Wiesław WSZOŁEK
Wiesław WSZOŁEK
Akademia Górniczo-
Akademia Górniczo-
Hutnicza
Hutnicza
Podstawy
Podstawy
Automatyki
Automatyki
Wykład 5
Wykład 5
Charakterystyki
częstotliwościowe
Wykład 5
Wykład 5
Charakterystyki
częstotliwościowe
Wiesław WSZOŁEK
Wiesław WSZOŁEK
Akademia Górniczo-
Akademia Górniczo-
Hutnicza
Hutnicza
Podstawy
Podstawy
Automatyki
Automatyki
Wykład 5
Wykład 5
Charakterystyki
częstotliwościowe
Wykład 5
Wykład 5
Charakterystyki
częstotliwościowe
2
Sygnał harmoniczny
podawany na wejście
elementu liniowego jest istotny ze względu na:
dość częste występowanie w wielu układach,
możliwość
rozkładu
innych
sygnałów
o
charakterze okresowym na szereg Fouriera
złożony z funkcji harmonicznych.
Ogólny symbol graficzny elementu
liniowego
Charakterystyki
częstotliwościowe
Element
liniowy
y(t)
x(t)
3
Sygnał harmoniczny w postaci zespolonej
można zapisać jako:
t
j
e
A
t
j
t
A
t
x
1
1
sin
cos
)
(
gdzie:
A
1
- pulsacja sygnału (T - okres
drgań)
T
2
Przy takim sygnale wejściowym, odpowiedź y(t)
elementu ma również charakter harmoniczny.
t
j
e
A
t
j
t
A
t
y
2
2
sin
cos
)
(
- amplituda
sygnału
4
Podstawiając wyżej wymienione
równania
do
równania
różniczkowego
)
(
)
(
)
(
)
(
...
)
(
)
(
0
1
1
1
0
1
1
1
t
x
b
dt
t
x
d
b
dt
t
x
d
b
t
y
a
dt
t
y
d
a
dt
t
y
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
można wyznaczyć
stosunek amplitud
sygnałów
wyjściowego i wejściowego
1
2
)
(
A
A
M
t
j
t
j
n
n
t
j
n
n
e
A
a
e
A
j
a
e
A
j
a
2
0
2
1
1
2
t
j
t
j
m
m
t
j
m
m
e
A
b
e
A
j
b
e
A
j
b
1
0
1
1
1
1
oraz
przesunięcie fazowe
(
) między tymi
sygnałami
5
)
(
1
2
0
1
1
0
1
1
j
G
e
A
A
a
j
a
j
a
b
j
b
j
b
j
n
n
n
n
m
m
m
m
Wielkość G(j
) nazywana jest
transmitancją
widmową
.
Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z
przekształceniem Fouriera, które przyporządkowuje
funkcjom czasu f(t), funkcje pulsacji G(j
) wg
zależności:
dt
e
t
f
j
G
t
j
)
(
)
(
zwaną
całką Fouriera
.
Przekształcając
6
Transmitancję widmową wyznaczyć można
także
na
podstawie
transmitancji
operatorowej stosując podstawienie
j
s
s
G
j
G
)
(
)
(
Z zależności wynika, że transmitancja widmowa jest
wektorem, którego
moduł M(
)
dla każdej pulsacji
,
jest
stosunkiem
amplitudy
sygnału
wyjściowego
do
amplitudy
sygnału
wejściowego
,
1
2
)
(
)
(
A
A
M
j
G
j
G
arg
a
argumentem
(
)
przesunięcie fazowe
sygnału
wyjściowego
względem
sygnału
wejściowego
.
