Sygnały – pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.

Informacja przekazywana jest za pośrednictwem sygnałów, które przenoszą energię.

Sygnał   jest to funkcja czasowa dowolnej wielkości o charakterze energetycznym, w 
którym można wyróżnić dwa elementy: nośnik i parametr informacyjny.

W zależności od rodzaju nośnika wyróżnia się sygnały elektryczne, mechaniczne, 
akustyczne, magnetyczne, elektromagnetyczne ( w tym świetlne), cieplne.

Parametrem informacyjnym może być amplituda, częstotliwość, faza, szerokość 
impulsu, struktura sekwencji impulsu.

Sygnały dzieli się na:

- deterministyczne i losowe,

-ciągłe i dyskretne

Sygnałem deterministycznym jest sygnał, którego wartość w każdej chwili jest 
jednoznacznie określona za pomocą ścisłych zależności matematycznych (na podstawie 
fundamentalnych praw lub wielu obserwacji).

Sygnały takie możemy podzielić na 

- okresowe ( f(t)=f(t+T) ),

- nieokresowe.

Wśród sygnałów okresowych bardzo ważną rolę 
odgrywają sygnały harmoniczne, które 
możemy opisać zależnością       

x(t)=A·cos(ω·t+φ

0

) 

gdzie 

A-amplituda sygnału, 
ω=2π·f – pulsacja (f=1/T)
f –częstotliwość, T –okres

Również sygnały okresowe odkształcone 
(poliharmonicze) można korzystając z szeregu 
Fouriera przedstawić jako sumę sygnałów 
harmonicznych

































T

n

T

n

n

n

n

n

n

T

n

n

n

dt

t

n

t

x

T

B

dt

t

n

t

x

T

A

B

A

X

B

A

tg

arc

dt

t

x

T

X

t

n

X

X

t

x

0

1

1

0

1

1

2

2

0

0

1

0

1

0

)

sin(

)

(

2

)

cos(

)

(

2

)

(

1

)

cos(

)

(

















Skok jednostkowy (a), odpowiedź idealna (b) i rzeczywista (c) 
układu na skok jednostkowy

Sygnały  losowe  są  to  takie,  które  opisujemy  za  pomocą  procesu 
stochastycznego  –  każda  funkcja  traktowana  jest  jako  jedna  z  wielu 
możliwych realizacji procesu stochastycznego.

Sygnały losowe dzielimy na

-  sygnały  stacjonarne,  których  charakterystyki  statystyczne  (wartość 
średnia, wartość średnia kwadratowa, funkcja korelacji) nie są funkcjami 
czasu ( nie zależą od wyboru chwili początkowej)

- sygnały niestacjonarne

Sygnały stacjonarne dzielimy na ergodyczne i nieergodyczne.

Ergodycznym jest proces, którego dowolna statystyczna charakterystyka, 
otrzymana  ze  zbioru  realizacji  w  dowolnej  chwili  jest  równa  podobnej 
charakterystyce  otrzymanej  z  jednej  realizacji  procesu  obliczonej  jako 
średnia w dostatecznie długim czasie.

Wszystkie  rzeczywiste  sygnały  są  sygnałami  losowymi,  a  jedynie 
uproszczona analiza pozwala zakładać ich deterministyczny charakter.

Przykładem  sygnałów  losowych  są  zakłócenia,  szumy  (np.  szum 
kwantyzacji).

Sygnał o zmieniającej się 
amplitudzie

Sygnał o zmieniającej się 
częstotliwości

          Fala  prostokątna  i  impuls 
prostokątny

Sposób 

definiowania 

wielkości 

charakteryzujących 

impulsy

-  amplitudę  impulsu  określa  się,  jako  różnicę  między 
wartością  maksymalną  i  minimalną  (bez

 

uwzględniania 

przerostów).
  Oprócz  amplitudy  interesującym  parametrem  jest  czas   
przejścia  od  dolnej  do  górnej  wartości  amplitudy  albo 
odwrotnie, czyli tzw

. 

-  czas  narastania  i  czas  opadania  zboczy  impulsu. 
Punkty  charakterystyczne,  między  którymi  powinny  być 
mierzone owe czasy, określane są na poziomie 10 % i 90 
% wartości amplitudy impulsu. 

- szerokość impulsu zgodnie z przyjętą definicją mierzy 
się na poziomie 50 % wartości amplitudy.

--  zwis  grzbietu  impulsu  jest  stosunkiem  zmiany 
napięcia  wyjściowego  A  w  czasie  trwania  impulsu, 

odniesionej  do  amplitudy  A,  wyrażonym  w  procentach. 
Wartość zwisu jest zależna od ograniczeń charakterystyki 
częstotliwościowej  od  strony  małych  częstotliwości, 
powodowanych 

przez 

stałe 

czasowe 

układów 

sprzęgających.

