Wykład IV
Teoria pasmowa ciał stałych
Wykład IV
Teoria pasmowa ciał stałych
Periodyczność sieci i dozwolone pasma
energii
Izolowane atomy mają dyskretne dozwolone poziomy
energetyczne
Periodyczność sieci w ciele stałym prowadzi do
pojawienia się pasm energetycznych oddzielonych
obszarami wzbronionymi
Dozwolone stany elektronowe mogą być tworzone albo
jako kombinacja stanów elektronów swobodnych ( model
elektronów prawie swobodnych) albo jako liniowa
kombinacja stanów izolowanych atomów ( model LCAO)
+
E
+
+
+
+
położe
nie
Twierdzenie Blocha
Funkcje falowe będące rozwiązaniem równania Schrödingera
z potencjałem periodycznym U(r) są iloczynem zespolonej
fali płaskiej exp(i k·r) i funkcji periodycznej u
n
k(r) (n – liczba
całkowita).
( )
( )
i
nk
nk
e u
Y
=
kr
r
r
Niejednoznaczność wektora k. Strefy
Brillouina
Funkcje Blocha posiadają dziwną własność: zarówno same
funkcje
jak i odpowiadające im wartości własne energii E
obliczone dla k oraz k+G są identyczne:
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
2
1
3
2
3
2
2
2
2
Y
.
.
( )
( )
( )
(
)
n
n
n
n
n
E
E
+
Y
=Y
=
+
k
k G
r
r
k
k G
gdzie G jest
wektorem sieci odwrotnej:
n
1
,n
2
i n
3
– liczby całkowite, a
i
są wektorami podstawowymi sieci
krystalicznej, b
i
są wektorami podstawowymi sieci odwrotnej.
3
2
1
b
b
b
G
3
2
1
n
n
n
Strefa Brillouina
Strefa Brillouina jest figurą gemetryczną, która
powstaje z przecięcia symetralnych wektorów
łączących sąsiednie punkty sieci odwrotnej.
1
strefa
Brilloui
na
2
strefa
Brillouin
a
2/
a
1D
2D sieć regularna.
I strefa Brillouina
Konstrukcja I strefy Brillouina w
przestrzeni 2D, sieć
ukośnokątna.
I strefa Brillouina dla sieci
kubicznej powierzchniowo
centrowanej (fcc).
Pasmo dozwol. stanów
Pasmo dozwolonych
stanów
Pasmo dozwolonych
stanów
Przerwa
wzbroniona
Przerwa
wzbroniona
( )
(
)
n
n
E
E
=
+
k
k G
Ze względu na tę periodyczność, wystarczy ograniczyć się do I-
szej strefy Brillouina
Periodyczność E(k)
1D
Krzem
Podpasma mogą łączyć się, jak np. w Si, gdzie 4 podpasma łączą się
w pasmo walencyjne
Konfiguracja w izolowanym atomie
Si:
1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
2
-Każdy atom ma dwa
stany1s dwa 2s, 6sześć
stanów 2p, dwa 3s,
sześć 3p i wyższe
-Dla N atomów, dostępnych
jest 2N stanów 1s, 2N
stanów 2s, 6N stanów
2p, 2N stanów 3s i 6N
stanów 3p
-Po zbliżeniu atomów
największemu
rozszczepieniu ulegają
stany 3s i 3p. Stany te
mieszają się dając 8N
stanów.
-Przy odległości
równowagowej, pasmo
to rozszczepia się na
dwa pasma oddzielone
przerwą E
g
. Górne pasmo
– przewodnictwa zawiera
4N stanów i dolne –
walencyjne, też 4N
stanów.
Łańcuch jednoatomowy
Periodyczny warunek brzegowy oznacza równość
funkcji Blocha w punktach krańcowych x = 0 oraz
x = Na,
Z periodyczności : i
więc
(0)exp( 0)
(
)exp(
)
u
ik
u Na
ikNa
=
(0)
(
)
exp( 0) 1
u
u Na
ik
=
=
exp(
) 1
2
ikNa
kNa
m
p
=
=
2
k
m
Na
p
=
„Wytnijmy" z nieskończonego kryształu pewną część o skończonej
objętości, co umożliwia policzenie przypadających na tę objętość
stanów. Zaletą tak wyimaginowanego skończonego kryształu jest, że
nie ma on atomów powierzchniowych. Funkcja Blocha:
Dla 1D:
( )
( )
ikx
x
u x e
Y
=
Łańcuch jednoatomowy
2
Na
p
dozwolone wartości k leżą w odległości
2
k
m
Na
p
=
Liczba dozwolonych wektorów falowych w I
strefie Brillouina:
jest równa liczbie komórek prymitywnych w
objętości kryształu
2
2
a
N
Na
p
p
=
WNIOSKI
strefa Brillouina nie jest przestrzenią ciągłą,
ilość dozwolonych wartości wektora falowego jest
ograniczona ze względu na skończoną liczbę N
ilość możliwych punktów, w których kończy się wektor k, czyli
ilość możliwych stanów wynosi N, tzn. tyle, ile jest komórek
elementarnych.