7
Przykładowy przebieg charakterystyki amplitudowo-
fazowej
Charakterystyka amplitudowo-
fazowa
P()
Q()
=
=0
P(
1
)
Q(
1
)
M(
1
)
(
1
)
1
8
Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów
rzeczywistych, dla których stopień wielomianu
licznika transmitancji jest
niższy
od stopnia
wielomianu mianownika,
dążą do początku
układu współrzędnych
gdy
,
0
)
( j
G
Korzystając z równania
j
e
M
j
G
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
jQ
P
j
G
sin
cos
j
e
j
transmitancję
widmową
można
zapisać
w
następującej postaci
9
gdzie
cos
)
(
)
(
Re
)
(
M
j
G
P
sin
)
(
)
(
Im
)
(
M
j
G
Q
Ponadto na podstawie charakterystyki amplitudowo-
fazowej można napisać
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
Q
P
j
G
M
)
(
)
(
tg
)
(
arg
P
Q
arc
j
G
oraz
10
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
M
j
G
L
Charakterystyki
logarytmiczne
logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
przedstawia
wykres
zależności
między
logarytmem
dziesiętnym modułu transmitancji widmowej
M(
) i logarytmem dziesiętnym pulsacji
.
Logarytm z modułu transmitancji widmowej M(
)
podaje się w dB.
logarytmiczna
charakterystyka
fazowa
przedstawia
natomiast
wykres
zależności
argumentu
(
) od logarytmu dziesiętnego
pulsacji
.
11
Załóżmy,
że
2
1
)
(
)
(
oraz
)
(
)
(
2
2
1
1
j
j
e
M
j
G
e
M
j
G
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
j
e
M
M
j
G
j
G
j
G
)
(
)
(
)
(
2
1
M
M
M
2
1
duże
znaczenie
praktyczne
charakterystyk
logarytmicznych
wynika
z
łatwości
określania charakterystyki wypadkowej
układu
, złożonego ze znanych elementów
liniowych
połączonych
szeregowo
.
Wypadkowa transmitancja widmowa G(j
)
takiego
układu
jest
równa
iloczynowi
transmitancji elementów składowych.
wtedy
stąd
12
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
)
(
log
20
2
1
2
1
M
M
M
M
L
)
(
log
20
oraz
)
(
log
20
2
2
1
1
M
L
M
L
)
(
)
(
)
(
2
1
L
L
L
2
1
Na podstawie równania
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
M
j
G
L
przyjmujemy
oznaczając
równania charakterystyk logarytmicznych układu
można zapisać jako
13
L()
20
15
10
5
0
10
-1
10
0
10
1
()
0
-45
-90
10
-1
10
0
10
1
Przykładowe przebiegi charakterystyk
logarytmicznych
dokładna
-20 dB/dek
przybliżona
s
3 dB
s
1/5
s
5
s
przybliżona
dokładna
11
14
Przykład 1
Sporządzić
charakterystyki
częstotliwościowe
(amplitudowo-fazową, logarytmiczne: amplitudową i
fazową)
układu
automatyki,
którego
schemat
przedstawiono na poniższym rysunku:
gdzie:
d, x - wymiary okienka,
v
-
prędkość
przepływu oleju w
okienku,
A
-
powierzchnia
tłoka siłownika,
P
z
-
ciśnienie
zasilania
(p
z
= const),
P
s
-
ciśnienie
spływu
(p
s
= const).
u
–
przesunięcie
dźwigni (wejście)
y
–
przesunięcie
tłoczyska
siłownika
(wyjście)
15
Wykorzystując zasadę superpozycji działanie dźwigni
można przedstawić jako złożenie przesunięć
składowych, pokazanych na rysunkach poniżej
A a B b C
u
x
1
Dla małych kątów wychyleń dźwigni:
b
a
u
b
x
1
u
b
a
b
x
1
stąd
Dźwignia dwustronna
gdzie:
x
1
- przesunięcie dźwigni przy obrocie wokół
punktu C
a)
16
2
1
x
x
x
stąd
b
a
y
a
x
2
y
b
a
a
x
2
A a B b C
y
x
2
gdzie:
x
2
- przesunięcie dźwigni przy obrocie wokół
punktu A
Wypadkowe przesunięcie
punktu B dźwigni
można zapisać jako:
Podstawiając równania na x
1
i x
2
do powyższego
równania otrzymamy:
y
b
a
a
u
b
a
b
x
b)
17
Zmiana objętości oleju pod tłokiem siłownika
wynosi
Q
dt
dy
A
Objętościowe natężenie przepływu Q oleju przez
suwak
x
d
Q
gdzie: d·x - powierzchnia przepływu oleju
v - prędkość przepływu.
Porównując
powyższe
wzory
i
oznaczając
v
d
A
T
1
otrzymamy
x
dt
dy
T
1
Siłownik hydrauliczny
18
Wyznaczenie
transmitancji
operatorowej
układu
Stosując przekształcenie Laplace’a do równań
opisujących
działanie
dźwigni
i
siłownika
otrzymamy
)
(
)
(
)
(
s
Y
b
a
a
s
U
b
a
b
s
X
)
(
)
(
1
s
X
s
sY
T
Po podstawieniu otrzymamy
)
(
)
(
1
s
U
b
a
b
s
Y
b
a
a
s
T
i
1
)
(
)
(
)
(
1
1
s
a
b
a
T
a
b
b
a
a
s
T
b
a
b
s
U
s
Y
s
G
stąd
gdzie:
a
b
K
a
b
a
T
T
1
1
Ts
K
19
jT
K
)
j
(
G
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
)
1
(
1
1
1
)
(
T
KT
j
T
K
T
jT
K
jT
jT
jT
K
j
G
Wyznaczenie
transmitancji
widmowej
układu
Podstawiając do równania na transmitancję
operatorową s=j
otrzymamy
2
2
1
)
(
Re
T
K
P
j
G
2
2
1
)
(
Im
T
KT
Q
j
G
gdzie:
Część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej
można obliczyć mnożąc licznik i mianownik
powyższej zależności przez
liczbę
sprzężoną z
mianownikiem
:
20
0
2
2
KP
P
Q
Wyznaczenie charakterystyki amplitudowo-
fazowej
Z
równań
2
2
1
T
K
P
2
2
1
T
KT
Q
wynika równanie charakterystyki amplitudowo-
fazowej
Po uzupełnieniu znoszącymi się wyrażeniami
otrzymamy
0
4
4
2
2
2
2
K
K
KP
P
Q
4
2
2
2
2
K
K
P
Q
i
21
Wartości P(
) i Q(
) można również wyznaczyć ze
wzorów
T
1
2
K
2
K
2
2
1
T
K
P
2
2
1
T
KT
Q
i
dla różnych wartości
z przedziału (0, +
) i
zestawić dane w
tabeli.
K
0
0
0
0
)
(
P
)
(
Q
Jest to
równanie okręgu
o promieniu K/2, o
środku leżącym w punkcie [K/2, j0]. Ze wzoru
wynika, że część urojona transmitancji widmowej
jest ujemna dla
> 0.
22
Q()
P()
0 =
=0
2
K
T
1
Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu
2
K
23
Wykorzystując
wykładniczy
zapis liczb zespolonych i
równanie
j
T
jarc
T
arc
j
j
e
M
e
T
K
e
T
Ke
jT
K
j
G
)
(
1
1
1
)
(
tg
2
2
tg
2
2
0
2
2
1
T
K
)
(
M
Wyznaczenie logarytmicznej charakterystyki
amplitudowej
j
e
M
j
G
)
(
)
(
transmitancję widmową omawianego układu można
zapisać jako
Równanie charakterystyki amplitudowej można więc zapisać w
postaci
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
Q
P
j
G
M
Równanie to można także wyznaczyć ze wzoru
24
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
T
T
K
T
K
Q
P
j
G
M
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
1
(
)
1
(
)
(
T
K
T
T
K
M
Chcąc wyrazić moduł M(
) w decybelach, korzystamy z
równania
2
2
1
log
20
)
(
log
20
)
(
T
K
M
L
2
2
1
log
20
log
20
)
(
T
K
L
)
(
log
20
)
(
log
20
)
(
M
j
G
L
Otrzymujemy
25
Częstotliwość graniczna nazywana jest
częstotli-wością sprzęgającą.
Ponieważ
wykreślenie
charakterystyki
według
powyższego wzoru jest pracochłonne, można użyć
charakterystyk
asymptotycznych
,
które
są
przybliżeniem
charakterystyk
rzeczywistych.
Powstają w ten sposób charakterystyki logarytmiczne
aproksymowane
odcinkami linii prostych.
T
1
T
s
1
Cały zakres częstotliwości dzielimy na dwie
części:
Dla T
2
2
>> 1
czyli
T
1
Dla T
2
2
<< 1
czyli
26
Dla
pierwszego
zakresu częstotliwości, można w
równaniu
Dla
drugiego
zakresu częstotliwości, można w
równaniu
pominąć jego drugi składnik, stąd
2
2
1
log
20
log
20
)
(
T
K
L
pominąć jedynkę pod pierwiastkiem, stąd
2
2
1
log
20
log
20
)
(
T
K
L
K
L
T
log
20
)
(
1
dla
T
K
L
T
log
20
)
(
1
dla
27
Ponieważ
oś
odciętych
logarytmicznej
charakterystyki
amplitudowej ma podziałkę logarytmiczną, równaniom
T
s
1
K
T
KT
L
s
log
20
log
20
)
(
20
log
20
10
log
20
log
20
10
log
20
)
10
(
K
K
T
KT
L
s
odpowiadają na wykresie
odcinki linii prostej
. Wstawiając do
drugiego równania dwie dowolne wartości
, wyznaczamy
nachylenie tego odcinka charakterystyki względem osi
odciętych.
K
L
T
log
20
)
(
1
T
K
T
K
L
T
log
20
log
20
log
20
)
(
1
Przykładowo dla
mamy
20
)
(
)
10
(
s
s
L
L
[dB/dek]
28
Prosta o równaniu
T
K
T
K
T
K
1
0
log
20
przecina więc oś odciętych przy pulsacji i
obniża się o 20 dB/dek (występuje dziesięciokrotny
wzrost pulsacji).
T
K
przecina oś odciętych przy pulsacji
dla której
L()=0, czyli
T
K
T
K
L
log
20
log
20
log
20
)
(
Charakterystyka określona równaniem
T
K
T
K
L
log
20
log
20
log
20
)
(
29
T
arctg
)
(
T
arc
T
K
T
KT
arc
P
Q
arc
tg
1
1
tg
)
(
)
(
tg
)
(
2
2
2
2
Wyznaczenie logarytmicznej
charakterystyki fazowej
Na podstawie równań
można napisać, że
j
e
M
j
G
)
(
)
(
j
T
jarc
T
arc
j
j
e
M
e
T
K
e
T
Ke
jT
K
j
G
)
(
1
1
1
)
(
tg
2
2
tg
2
2
0
Równanie to można także wyznaczyć ze
wzoru
30
Dla różnych wartości
z przedziału (0, +
) można
wyznaczyć wartość
(
) na podstawie wzoru
T
1
4
2
i zestawić dane w
tabeli
T
arctg
)
(
0
0
31
L()
20
15
10
5
0
10
-1
10
0
10
1
()
0
-45
-90
10
-1
10
0
10
1
Charakterystyki logarytmiczne układu
s
s
1/5
s
5
s
32
s
T
s
T
s
G
2
1
1
)
(
j
j
j
G
1
2
)
(
Przykład 2
Wyznaczyć
charakterystyki
częstotliwościowe
(amplitudowo-fazową, logarytmiczne: amplitudową i
fazową) elementu o transmitancji:
gdzie T
1
= 2[s], T
2
= 1[s]
Wyznaczenie transmitancji widmowej
podstawiamy s=j
do równania na transmitancję
operatorową
obliczamy część rzeczywistą i urojoną transmitancji
widmowej
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
2
)
(
j
j
j
j
j
j
j
G
33
2
2
1
2
)
(
P
2
1
2
)
(
Q
Wyznaczenie
charakterystyki
amplitudowo-
fazowej
Wyznaczamy wartości P(
) i Q(
) z powyższych
równań dla różnych wartości
z przedziału (0, +
) i
zestawiamy dane w tabeli.