-  przerosty  –  zafalowania  (oscylacje)  na  grzbiecie 
impulsu, 

określane 

w 

% 

całkowitej 

amplitudy; 

powodowane  są  ograniczonym  pasmem  charakterystyki 
częstotliwościowej w zakresie wysokiej częstotliwości.

amplituda 

impulsu

%

100







A

A

zwis

A

A

czas trwania oscylacji 
pasożytniczych

szerokość 
impulsu

czas

narastania

opadania

przeros
t

100%

90
%

50
%

10%

linia odniesienia

Parametry sygnałów

Wartość maksymalna sygnału I

m

 jest to największa wartość chwilowa jaką 

sygnał osiąga w okresie zmienności.

Wartość średnia wielkości charakteryzującej prąd okresowy jest to wartość tej 
wielkości dla takiego umyślonego prądu stałego, który w czasie jednego okresu 
przenosi taki sam ładunek jak dany prąd okresowy.

Ponieważ dla sygnałów harmonicznych średnia za okres równa jest zero, 
podaje się w tym przypadku wartość średnią obliczoną dla połowy okresu i wynosi 
ona I

śr

=2/π·I

m

Wartość skuteczna natężenia prądu okresowego jest to natężenie takiego 
umyślonego prądu stałego, który, przepływając przez rezystor o nie zmieniającej 
się rezystancji R, wydzieliłby na nim, w czasie jednego okresu T, lub jego 
wielokrotności, taką samą ilość energii cieplnej, jaką, w tym samym czasie, 
wydziela dany prąd okresowy.

Dla przebiegów harmonicznych  I

sk

=I

m

/√2=0,707X

m

Dzieląc wartość maksymalną (amplitudę) przebiegu przez jego wartość skuteczną 
otrzymuje się pewną wartość, której można użyć do obliczania tej wartości 
maksymalnej na podstawie znajomości wartości skutecznej. Wartość ta to 
współczynnik szczytu:





T

śr

dt

t

i

T

I

0

)

(

1





T

sk

dt

t

i

T

I

0

2

)]

(

[

1





























T

T

dt

i

T

R

dt

i

R

T

P

R

i

p

0

2

0

2

2

1

1

Moc czynna, moc pozorna, 
współczynnik mocy

Wartości  chwilowe  mocy,  z  jaką  energia  jest  pobierana  lub 
wydawana  przez  dwójnik,  równe  są  iloczynowi  wartości  chwilowych 
natężenia prądu płynącego w dwójniku i napięcia pola elektrycznego 
wymuszającego ten prąd:   

p=u*i

Przebieg mocy jest więc zmienny w czasie. Jeżeli przebiegi natężenia 
prądu i napięcia są okresowe, to również przebieg mocy jest 
okresowy. Można zatem wyznaczyć jego wartość średnią. Wartość ta 
nosi nazwę mocy czynnej.

Moc czynną można także definiować jako taką, niezmienną w czasie, 
moc,  która  w  ciągu  jednego  okresu  spowoduje  przepływ  energii 
identyczny 
z  wypadkowym  przepływem  energii  rozważanego  przebiegu 
okresowego.
Jednostką mocy czynnej jest wat (1W ).
Iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu danego dwójnika 
elektrycznego nosi nazwę mocy pozornej. Oznacza się ją 
symbolem „ S ”:

S= U*I

Stosunek mocy czynnej danego dwójnika do jego mocy pozornej nosi 
nazwę
współczynnika mocy:

Prąd sinusoidalnie zmienny

Na zaciskach wykonanej z materiału przewodzącego ramki, 
umieszczonej w polu magnetycznym i wirującej z prędkością kątową 
„ω” (rys. a), skutkiem zjawiska indukcji elektromagnetycznej, 
występuje pole elektryczne o przebiegu czasowym napięcia pokazanym 
na rys. b. Przebieg ten opisuje wyrażenie matematyczne:

Pulsację  obliczamy z wzoru

Kąt Ψ

u

 =

u

* nazywany początkowym kątem 

fazowym.

Przebiegi  sinusoidalne  mające  taką  samą  pulsację  (np.  przebiegi 
natężenia 

prądu 

i  wymuszającego  ten  prąd  napięcia)  noszą  nazwę  przebiegów 
synchronicznych.  Dla  przebiegów  synchronicznych  można  wyznaczać 
przesunięcie  fazowe  jednego  przebiegu  względem  drugiego.  Na  ogół 
oznacza  się  je  małą  grecką  literą  „ϕ”.  W  przypadku  przebiegów  z  rys. 
powyżej wynosi ono  ϕ= Ψ

U

 − Ψ

I

 

Mówimy, że napięcie wyprzedza prąd (natężenie) o kąt „ϕ”, albo, że 
prąd opóźnia się o kąt „ϕ” w stosunku do napięcia.