Zatem każda komórka elementarna daje jeden stan k w
każdym paśmie.
Po uwzględnieniu spinu mamy 2N niezależnych stanów w
każdym paśmie.
Ten wynik jest słuszny również dla kryształu trójwymiarowego.
Metale i półprzewodniki
częściowo zapełnione pasmo może przewodzić prąd; pełne – nie.
jeden elektron walencyjny w komórce elementarnej – pasmo do
połowy wypełnione elektronami – metal (litowce i metale
szlachetne)
w pełnym paśmie zawierającym 2N elektronów wszystkie stany w
I strefie B są zajęte. Suma wszystkich wektorów k w paśmie = 0.
liczba elektronów walencyjnych w komórce elementarnej jest
całkowita i parzysta i pasma nie przekrywają się - pasmo
walencyjne całkowicie zapełnione - półprzewodnik;
jeśli pasma przekrywają się - metal.
pasma przekrywają się tylko trochę - półmetal
.
mamy 2N niezależnych stanów w każdym paśmie.
Pełne pasmo
Puste pasmo
Przerwa wzbr.
Pełne pasmo
Częściowo
pełne pasmo
Przerwa wzbr.
Częściowo pełne
p.
Częściowo pełne
pasmo
E
F
IZOLATOR
METAL
METAL
lub półprzewodnik
lub
półmetal
E
k
0
p
a
E
F
E
k
0
p
a
E
k
0
p
a
Koncepcja dziury
Elektron opisany funkcją Blocha jest naładowaną cząstką
biegnącą przez kryształ. W obrazie klasycznym reprezentuje
prąd elektryczny. W paśmie całkowicie zapełnionym każdemu
elektronowi o wektorze falowym k towarzyszy elektron z -k i
odpowiednie przyczynki do prądu znoszą się.
Jeśli zabierzemy jeden elektron, to wytworzymy
dziurę, ale prąd będzie wówczas różny od zera:
( )
0
N
i
i
J
e
= -
=
�
V
( )
( )
N
i
i
J
e
e
e
= -
- -
=
�
j
j
V
V
V
Półprzewodnik w polu elektrycznym
( )
( )
( )
( )
p
p
dE
F
dx
dV
e x
e
dx
dV
x
dx
x
const c
V
cx
E
cex
e
e
e
=-
-
=- -
=-
=
= �
=-
�
=
E(k) i E(x) w polu elektrycznym
h
e
E
E
=-
Energia elektronu rośnie w górę diagramu, dziury – w dół;
Elektrony poruszają się w lewo, dziury w prawo.
Zabranie jednego elektronu jest równoważne wzrostowi energii
o .
Zatem dziura ma energię:
e
E
h
e
E
E
=-
Masa efektywna
Dla elektronu swobodnego:
Dla elektronu w sieci krystalicznej:
Dla dziury w sieci krystalicznej:
2
2
2
d E
dk
m
=
h
2
2 2
2
2
p
k
E
m
m
=
=
h
2
dE
k
dk
m
=
h
1
2
2
2
d E
m
dk
-
�
�
= �
�
�
�
h
1
2
2
2
*
n
d E
m
dk
-
�
�
= �
�
�
�
h
h
e
E
E
=-
h
e
= -
k
k
*
*
p
n
m
m
=-
p
e
=
v
v
Krzywizna pasma decyduje o masie efektywnej
-
Masa efektywna elektronów w GaAs w pasmie przewodnictwa jest
mniejsza w punkcie (silna krzywizna - duża )
niż w punkcie L lub X (słabsza krzywizna - mała )
- Elektrony przy wierzchołku pasma walencyjnego mają masę
efektywną ujemną (dziury – dodatnią).
2
2
dk
E
d
2
2
dk
E
d
Prawdziwe (m
e
, m
h
) i efektywne masy (m
e
*,
m
h
*)
- masy efektywne są różne dla różnych półprzewodników
- prawdziwe – równe masie elektronu swobodnego
- dlaczego ?
dp/dt =d(mv)/dt = F : II zasada dynamiki Newtona !
F = F
wewn
+ F
zewn
F
zewn
= siła zewnętrzna
F
wewn
= siła wynikająca z istnienia potencjału periodycznego; to
oddziaływanie prowadzi do zależności E(k), z której z kolei wynika
masa efektywna, m
e
*.
dp/dt =d(m
e
*
v)/dt = F
zewn
Zatem elektron zachowuje się w polu siły
zewnętrznej, tak jakby miał nową masę, m
e
*.
Półprzewodniki z prostą i skośną przerwą
wzbronioną
E(k) (relacja dyspersji) dla germanu
E(k) (relacja dyspersji) dla krzemu
E(k) (relacja dyspersji) dla GaAs i AlAs
a) E(k) dla Si i GaAs
b)Powierzchnia stałej energii dla Si, w pobliżu 6 minimów pasma
przewodnictwa w kierunku punktu X..
E(k) dla Si i GaAs)