)
(
P
)
(
Q
0
0
0
1
1
1
2
0
34
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
=
=
0
1
Q()
P()
0
2
1
=1
35
Transmitancję widmową G(j
) można zapisać
jako:
)
tg
90
(
2
tg
2
90
1
2
1
2
1
2
)
(
arc
j
arc
j
j
e
e
e
j
j
j
G
stąd równanie charakterystyki amplitudowej
2
1
2
)
(
M
Wyznaczenie logarytmicznej
charakterystyki amplitudowej
lub wyznaczone z
równania:
)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
Q
P
j
G
M
2
2
2
2
2
4
2
2
)
1
(
4
)
1
(
4
)
(
)
(
)
(
Q
P
M
2
2
2
2
2
1
2
)
1
(
)
1
(
4
)
(
M
36
Chcąc wyrazić M(
) w decybelach korzystamy z
poniższego wzoru
2
2
1
log
20
2
log
20
1
2
log
20
)
(
L
T
1
Aby wyznaczyć charakterystyki asymptotyczne cały
zakres częstotliwości dzielimy na dwie części:
dla
2
>> 1
czyli
T
1
Dla pierwszego zakresu częstotliwości, można w
równaniu
pominąć jego drugi składnik, stąd
2
1
log
20
2
log
20
)
(
L
2
log
20
)
(
,
1
L
dl
a
dla
2
<< 1
czyli
37
dB
L
6
2
log
20
)
(
Prosta o równaniu
2
1
1
2
0
2
log
20
Dla drugiego zakresu częstotliwości, można w
równaniu
2
1
log
20
2
log
20
)
(
L
pominąć jedynkę pod pierwiastkiem, stąd
przecina oś odciętych przy pulsacji
, dla której
L(
)=0, czyli
2
log
20
)
(
L
2
log
20
log
20
2
log
20
)
(
,
1
L
dl
a
38
Na podstawie
równania
tg
90 arc
Równanie to można także wyznaczyć ze
wzoru
tg
90
1
tg
1
2
1
2
tg
)
(
)
(
tg
)
(
2
2
2
arc
arc
arc
P
Q
arc
Wyznaczenie
logarytmicznej
charakterystyki fazowej
)
tg
90
(
2
tg
2
90
1
2
1
2
1
2
)
(
arc
j
arc
j
j
e
e
e
j
j
j
G
można napisać
39
2
4
0
1
0
Dla różnych wartości
z przedziału (0, +
) można
wyznaczyć wartość
(
) na podstawie wzoru
i zestawić dane w tabeli
T
arctg
)
(
40
Przybliżoną logarytmiczną charakterystykę
fazową
można
wyznaczyć
stosując
aproksymację trzyodcinkową
.
Na podstawie częstotliwości sprzęgającej
s
wyznaczamy dwie częstotliwości pomocnicze
1
=1/5
s
= 0.2[1/s] i
2
=5
s
= 5[1/s] i
rysujemy trzy odcinki aproksymujące.
41
L()
10
5
0
-
5
-10
10
-1
10
0
10
1
-15
()
0
45
90
10
-1
10
0
10
1
s
1/5
s
5
s
Charakterystyki logarytmiczne układu
s
42
Generowanie
charakterystyk
częstotliwościowych
w programie MATLAB
Dana
jest
transmitancja
układu
oscylacyjnego
1
)
(
2
2
1
s
T
s
T
K
s
G
którą przedstawiamy w przestrzeni roboczej
MATLAB-a w następujący sposób
- licznik transmitancji
- mianownik transmitancji
Generowanie charakterystyki amplitudowo-fazowej
nyquist(l,
m)
Generowanie charakterystyk logarytmicznych:
amplitudowej i fazowej
l=[K
]
m=[T
1
T
2
1]
bode(l,m)