Metody Monte Carlo

Najszerzej: są to metody oparte na wykorzystaniu 
liczb losowych do rozwiązania określonego problemu 
obliczeniowego.

Początki: prawdopodobnie starożytność

Pierwsze udokumentowane użycie: G. Comte de 
Buffon (1777) obliczenia całki przez rzucanie igły 
na poziomą płaszczyznę
pokrytą równoległymi liniami prostymi.

Pierwsze zastosowanie na wielką skalę: J. von 
Neumann, S. Ulam, N. Metropolis, R.P. Feynman i 
in. (lata 1940-te; projekt Manhattan) obliczenia 
rozpraszania i absorpcji neutronów. Nazwa 
,,Monte Carlo” została wymyślona jako kryptonim 
dla tego typu rachunków i odpowiednich metod 
matematycznych.

Zgrubny podział metod Monte Carlo

Metoda von Neumanna

Metoda Metropolisa (łańcuchy Markowa)

Przykład zastosowania 
podejścia von Neumanna do 
obliczania liczby 

1

 















1

2

1

4

2

lim

tot

N

N

n

S

S





Metoda Metropolisa (łańcuchy Markowa)

1. Bierzemy startową konfigurację układu daną współrzędnymi 

(x

1

0

,y

1

0

,z

1

0

,…,x

n

0

,y

n

0

,z

n

0

); tej konfiguracji odpowiada energia E

0

.

2. Zaburzamy losowo wybraną współrzędną, np. x

i

0

 or x

i

 (mała 

wartość).

3. Obliczamy energię nowej konfiguracji i oznaczamy ją jako E

1

.

4. Jeżeli E

1

<E

0

 to nową konfigurację akceptujemy traktując jako 

nową konfigurację startową i przechodzimy do punktu 1; w 
przeciwnym przypadku przechodzimy do punktu 5.

5. Wykonujemy test Metropolisa:

a) Generujemy liczbę losową y z przedziału (0,1).

b) Jeżeli exp[-(E

1

-E

0

)/kT]>y, (k jest stałą Boltzmanna) 

akceptujemy nową konfigurację, w przeciwnym przypadku 
przechodzimy do punktu 2 ze starą konfiguracją.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa:

•Zdarzenie elementarne jest to możliwy wynik 
doświadczenia losowego, zwykle przypisane jest jemu 
pewne prawdopodobieństwo wystąpienia.

•Prawdopodobieństwo jest to funkcja P(X), która 
przyporządkowuje każdemu elementowi zbioru 
zdarzeń losowych pewną nieujemną wartość 
rzeczywistą.

Definicje prawdopodobieństwa:

n

A

k

A

P

n

n

)

(

lim

)

(







Definicja klasyczna (Laplace'a) w roku 1812. 

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A 
nazywamy iloraz liczby zdarzeń sprzyjających 
zdarzeniu A do liczby wszystkich możliwych 
przypadków, zakładając, że wszystkie przypadki 
wzajemnie się wykluczają i są jednakowo możliwe.

Definicja częstościowa: 

gdzie k

n

(A) to liczba rezultatów 

sprzyjających zdarzeniu A po n 
próbach.

Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A możemy 
zapisać w postaci: 

  

gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś |Ω| 
liczbę elementów zbioru Ω.

Przykład: Rzucamy sześcienną kostką. Jakie jest 
prawdopodobieństwo, że liczba oczek będzie większa 
od 5?

 Zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 
zatem liczba możliwych zdarzeń |Ω| = 6. Zbiór zdarzeń 
sprzyjających A = {6}, liczba zdarzeń sprzyjających |A| 
= 1. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia wynosi:

  

Definicje prawdopodobieństwa:

Prawdopodobieństwo geometryczne 
Definicja klasyczna nie pozwala obliczać prawdopodobieństwa w 
przypadku, gdy zbiory A i Ω są nieskończone, jeśli jednak zbiory 
te mają interpretację geometryczną, zamiast liczebności zbiorów 
można użyć miary geometrycznej (długość, pole powierzchni, 
objętość).
Przykład: z przedziału [0,4] wybieramy losowo punkt. Jakie jest 
prawdopodobieństwo, że wybrany punkt będzie należał do 
przedziału [1,2]?
 

Odpowiedź: Długości przedziałów wynoszą odpowiednio: |[0,4]| = 
4 i |[1,2]| = 1. Zatem prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia 
wynosi:

      

Prawdopodobieństwo ma następujące własności:
P(Ω) = 1, gdzie Ω jest przestrzenią (zbiorem) zdarzeń 
elementarnych
prawdopodobieństwo sumy przeliczalnego zbioru 
zdarzeń parami rozłącznych jest równe sumie 
prawdopodobieństw tych zdarzeń:
P(A

1

 



 ... 

 

 A

n

 



 ... ) = P(A

1

) + ... + P(A

n

) + ... Wartość 

P(X) nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia X.
Ważniejsze własności prawdopodobieństwa:
P(A) ≥ 0
P(Ø) = 0 (UWAGA: z  P(A)=0 nie wynika, że A=Ø)
A  B  P(A) ≤ P(B)

P(A) ≤ 1
A 



 B 



 P(B|A) = 1

P(A) + P(A') = 1, gdzie A′ oznacza zdarzenie losowe 
przeciwne do A
P(A 



 B) = P(A) + P(B) - P(A 



 B).

Przydatne pojęcia  kombinatoryczne stosowane 
przy ustalaniu liczby zdarzeń: 

Permutacja jest uporządkowaniem elementów 
danego zbioru – ustawieniem ich w pewnej kolejności. 

Permutacja bez powtórzeń:

Permutacja z powtórzeniami:

Niech A oznacza zbiór złożony z k różnych elementów 
A = {a

1

,a

2

,...,a

k

}. Permutacją n elementową z 

powtórzeniami, w której elementy a

1

,a

2

,...,a

k

 

powtarzają się odpowiednio n

1

,n

2

,...,n

k

 razy, n

1

 + n

2

 

+ ... + n

k

 = n, jest każdy n-wyrazowy ciąg, w którym 

elementy a

1

,a

2

,...,a

k

 powtarzają się podaną liczbę razy.

Liczba takich permutacji z powtórzeniami wynosi:

!

n

P

n



Kombinacją k-elementową zbioru n-
elementowego A nazywa się każdy k-elementowy 
podzbiór zbioru A (0≤k≤n).

Kombinacją k-elementową zbioru n-
elementowego A nazywa się każdy k-elementowy 
podzbiór zbioru A (0≤k≤n) z możliwością 
wystąpienia powtórzeń elementów.





)!

1

(

!

!

1









n

k

k

n

Wariacją bez powtórzeń k-wyrazową zbioru n-
elementowego A (k≤n) nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg k 
różnych elementów tego zbioru, przy czym kolejność tych 
elementów ma znaczenie:

Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową zbioru n-
elementowego A nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg 
elementów tego zbioru (dowolny element może 
wystąpić wielokrotnie w ciągu).

k

k

n

n

W 

Rozkład zmiennej losowej X (o wartościach 
rzeczywistych)  jest to prawdopodobieństwo P

X

 

określone na zbiorze podzbiorów zbioru liczb 
rzeczywistych R wzorem:

Funkcja gęstości rozkładu
Jeżeli istnieje funkcja f taka, że 

to zmienną X nazywamy zmienną typu ciągłego. Mamy wtedy:

Funkcję  f nazywamy funkcją gęstości rozkładu zmiennej X. 
Funkcję P nazywamy dystrybuantą rozkładu losowego

Rozkład dwumianowy: 
wielokrotna realizacja doświadczenia, w wyniku którego otrzymać 
można tylko jedno z dwu wykluczających się zdarzeń –zdarzenie A 
(z prawdopodobieństwem p) lub nie-A (z prawdopodobieństwem 
1-p). Jako przykład można podać wielokrotnie powtarzany rzut 
monetą (zdarzenie A- wyrzucenie np. reszki, p=0.5). Jeżeli wyniki 
kolejnych doświadczeń oznaczymy przez x

i

 (0 lub 1 w rzucaniu 

monetą), to łączny rezultat n doświadczeń charakteryzuje 
zmienna losowa X zdefiniowana wzorem

Niektóre rozkłady zmiennych 
losowych







n

i

i

x

X

1

Rozkład dwumianowy – rozkład zależności prawdopodobieństwa 
P(X=k) od wartości k w n doświadczeniach

k

n

k

p

p

k

n

k

X

P





















)

1

(

)

(

Rozkład normalny: 
Mamy do czynienia z rozkładem normalnym wtedy, gdy pomiar 
pewnej wielkości, mającej wartość  zakłócany jest bardzo dużą 

liczbą niezależnych czynników, z których każdy z 
prawdopodobieństwem ½ powoduje odchylenie o niewielką 
wartość .

Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego 
niestandaryzowanego:























2

2

2

exp

2

1

)

(









x

x

f

Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego 
standaryzowanego











 



2

2

1

exp

2

1

)

(

u

u

f



Rozkład normalny: 
Dystrybuanta 



(u) rozkładu niestandaryzowanego

70

80

90

100

110

120

0

100

200

300

400

500

600

     Teoria
klasa    liczność
70-75        1.1
75-80        8.6
80-85       43.0
85-90      143.9
90-95      321.9
95-100    481.4

lic

zn

oś

ć 

kl

as

y

x

Przykład wynik symulacji losowania zmiennej o rozkładzie normalnym:

Rozkład Poissona: szczególny przypadek rozkładu 
dwumianowego zachodzący wtedy, gdy prawdopodobieństwo p 
sukcesu jest bardzo małe, a liczba realizacji n na tyle duża, że 
iloczyn np= jest wielkością stałą, dodatnią i niezbyt dużą. 

























 





























e

k

n

n

k

n

k

X

P

k

k

n

k

!

1

)

(

Zastosowanie rozkładu Poissona – tam, gdzie liczba 
obserwowanych przypadków n jest bardzo duża, a 
prawdopodobieństwo sukcesu p bardzo małe. 

Przykłady:

•  rozpad promieniotwórczy: liczba jąder n duża, 
prawdopodobieństwo rozpadu    

konkretnego jądra bardzo 

małe;

•  zderzenia cząstek elementarnych, duża ilość cząstek, mała 
szansa na zderzenie;

•  statystyczna kontrola jakości produktów, duża ilość 
sprawdzanych produktów,  mała ilość produktów 
wybrakowanych. 

Rozkład prostokątny: Ma zastosowanie przy analizie 
niepewności systematycznych. Gęstość prawdopodobieństwa 
f(x) jest stała wewnątrz przedziału (a, b) i równa zero poza nim.





















b

x

i

a

x

dla

b

x

a

dla

a

b

x

f

0

1

)

(

Rozkład 

2

: Gdy X

i

 są zmiennymi losowymi losowanymi z rozkładu 

normalnego N(0,1), to 





k

i

i

X

1

2

ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Gdy losowanie 
odbywa się z rozkładu normalnego N(,), to zmienną losową 

2

 

definiujemy następująco













k

i

i

X

1

2

2

2







Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu chi-kwadrat





































0

0

0

2

2

1

)

(

2

1

2

2

x

dla

x

dla

e

x

k

x

f

x

k

k

Rozkład 

2

: Gdy X

i

 są zmiennymi losowymi losowanymi z rozkładu 

normalnego N(0,1), to 





k

i

i

X

1

2

ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Gdy losowanie 
odbywa się z rozkładu normalnego N(,), to zmienną losową 

2

 

definiujemy następująco













k

i

i

X

1

2

2

2







Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu chi-kwadrat





































0

0

0

2

2

1

)

(

2

1

2

2

x

dla

x

dla

e

x

k

x

f

x

k

k

Rozkład 

2

:

Największe znaczenie praktyczne dla rozkładu chi kwadrat mają 
tablice wartości krytycznych 

 zmiennej losowej 

2

, dla których

2

,k





















2

,

2

k

P

 nazywa się poziomem istotności. Wielkość (1-) nazywa się poziomem ufności.