FIZYKA WOKÓŁ NAS

FIZYKA WOKÓŁ NAS

PIOTR BEDNARCZYK

PIOTR BEDNARCZYK

KATEDRA FIZYKI, ZAKŁAD BIOFIZYKI SGGW

KATEDRA FIZYKI, ZAKŁAD BIOFIZYKI SGGW

ul. Nowoursynowska 159, paw. 34, p. 76

ul. Nowoursynowska 159, paw. 34, p. 76

02-776 Warszawa

02-776 Warszawa

bednar@delta.sggw.waw.pl

bednar@delta.sggw.waw.pl

tel.: +48 22 5938622(17), +48 22 5892343

tel.: +48 22 5938622(17), +48 22 5892343

 

 

PRZYKŁAD 1

PRZYKŁAD 1

Znaleźć drogę, jaką przebędą w czasie t od początku ruchu, ciała o 

masach M, m

1

, m

2

 przedstawione na rys. 1, jeżeli współczynnik tarcia 

mas m

1

, m

2

 o płaszczyznę, na której leżą, wynosi f oraz wiadomo, że 

nic ślizga się po bloku bez tarcia. Obliczyć również siły napinające nić. 

Rys. 1. Schemat układu 
ciał. 

 

 

Rozwiązan
ie 

Dane: M, m

1

, m

2

, f, 

t
Szukane: S, N

1

, N

2

 

Rys. 2. Schemat układu z zaznaczonymi działającymi 
siłami. 

 

 

Napiszmy  równania  ruchu  dla  mas  M,  m

1

,  m

2

,  biorąc  pod 

uwagę siły działające na te ciała w kierunku ich ruchu:

Ma

N

Mg





1

a

m

T

N

N

1

2

1







a

m

T

N

2

2

2





(1)

(2)

(3)

gdzie T

1

 i T

2

 są siłami tarcia mas m

1

 i m

2

 o 

podłoże: 

g

fm

T

1

1



g

fm

T

2

2



(4)

(5)

oraz N

1 

 i N

2

 są siłami napięcia nici. 

 

 

Dodając stronami równania (1), (2) i (3) 
otrzymujemy: 

)

(

2

1

2

1

m

m

M

a

T

T

mg











Uwzględniając zależności (4) i (5), otrzymujemy po 
przekształceniach: 

g

m

m

M

m

m

f

M

a

2

1

2

1























Jak widać z otrzymanej zależności, przyspieszenie a jest 
stałe, ruch ciał jest więc jednostajnie przyspieszony. 
Poszukiwana droga S wyrazi się zatem zależnością 
następującą: 















































2

1

2

2

1

2

2

2

m

m

M

gt

m

m

f

M

S

at

S

(6)

 

 

N

1

 obliczymy uwzględniając wyznaczone przyspieszenie (6) 

z równania (1). Otrzymujemy więc: 

2

1

2

1

1

m

m

M

m

m

f

M

Mg

N

Mg

























Rozwiązując powyższe równanie względem N

1

, 

mamy: 

2

1

2

1

1

1

m

m

M

g

f

m

m

M

N



































N

2

 obliczamy wstawiając obliczone przyspieszenie do 

równania (3): 

2

1

2

1

2

2

2

m

m

M

f

m

m

M

g

m

g

fm

N

























 

 

Stąd ostatecznie 
mamy: 

2

1

2

2

1

m

m

M

g

f

Mm

N





















wyrażenie na naprężenie nici N

2

. 

 

 

 

Na górnym brzegu równi pochyłej nachylonej pod kątem  

przymocowany jest blok, przez który przerzucono nić (nić 
może się ślizgać bez tarcia po bloku). Na jednym końcu nici 
przymocowane jest ciało o masie m leżące na równi, na 
drugim wisi ciało o masie M, przy czym M > m (patrz rys. 3). 
Współczynnik tarcia ciała o równię wynosi f. Z jakim 
przyśpieszeniem poruszają się te ciała? Jakie jest napięcie 
nici? 