Wartość skuteczna prądu 
sinusoidalnego

Wskaz  wirujący  wartości  maksymalnej  jest  rodzajem  wektora,  który 
odwzorowuje  przebieg  czasowy  wielkości  sinusoidalnie  zmiennej.  Na  rysunku 
pokazano przykładowo wskaz wartości maksymalnej natężenia prądu. Ma on długość 
równą  amplitudzie  odwzorowywanego  przebiegu,  umieszczony  jest  w  początku 
układu  współrzędnych  i  obraca  się  w  kierunku  przeciwnym  do  ruchu  wskazówek 
zegara z prędkością kątową „ω”, równą pulsacji przebiegu.
Rzutując  koniec  takiego  wektora  na  oś  rzędnych  („oś  igreków”),  można  na  niej 
odczytywać  wartości  chwilowe  natężenia  prądu  dla  chwil  „t”,  odpowiadających 
kątom 

„ωt+ 

Ψ

I

”. 

W 

chwili 

„t=0”, a więc w chwili rozpoczęcia pomiaru czasu, wskaz nachylony jest w stosunku 
do  osi  odciętych  („osi  iksów”)  o  kąt  „Ψ

I

  ”.  Na  tzw.  wykresach  wskazowych, 

wykorzystywanych 

jako 

rodzaj 

graficznego 

odwzorowania 

przebiegów 

sinusoidalnych, rysowany jest on właśnie w tym położeniu.

Metoda wskazów

Metoda wskazów odwołuje się do koła trygonometrycznego i do pojęcia

 wskazu 

wirującego.

Metoda symboliczna

Metoda  wykresów  wskazowych  ułatwia  obliczanie  przebiegów  sinusoidalnych. 
Zamiast dodawać funkcje czasu, dodaje się do siebie (geometrycznie) reprezentujące 
je  wskazy.  Najprościej  robi  się  to  dodając  do  siebie  rzuty  wskazów  na  osie  układu 
współrzędnych zwane ich składowymi ortogonalnymi.
Na  dalsze  uproszczenie    tych  obliczeń  pozwala  zastosowanie  liczb  zespolonych. 
Reprezentacją  liczby  zespolonej  Z=  |Z|e 

jα

  na  płaszczyźnie  liczb  zespolonych  jest 

wektor  o  długości  „Z”  i  o  początku  w  początku  układu  współrzędnych  (tworzą  go  oś 
liczb  rzeczywistych  Re  -  realis  i  oś  liczb  urojonych  Im  -  imaginaris),  nachylony 
względem osi liczb rzeczywistych pod kątem równym „α ”. Dodawanie (algebraiczne) 
liczb  zespolonych  to  dodawanie  (geometryczne)  reprezentujących  je  wektorów. 
Wszystko  to  idealnie  pasuje  do  wskazów  odwzorowujących  przebiegi  sinusoidalne. 
Można  je  zatem  utożsamiać  z  wektorami  reprezentującymi  liczby  zespolone  i 
nadawać im wartości zespolone.
Metoda, w której wskazy zapisuje się używając liczb zespolonych nosi nazwę metody 
symbolicznej.  Stosując  metodę  symboliczną  wskazowi  wartości  skutecznej 
odwzorowującemu przebieg  w(t) (gdzie w(t) to przebieg czasowy napięcia, natężenia, 
sem  itd.),  o  długości  W=W

max

/

2  i  o  kącie  nachylenia  względem  osi  odciętych 

(początkowym  kącie  fazowym  przebiegu)  równym  „Ψ”  przyporządkowuje  się  liczbę 
zespoloną We 

jΨ

 o module W i argumencie Ψ (reprezentuje ona wskaz, „symbolizuje” 

go  -  stąd  nazwa  metody).  Nosi  ona  nazwę  wartości  skutecznej  zespolonej.  W 
efekcie  takiego  przyporządkowania,  geometryczne  dodawanie  wskazów  wartości 
skutecznych  zostaje  zastąpione  arytmetycznym  dodawaniem  wartości  skutecznych 
zespolonych.

