Wykład 2

Układy cyfrowe

1

Stosowanie prawa de 
Morgana

Z prawa de Morgana wynika, że binarne 

wyrażenie logiczne nie zmieni wartości, 
jeżeli:

1.

Zanegujemy wszystkie zmienne.

2.

Zmienimy wszystkie operacje AND na OR.

3.

Zmienimy wszystkie operacje OR na AND.

4.

Zanegujemy całe wyrażenie. 

2

Budowa bramek podstawowych 
z samych bramek NAND

3

Budowa bramek podstawowych 
z samych bramek NOR

4

Negacja bramek logicznych

5

Funkcja boolowska

Funkcją boolowską n zmiennych binarnych 

x

1

, x

2

, … ,x

n 

nazywamy dowolne 

odwzorowanie :

 gdzie D = {0, 1} 

0

1

00

01 

10

11

Y= ~x

1

 x

2 

+ x

1

 ~x

2

6

Funkcja zupełna i niezupełna

Jeżeli funkcja boolowska jest określona dla 

każdego elementu dziedziny (wszystkie liczby 
binarne o określonej długości), to nazywamy ją 
funkcją zupełną. 

Jeśli funkcja nie jest określona dla każdego 

elementu dziedziny, to funkcja jest nazywana 
niezupełną lub też nie w pełni określoną.

Funkcje niezupełne pojawiają się często w 

praktyce, kiedy niektóre kombinacje wejściowe 
nie pojawiają się. Jest to wykorzystywane przy 
minimalizacji funkcji.

7

Literały

Możliwe są trzy „wartości” funkcji dla 

dowolnego argumentu:



1  



0   



-      (wartość nieokreślona)

8

Termy



Termem (wyrazem) iloczynowym / 

sumowym nazywamy iloczyn (np.        ) / 
sumę (np. a+c) w którym żadna ze 
zmiennych nie występuje więcej niż raz. 

Przykład:

9

Formy zapisu funkcji 
boolowskiej



Opis słowny



Tablica prawdy



Kanoniczna postać sumy



Kanoniczna postać iloczynu



Tablica Karnaugh

10

Opis słowny

Zazwyczaj występuje w specyfikacji zadania, 

np. "funkcja ma wartość jeden, gdy a jest 
różne od b, lub c jest równe b", lub "dla 
indeksów nieparzystych funkcja jest równa 
zero."

11

Tablica prawdy

XOR

Funkcja większościowa

12

Kanoniczna postać sumy 
(suma iloczynów)

Forma skrócona:

13

Kanoniczna postać iloczynu
(iloczyn sum)

Forma skrócona:

14

Negacja bramek logicznych

15

Budowa z bramek NAND, NOR 
funkcji boolowskich postaci 
kanonicznych

16

Metoda Karnaugh



sposób minimalizacji funkcji boolowskich. 

Został stworzony w 1950 roku przez 
Maurice Karnaugha. 



Ma na celu znalezienie formuły minimalnej 

dla zadanej funkcji boolowskiej o małej 
liczbie zmiennych (do sześciu)



Odbywa się przy pomocy specjalnej tablicy 

zwanej tablicą Karnaugh na drodze 
intuicyjnej.

17

Metoda Karnaugh – 3 
zmienne

Tabela prawdy

18

Metoda Karnaugh – 4 
zmienne



f(x

1

,x

2

,x

3

,x

4

) = Σ[2,3,6,7,8,10,11,15,(0,13)]

19