PRZYKŁAD 2

PRZYKŁAD 2

Rys. 3. Schemat układu. 

 

 

Rozwiązani
e 

Dane: , M, m, f, g

Szukane: a, N 

Rys. 4. Schemat układu z zaznaczonymi działającymi 
siłami. 

 

 

I sposób 
Na ciało o masie M działa siła ciężkości równa Mg oraz 
napięcie nici N. Biorąc pod uwagę zwroty działających sił 
możemy zapisać równanie ruchu ciała o masie M: 

Mg – N = 
Ma 

Siłę  ciężkości  mg  działającą  na  ciało  o  masie  m  możemy 
rozłożyć na dwie składowe:
x)  składową  równoległą  do  równi  F

s

  =  mgsin  spychającą 

ciało z równi,
y)  składową  prostopadłą  do  równi  F

n

  =  mgcos, 

warunkującą  powstanie  siły  tarcia  T  =  fF

n

  =  fmgcos.  Siła 

tarcia ma zwrot przeciwny do ruchu ciała.
Poza  tym  na  ciało  o  masie  m  działa  siła  napięcia  nici  N’. 
Zakładając, że nić jest lekka i ślizga się bez tarcia po bloku, 
mamy N = N’.
Równanie ruchu ciała o masie m można więc zapisać 
następująco: 

N - mgsin - fmgcos = 

ma 

(1)

(2)

 

 

Dodając stronami równania (1) i (2), 
otrzymujemy: 

Mg - mgsin - fmgcos = a(m 

+M) 

Rozwiązując powyższe równanie względem a, otrzymujemy 
szukane przyśpieszenie: 

m

M

g

f

m

M

a

































cos

sin

(3)

Wartość siły N obliczymy wstawiając wyznaczone 
przyśpieszenie do równania (1). Otrzymamy wtedy: 

m

M

f

m

M

N

Mg



























cos

sin

 

 

Po przekształceniu otrzymujemy ostatecznie poszukiwane 
napięcie nici: 

M

m

f

Mmg

N

























cos

sin

1

 

 

II sposób 

Przyśpieszenie a obliczyć również można korzystając z 
zasady zachowania energii (patrz rys. 5). 

Rys. 5. Schemat układu – rozwiązanie z zastosowaniem 
zasady zachowania energii. 

 

 

Jeżeli założymy, że w chwili początkowej układ o masach m, 
M był nieruchomy, to po upływie czasu t od początku ruchu 
ciała te przemieszczą się o odcinek h, przy czym: 

2

2

at

h

uzyskując przy tym prędkość: 

at

V 

(4)

(5)

Ciało  o  masie  M  przesuwając  się  w  dół  o  odcinek  h 
zmniejszy zasób energii potencjalnej o wartość           . Na 
koszt tej energii:
1) ciało o masie m zwiększy swoją energię potencjalną o 
wartość: 

Mgh



sin

1

mgh

mgh

 

 

2) ciała o masach M i m uzyskują energie kinetyczne 
odpowiednio: 

2

2

MV

2

2

mV

oraz 

3) jako skutek występowania siły tarcia pojawi się energia 
cieplna E

C

 równa pracy, jaka zostanie wykonana przeciw sile 

tarcia przy przesuwaniu ciała o masie m wzdłuż równi o 
odcinek h: 

h

fmg

h

T

c

E













cos

Uwzględniając powyższe równanie, możemy 
zapisać:

h

fmg

mV

MV

mgh

Mgh















cos

2

2

sin

2

2

 

 

Jeżeli teraz uwzględnimy zależności (4) i (5), to otrzymamy:

2

cos

2

2

2

sin

2

2

2

2

2

2

2

2

at

fmg

t

ma

t

Ma

at

mgh

at

Mg

















Po trywialnych przekształceniach otrzymujemy 
ostatecznie: 

m

M

g

m

M

a

































cos

sin