Liczby zespolone są wyrażeniami 
postaci a+ib

)

(

)

(

)

(

)

(

bc

ad

i

bd

ac

id

c

ib

a















Liczba sprzężona z*

Wzór Eulera

Liczba zespolona w postaci trygonometrycznej i 
wykładniczej

Pierwiast
ki

Twierdzenie De Moivre’a

Odbiornik liniowy, pasywny - impedancja, admitancja, prawo 
Ohma

Odbiornik liniowy, pasywny jest to taki odbiornik, który nie zawiera ani 
elementów o
charakterystykach nieliniowych, ani elementów źródłowych. Jeżeli do 
zacisków takiego odbiornika przyłożyć napięcie sinusoidalne: u(t)=U2 

sin(t+

U 

) to również płynący pod wpływem tego napięcia prąd będzie 

prądem okresowym, sinusoidalnym, o takiej samej pulsacji (a więc 
synchroniczny z napięciem): i(t)=I2 sin(t+

I 

)

gdzie: 

Z=U/I

 to impedancja dwójnika 

[Z]=1Ω

Stosuje się też pojęcie admitancji 

Y=1/Z   

[Y]=1S

Rezystor w obwodzie prądu 
zmiennego

Impedancja, admitancja i kąt przesunięcia fazowego odbiornika złożonego z 
idealnego
rezystora wynoszą:

Moc czynna rezystora jest równa

: 

P

R

=U

R

I=R*I

2

Idealna cewka indukcyjna

Przepływ prądu elektrycznego powoduje powstawanie pola 
magnetycznego. Wartości chwilowe wielkości fizycznych opisujących 
właściwości tego pola (natężenie pola, indukcja magnetyczna, 
strumień magnetyczny) są zależne od wartości chwilowych 
natężenia prądu.
Wielkość fizyczna definiowana jako współczynnik proporcjonalności 
pomiędzy strumieniem sprzężonym wytwarzanym przez prąd 
płynący w układzie przewodników (przykładowo w cewce) i 
natężeniem tego prądu nosi nazwę
indukcyjności (tego układu przewodników):

Zmiana wartości strumienia magnetycznego sprzężonego z cewką powoduje 
indukowanie się w niej siły elektromotorycznej o wartości proporcjonalnej do 
szybkości tej zmiany. Zjawisko to nazywane jest zjawiskiem indukcji 
elektromagnetycznej.
Zgodnie z prawem Faraday’a

 

wielkość siły elektromotorycznej indukującej się w 

przewodniku skutkiem zmian sprzężonego z nim pola magnetycznego określa 
zależność:

Jeżeli prąd płynący w induktorze jest sinusoidalnie zmienny 
i(t)=I2sin(t+

I

 )  to sinusoidalnie zmienne jest również napięcie 

induktora u(t)=U2sin(t+

U

 ) .

Napięcie to daje się wyliczyć jako:

- reaktancja indukcyjna:

- susceptancja indukcyjna:

Prawo Ohma dla idealnego induktora 
analizowanego z zastosowaniem metody 
symbolicznej

Cewka indukcyjna jest elementem zachowawczym - energia magazynowana 
jest w jej polu magnetycznym i może być z powrotem zamieniona na energię 
elektryczną.

Kondensator idealny

Kondensator to taki element obwodu elektrycznego, w którym 
zachodzi 
zjawisko gromadzenia ładunków i powstawania pola elektrycznego.
Równanie opisujące zależność napięcia kondensatora od natężenia
dopływającego do kondensatora prądu:

Gdy napięcie gałęzi z kondensatorem idealnym jest sinusoidalnie 
zmienne u(t)=U2sin(t+

U

 ) to sinusoidalnie zmienny jest również 

prąd i(t)=I2sin(t+

I

 ).

Prąd ten daje się wyliczyć jako:

- reaktancja 
pojemnościowa:

- susceptancja 
pojemnościowa:

Prawo Ohma dla kondensatora

Energia zgromadzona w polu elektrycznym 
kondensatora

Cewka indukcyjna rzeczywista - gałąź szeregowa RL

Cewka rzeczywista reprezentuje sobą oprócz indukcyjności również 
rezystancję związaną z rezystancją uzwojeń.

Napięcie na cewce jest równe sumie spadków napięć na rezystancji i 
indukcyjności

zaś impedancja zespolona wyraża się 
wzorem

gdzi
e

Trójkąt mocy cewki 
rzeczywistej

Gałąź szeregowa 
RLC

W każdej chwili czasowej napięcie gałęzi RLC jest równe sumie 
napięć na elementach, z których się składa jej schemat 
zastępczy:

u(t)=u

R

(t)+u

L

(t)+u

C

(t) a postaci zespolonej

Impedancja gałęzi szeregowej RLC wynosi:

a kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem ma 
wartość:

Połączenie równoległe 
RLC

Istnieje taka częstość ω

r 

przy której: 

Jest to rezonans prądów lub 
równoległy.
Częstość rezonansowa: