Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

1

DIELEKTRYKI

DIELEKTRYKI

TADEUSZ HILCZER

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

2

Statystyczne 

Statystyczne 

teorie polaryzacji 

teorie polaryzacji 

dielektrycznej

dielektrycznej

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

3

Opis makroskopowych własności dielektryków

Opis makroskopowych własności dielektryków

• Do opisu makroskopowych własności dielektryków 

można stosować metody fizyki statystycznej:

gdy znane są własności drobin i 
oddziaływania między nimi

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

4

Opis makroskopowych własności dielektryków

Opis makroskopowych własności dielektryków

• założenie większości statystycznych teorii 

dielektryków  przybliżenie liniowe 

– polaryzacja P 

zależy

 jedynie od gęstości dipoli

– polaryzacja P 

nie

 

zależy

 od gęstości multidipoli 

wyższych rzędów

• dla dielektryka jednorodnego i izotropowego







Ε

D

P

0



E

D

0





E

V

M

P 





E

V

M

E

1

1

=

0







Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

5

- 

teoria Onsagera

 i 

teoria Kirkwooda

  szczególne 

przypadki 

- w 

teorii Onsagera

 dipol oddziałuje z materią traktowaną 

jako ośrodek ciągły  nie uwzględniane oddziaływania 

między sąsiednimi dipolowymi molekułami 

- najogólniejsza teoria dielektryków w polu statycznym 

- molekuły znajdujące się w bliskim sąsiedztwie oddziałują 
na siebie wzajemnie 

- energia wzajemnego oddziaływania molekuł  

porównywalna z energią ruchu cieplnego kT lub większa 

Statystyczna teoria polaryzacji Fröhlicha

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

6

- wnęka zawiera molekuły o różnych momentach 
elektrycznych 

- molekuł jest na tyle dużo, że można stosować prawa 
statystyki 

- 

wnęka Fröhlicha

  półmakroskopowa o objętości V 

- molekuły we wnęce mają 
wypadkowy moment elektryczny 
M 

- poza wnęką dielektryk jest 
ośrodkiem ciągłym o 
przenikalności elektrycznej 



 

- częściami wnęki mogą być zarówno pojedyncze 
molekuły jak i komórki sieci krystalicznej



Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

7

U(X,E) - energia układu znajdującego się w konfiguracji X w zewnętrznym 
polu elektrycznym E
X - zbiór przesunięć r

i

 ładunków e

i

 z ich położeń równowagi, dający 

wypadkowy moment elektryczny układu M(X),

- średni rzut wypadkowego momentu M na kierunek 
zewnętrznego pola elektrycznego E 

dX

kT

E

X

U

dX

kT

E

X

U

X

M

E



























)

,

(

exp

)

,

(

exp

cos

)

(



M





i

i

dr

dX

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

8

- energia oddziaływania pola E

w

 z ładunkami: 

- po przyłożeniu zewnętrznego pola E we wnęce powstaje 
pole wewnętrzne E

w

 

- uwzględnia się udział wszystkich ładunków znajdujących 
się wewnątrz wnęki  

polaryzowalność indukowana 

traktowana mikroskopowo 

- moment M(X)  zawiera udział wszystkich ładunków 
znajdujących się wewnątrz wnęki  

ładunki znajdują się w 

próżni

 



cos

)

(

)

(

)

,

(

w

w

E

X

M

X

E

X

U









E

M

- pole wewnętrzne: 

E

G

E

1

2

3











w

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

9

- molekuły są dipolami sztywnymi 

Założenie teorii Fröhlicha

 

- polaryzowalność indukowana traktowana makroskopowo 
- wnęka jest ośrodkiem ciągłym o przenikalności 
elektrycznej 



, w którym znajdują są sztywne dipole 

- pole wnęki:

E

G













2

3

- kierunek pola reakcji R || M(X)  nie zmienia orientacji 

dipoli wnęki

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

10

U(X,0) - energia w nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego

- energia U(X,E)  część która pochodzi od 

oddziaływania dipoli wnęki z polem zewnętrznym: 

