitancji operatorowej G(s)=1/(4s+1) 
podano stacjonarny sygnał stochastyczny, którego funkcja 
autokorelacji jest opisana wzorem R

uu

(t)=exp(-|t|). Wyznaczyć 

gęstość widmową mocy sygnału wyjściowego, wzajemną gęstość 
widmową mocy sygnałów wejściowego i wyjściowego oraz funkcję 
koherencji tych sygnałów.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

1

1

2

16

1

1

1

2

1

2

16

1

1

1

2

1

4

1

1

2

16

1

1

1

2

16

1

1

1

4

1

1

4

1

1

4

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2











































































































































yy

uu

uy

uy

uu

uy

uu

yy

uu

uu

S

S

S

i

S

i

G

S

S

i

G

S

S

e

R

i

G

i

i

G

s

s

G

s

s

G

 

 

Superpozycja funkcji gęstości widmowej mocy

Jeśli sygnały wejściowe u

1

(t) oraz u

2

(t) są sygnałami 

nieskorelowanymi i przynajmniej jeden z nich ma zerowa wartość 
średnią to gęstość widmowa mocy sygnału wyjściowego ma 
postać 

 

 

 

 

 















2

2

1

1

2

2

2

1

u

u

u

u

yy

S

i

G

S

i

G

S

 

 

 

 

 











2

2

1

2

2

1

1

1

y

y

y

y

y

y

y

y

yy

R

R

R

R

R









Funkcja korelacji sygnału y(t) będącego sumą sygnałów y

1

(t) 

oraz y

2

(t) 

Przykład: Obliczanie gęstości widmowej mocy sygnału 
wyjściowego oraz funkcji koherencji dla obiektu z jednym 
wejściem sterującym przy uwzględnieniu szumu zredukowanego 
do wyjścia. Szum jest sygnałem nieskorelowanym z sygnałem 
wejściowym.