- gdy wyraz dużo większy od kT:



cos

)

(

)

0

,

(

)

,

(

w

E

X

M

X

U

E

X

U







































cos

)

(

1

)

0

,

(

exp

)

,

(

exp

w

E

kT

X

M

kT

X

U

kT

E

X

U

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

11

- w nieobecności pola zewnętrznego: 

- średnia wartość momentu:

0

)

0

,

(

exp

cos

)

(















kT

X

U

X

M



dX

kT

X

U

dX

kT

X

U

X

M

kT

E

w

E



























)

0

,

(

exp

)

0

,

(

exp

cos

)

(

2

2



M

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

12

- dla słabych pól E: 

- moment M(X) może przyjmować dowolne kierunki 
względem pola E 

3

1

cos

2





)

0

,

(

3

)

0

,

(

exp

)

0

,

(

exp

)

0

,

(

3

2

2

X

M

kT

E

dX

kT

X

U

dX

kT

X

U

X

M

kT

E

w

w

E





























M

                 - wartość średnia kwadratu spontanicznej polaryzacji w 
nieobecności zewnętrznego pola elektrycznego E

)

0

,

(

2

X

M

- przenikalność elektryczna: 

E

E

kT

M

V

w

3

1

1

2

0









V - objętość wnęki o momencie M

 

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

13

założenie Fröhlicha do obliczenia                    : 

)

0

,

(

2

X

M

- wnęka składa się z N’ części, z których każda ma taką 
samą średnią polaryzowalność w zewnętrznym polu 
elektrycznym

- wyrażenie                    składa 
się z N’ wyrazów 

)

0

,

(

2

X

M

N’ - liczba podzbiorów ładunków wnęki

- całkowity moment elektryczny 
M wnęki: 







'

1

)

(

)

0

,

(

N

j

j

x

X

m

M

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

14

- całkowity moment elektryczny 
M wnęki: 

założenie Fröhlicha do obliczenia                    : 

)

0

,

(

2

X

M

- wnęka składa się z N’ części, z których każda ma taką 
samą średnią polaryzowalność w zewnętrznym polu 
elektrycznym

- wyrażenie                    składa 
się z N’ wyrazów 

)

0

,

(

2

X

M







'

1

)

(

)

0

,

(

N

j

j

x

X

m

M

m(x

j

) - moment dipolowy j -tej części wnęki









'

1

2

)

0

,

(

)

(

)

0

,

(

)

0

,

(

)

0

,

(

N

j

j

X

x

X

X

X

M

M

m

M

M

 

j 

j -1 

j+1 

N’ - liczba podzbiorów ładunków wnęki

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

15

- zakłada się stały rozkład dipoli 

średni kwadrat momentu wnęki 

dX

kT

X

U

dX

kT

X

U

X

x

X

M

j

N

j

E































)

0

,

(

exp

)

0

,

(

exp

)

0

,

(

)

(

)

0

,

(

'

1

2

M

m

 

j 

j -1 

j+1 

- całkowanie po objętości wnęki
  

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

16

- zakłada się stały rozkład dipoli 

   za wyjątkiem objętości j -tej 
części
   wnęki 

średni kwadrat momentu wnęki 

dX

kT

X

U

dX

kT

X

U

X

x

X

M

j

N

j

E































)

0

,

(

exp

)

0

,

(

exp

)

0

,

(

)

(

)

0

,

(

'

1

2

M

m

 

j 

j -1 

j+1 

- całkowanie po j-tej części wnęki 

- całkowanie po objętości wnęki

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

17

x

i 

– zbiór przesunięć i-tej części

r

jk

 - przesunięcie k-tego ładunku w j-tej części 

)

,

,

,

(

2

1

jk

j

j

j

x

r

r

r















'

1

,

N

j

j

k

jk

j

dx

dX

d

dx

r









'

,

1

N

j

k

k

j

k

j

dX

dx

dx

dX

- średni kwadrat momentu wnęki: 

j

j

j

j

j

N

j

E

dx

dX

kT

X

U

dx

dX

kT

X

U

X

x

X

M































































)

0

,

(

exp

)

0

,

(

exp

)

0

,

(

)

(

)

0

,

(

'

1

2

M

m

)

,

,

,

(

'

2

1

n

x

x

x

X





Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

18

- dla stałego rozkładu przesunięć x

i

 w j-tej części wnęki  

średni moment dipolowy wnęki m*:

j

j

j

dX

kT

X

U

dX

kT

X

U

X

x



























)

0

,

(

exp

)

0

,

(

exp

)

0

,

(

)

(

*

M

m

- prawdopodobieństwo określonego rozkładu przesunięć 
x w j-tej części wnęki  

moment m(x

j

)

: 

dX

kT

X

U

dX

kT

X

U

x

p

j

j



























)

0

,

(

exp

)

0

,

(

exp

)

(

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

19

- średni kwadrat momentu wnęki: 

- momenty m i m* zawierają zarówno składową trwałą 
jak i indukowaną 

j

j

j

j

N

j

E

dx

x

p

x

x

X

M

)

(

)

(

*

)

(

)

0

,

(

'

1

2

m

m









- dla dostatecznie dużej wnęki można zaniedbać udział 
oddziaływania poszczególnych części z otoczeniem wnęki, 
które przyjmujemy za ciągłe
- moment m(x

j

)  wyznaczony przez oddziaływania 

krótkiego zasięgu
- pomijając oddziaływania krótkiego zasięgu  nie ma 

różnicy między momentami m(xj) i m*(xj)

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

20

- średni kwadrat momentu wnęki: 

-zakładając, że wszystkie części wnęki mają taką samą 
polaryzowalność, wszystkie wyrazy sumy są identyczne 
 średnia kwadratu momentu makroskopowego wnęki:

j

j

j

j

N

j

E

dx

x

p

x

x

X

M

)

(

)

(

*

)

(

)

0

,

(

'

1

2

m

m









- przenikalność elektryczna:

*

'

)

0

,

(

2

mm

N

X

M

E



               - wartość średnia każdej części 

*

mm

E

E

kT

V

N

w

3

*

'

1

0

mm









Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

21

- średnia wartość rzutu na kierunek pola momentu 
dipolowego wnęki o objętości V:

- średnia wartość               uwzględnia wszystkie możliwe 
konfiguracje oraz prawdopodobieństwa p(x

j

) określonego 

rozkładu x

j 

wyróżnionej części wnęki

*

mm

E

E

m

VN

M

'



- moment wnęki składa się części dipolowej M

d

 i 

indukowanej M

i

- przenikalność elektryczna wnęki:

VE

M

VE

M

VE

M

E

i

E

d

E

0

0

0

1

1

1

1

1



















Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

22

E

w

 - pole lokalne we wnęce



i

 - polaryzowalność indukowana wnęki

- składowa przenikalności elektrycznej związana z 
polaryzacją indukowaną: 

E

E

V

VE

M

w

N

i

i

E

i















'

1

0

0

1

1

1

1









- składowa przenikalności elektrycznej związana z 
polaryzacją dipolową: 

kT

m

N

V 3

'

1

2

3

2

2

0

























Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

23

- część 

indukowana

 polaryzacji wnęki traktowana 

makroskopowo

 pole wewnętrzne: 

E

E













2

3

w

 wnęka wypełniona dielektrykiem o przenikalności 





 w 

której są trwałe momenty dipolowe o wypadkowym 
momencie M

d

 składowa przenikalności elektrycznej związana z 

polaryzacją dipolową 

kT

V

N

kT

M

V

E

d

3

*

'

2

3

2

3

1

2

3

2

0

2

0

mm









































Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

24

- zależności są bardzo ogólne

- przenikalność elektryczna całkowita:

- 

potrzebna jest dokładna znajomość struktury dielektryka 

i oddziaływań międzymolekularnych

- nie znając dokładnie struktury  określone uproszczenia



























kT

M

V

E

d

i

3

1

2

3

1

2

0



































kT

N

V

i

3

*

'

1

2

3

1

0

mm















i

 – polaryzowalność wnęki

Teoria Fr

Teoria Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

25

Proste przybliżenia z 

teorii Fröhlicha

:

- 

teoria CIausiusa-Mossottiego

 dla substancji 

niedipolowych

- 

teoria Onsagera

 dla substancji dipolowych

- statystyczna 

teoria Kirkwooda

Przybliżenia teorii Fr

Przybliżenia teorii Fr

ö

ö

hlicha

hlicha

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

26

teoria Onsagera

 zakłada:

 ośrodek jest ciągły i jednorodny na zewnątrz wnęki z 

dipolem o momencie m 

 nie ma oddziaływań krótkiego zasięgu

 energia ruchu cieplnego kT jest duża w porównaniu z 

energią oddziaływań międzymolekularnych

Przybliżenie Onsagera

Przybliżenie Onsagera

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

27

- przenikalność elektryczna związana z polaryzacją 
dipolową:

- 

wnęka Onsagera

 ma jeden dipol (N' = 1): 

 - moment dipolowy molekuły w ośrodku o przenikalności 





kT

m

N

V 3

'

1

2

3

2

2

0

























        - 

wartość średnia kwadratu momentu dipolowego wnęki kulistej, 

zanurzonej we własnym ośrodku

 

2

m

kT

V 3

1

2

3

2

2

0



























Przybliżenie Onsagera

Przybliżenie Onsagera

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

28

- biorąc wartość momentu 

s

 dla molekuły swobodnej  

przenikalność elektryczna związana z polaryzacją 
dipolową  

równanie Onsagera

:

2

2

0

3

2

3

1

2

3

2













































kT

V

s

Przybliżenie Onsagera

Przybliżenie Onsagera

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

29

teoria Kirkwooda

 zakłada:

 ośrodek ciągły o indukowanej przenikalności 

elektrycznej 





 zawierający molekuły dipolowe o 

momencie 

 polaryzowalność traktowana w sposób makroskopowy

 moment m* zawiera udział orientacji dipolowej

 średni moment od wnęki kulistej w której jeden z 

dipoli ma określony kierunek

  jedyną zmienną jest kierunek dipola 

Przybliżenie Kirkwooda

Przybliżenie Kirkwooda

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

30

w cieczy wszystkie kierunki dipola są równoważne:

- przenikalność elektryczna dipolowa  

równanie 

Kirkwooda

:  

*

*

μμ

mm 

*

3

'

1

2

3

2

0

μμ

kT

N

V

























Przybliżenie Kirkwooda

Przybliżenie Kirkwooda

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

31

Zakładając:

 w oddziaływaniach krótkiego zasięgu wystarczy 

uwzględnić jedynie najbliższe otoczenie
 za wyróżniony przyjąć kierunek centralnego momentu 

, otoczonego z najbliższymi sąsiadami o momentach 

i

- moment * suma (wektorowa) z+1 momentów:









z

i

i

1

*

μ

μ

μ









z

i

i

1

2

cos

1

*





μμ

cos



i

 - cosinusy kierunkowe momentów otoczenia (w którym wielkościami 

zmiennymi są kierunki dipoli) z wyróżnionym dipolem

Przybliżenie Kirkwooda

Przybliżenie Kirkwooda

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

32

U - energia oddziaływania między najbliższymi sąsiadami
dw i dv - odpowiednio zbiory przesunięć i orientacji

- wartość średnia               :

i



cos

dxdv

kT

U

dxdv

kT

U

i

i





























exp

exp

cos

cos

cos















cos

1

*

2

z





μμ

                  gdy energia U ma charakter oddziaływania 
kierunkowego  cos



 w potędze nieparzystej 

0

cos 



- energia oddziaływania może być różnego rodzaju  różni 

się od energii oddziaływań (czysto elektrostatycznej) 
między dwoma dipolami punktowymi

Przybliżenie Kirkwooda

Przybliżenie Kirkwooda

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

33

- dla molekuł kulistych moment   moment molekuły w 

próżni 

s

- dipolowa przenikalność elektryczna: 

- dipolowa przenikalność elektryczna dla molekuł 
kulistych: 





















cos

1

3

1

2

3

2

2

0

z

kT

V















μ

μ

2

3









s























cos

1

3

1

3

2

2

3

2

2

0

z

kT

V

s































- od 

równania Onsagera

 różni się wyrazem 

U

kT

z





dla

0

cos



Przybliżenie Kirkwooda

Przybliżenie Kirkwooda

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

34

teoria Clausiusa-Mossottiego zakłada:

 ośrodek jest ciągły i jednorodny

 molekuły nie mają trwałych momentów dipolowych 

 modelem molekuły są ładunki elektryczne 

sprężyście związane ze sobą 

Przybliżenie Clausiusa-Mossottiego

Przybliżenie Clausiusa-Mossottiego

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

35

- moment molekuły:

- dla ośrodka jednorodnego :

- przenikalność elektryczna:

- wartość średnia kwadratu indukowanego momentu 
dipolowego:

r

m q



r - rozsunięcie ładunków q pod wpływem pola E

2

*

,

1

'

,

m

N

w







mm

G

E

kT

m

V 3

1

1

2

3

1

2

0















rdr

kT

U

rdr

kT

U

r

q

m



























exp

exp

2

2

2

Przybliżenie Clausiusa-Mossottiego

Przybliżenie Clausiusa-Mossottiego

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

36

- energia wewnętrzna  wychylenie ładunku jest 

sprężyste i małe:

- energia zewnętrzna:

U

w

 - energia wewnętrzna związana ze sprężystym przesunięciem ładunków

U

z

 - energia zewnętrzna związana z oddziaływaniem wnęki z otoczeniem 

z

w

U

U

U





2

2

2

2

2

r

q

r

k

U

w







 - polaryzowalność

P

R

z

U

U

U





U

R

 - energia dipola w polu reakcji    U

P

 - energia polaryzacji 

otoczenia

V

r

q

V

m

U

z

2

0

2

2

0

3

1

2

1

3

1

1

2

1





























- energia całkowita:

V

r

q

r

q

U

2

0

2

2

2

3

1

2

1

2

















Przybliżenie Clausiusa-Mossottiego

Przybliżenie Clausiusa-Mossottiego

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

37

- średni kwadrat momentu dipolowego:

 równanie Clausiusa-Mossottiego:

- kwadrat momentu indukowanego jest proporcjonalny do 
temperatury



























1

2

1

2

3

1

0

0

2











V

VkT

q

m

0

0

3

3

2

1













N

V









N - liczba molekuł w jednostce objętości

- przenikalność elektryczna indukowana nie zależy od 
temperatury 

Przybliżenie Clausiusa-Mossottiego

Przybliżenie Clausiusa-Mossottiego

Tadeusz Hilczer - Dielektryki (wykład monograficzny)

38

Dielektryk niedipolowy 

– teoria Clausiussa-Mossottiego

Dielektryk dipolowy rozcieńczony 

– 

teoria Debye’a

Dielektryk dipolowy 

– 

teoria Onsagera

Dielektryk dipolowy, 
oddziaływania 
krótkiego zasięgu, 

teoria Kirkwooda

-Fröhlicha

















kT

N

3

1

2









0

=

















kT

N

3

1

2









0

=

0

3

2

1









N







2

2

0

3

2

3

1

2

3

2













































kT

V

s























kT

N

V

i

3

*

'

1

2

3

1

0

mm













Porównanie

Porównanie