EKONOMETRIA

CZ. II

W. Borucki

Met. Simplex – rozwiązanie 

początkowe

1.

Doprowadzić zadanie do postaci kanonicznej (poprzez wprowadzenie zmiennych 

swobodnych - nieujemnych) tak by prawa strona równań była nieujemna (Uwaga: 

zmiennym swobodnym przypisujemy zerowe wartości współczynników funkcji celu)

2.

Poszukać macierzy jednostkowej. Tej macierzy odpowiadać będzie rozwiązanie 

bazowe, którego odpowiednie zmienne bazowe przyjmą wartości równe wartościom 

odpowiednich składowych wektora wyrazów wolnych.

3.

Jeśli nie można wskazać macierzy jednostkowej, to należy wprowadzić zmienne 

sztuczne do odpowiednich równań tak by można było wskazać macierz jednostkową 
Uwaga: 
a) rozwiązanie zawierające zmienne sztuczne nie jest rozwiązaniem dopuszczalnym; 

dopiero nieujemne bazowe rozwiązanie nie zawierające zmiennych sztucznych jest 

rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym
b) trzeba wyeliminować zmienne sztuczne z rozwiązania i w tym celu współczynniki 

funkcji celu im odpowiadające przyjmują wartości bardzo duże dla 

minimalizowanych funkcji celu i bardzo małe dla maksymalizowanych funkcji celu.

4. 

Dopuszczalne (nieujemne) bazowe uznajemy za rozwiązanie początkowe i dla tego 

rozwiązania sprawdzamy kryteria optymalności rozwiązania

Metoda simplex – sprawdzenie 

optymalności rozwiązania



Zmiennym bazowym (dla bazy B) z otrzymanego, poprzedniego 

rozwiązania przyporządkowujemy odpowiednie współczynniki występujące 

w funkcji celu (x

i 

↔ c

i

; pamiętamy, że zmienne nie bazowe mają wartość 0)



Obliczamy wartość funkcji celu dla otrzymanego rozwiązania (suma 

iloczynów c

i

x

i 

)



Dla każdej zmiennej wyznaczamy wartość z

j

 (suma iloczynów c

i

d

ij

, gdzie d

ij

 

- współczynniki kombinacji równoważnej zawarte w macierzy B

-1

A)



Obliczamy różnice K

j

 = c

j

 – z

j

. K

j

 wskazują o ile wzrośnie wartość funkcji 

celu gdy do rozwiązania wprowadzona zostanie jedna jednostka zmiennej 

x

j

, wartości K

j

 dla aktualnych zmiennych bazowych zawsze wynoszą zero



Rozwiązanie jest optymalne gdy wszystkie wartości K

j

 są niedodatnie 

(ujemne i zera) w przypadku zadania, w którym maksymalizujemy funkcję 

celu, a nieujemne w przypadku zadania, w którym funkcja celu jest 

minimalizowana



Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony, to otrzymane rozwiązanie nie 

jest optymalne i trzeba przejść do kroku poszukiwania rozwiązania 

lepszego od poprzedniego.



Jeżeli rozwiązanie jest optymalne, to obliczenia można zakończyć.



Warto jednakże na koniec przeprowadzić analizę wrażliwości rozwiązania.

Metoda simplex – poprawa 

rozwiązania



Zgodnie z interpretacją wartości K do nowego rozwiązania 

bazowego wprowadzamy zmienną o największej efektywności 

poprawy wartości funkcji celu (dla zadań z max. – zmienną x

j

 , 

dla której K

j

 = max)



Następnie wskazujemy tę zmienną x

i

 (ze starej bazy), dla 

której iloraz (x

i

 /d

ij

) jest najmniejszy. Ta zmienna zostanie z 

bazy usunięta, a na jej miejsce wprowadzona będzie zmienna 

x

j

, dla której K

j

 było maksymalne. 



Ta operacja zapewni nam, że następne rozwiązanie bazowe 

będzie nieujemne (trzeba zastosować operacje elementarne 

doprowadzające do uzyskanie wektora jednostkowego w j-tej 

kolumnie z jedynką w i-tym wierszu - odpowiadającym 

zmiennej x

i

).



Po dokonaniu przekształceń należy przejść do procedury 

sprawdzenia optymalności rozwiązania.

Metoda simplex  - zadanie 1

3x

1

 + 4x

2

 + 8x

3

→max

  x

1

 +   x

2 

+ 5x

3

   ≤ 1

3x

1

  +  x

2

  +  x

3

   ≤ 1

   x

1

 , x

2

 , x

3

 ≥  0

Metoda simplex – zadanie 2

  

3x

1

 +    x

2

 +   x

3  

→  min

    x

1

 +  5x

2

 + 2x

3   

=  9

             2x

2

 +  x

3

  =  4

    x

1

  +    x

2               

=  1

     x

1

 , x

2

 , x

3

 ≥   0

             

Problem diety 1 

–

Dany niech będzie zbiór produktów żywnościowych P

1

, P

2

, …P

n 

,

możliwych do wykorzystania w planowanej diecie.

–

Każdy z produktów charakteryzuje się zawartością a

ij

 jednostek j-

tego składnika odżywczego (spośród m składników) w i-tym 

produkcie. 

–

Dla każdego składnika odżywczego znane są dolne (d

j

) i górne kresy 

(g

j

), poniżej lub powyżej których ich spożycie jest niewskazane ze 

względów zdrowotnych.

–

Znane są też jednostkowe ceny nabycia poszczególnych produktów 

żywnościowych – c

i

 .

–

Należy zaproponować taki sposób wyżywienia indywiduum (określić 

ilości produktów – x

i

 // zmienne decyzyjne), ażeby spełniając 

warunki zdrowego żywienia koszt jego wyżywienia był minimalny.  

Problem diety 2

0

min

1

1

















i

j

n

i

i

ij

j

n

i

i

i

x

g

x

a

d

x

c

Problem wyboru planu 

produkcji  



W danym zakładzie produkcyjnym produkuje się wyroby w

1

, w

2

, …, 

w

n

. 



Każdy z wyrobów, do jego wyprodukowania, wymaga 

zastosowania określonej ilości zasobów z

1

, z

2

, …, z

m

 (np. energii, 

pracy, surowców, …), których wielkości są limitowane odpowiednio 

l

1

, l

2

, …, l

m

.



Ograniczenia panujące na rynku są takie, że z jednej strony (dla 

utrzymania stałych klientów) należy wyprodukować co najmniej d

i

 

jednostek produktu i, a z drugiej strony, ograniczony rynek nie jest 

w stanie wchłonąć więcej niż g

i

 jednostek produktu i.



Ceny sprzedaży hurtowej na poszczególne produkty są stałe i 

wynoszą c

i

 jednostek.



Należy sporządzić taki plan produkcji wyrobów (określić ile 

jednostek poszczególnych produktów należy wyprodukować – x

i

 // 

zmienne decyzyjne), ażeby osiągnąć maksymalny przychód.

Problem wyboru planu prod. 

2

)

,...,

1

(

)

,...,

1

(

max

1

1

n

i

dla

g

x

d

m

j

dla

l

x

a

x

c

i

i

i

j

n

i

i

ij

n

i

i

i





















Problem rozkroju 

(jednowymiarowego) 



Dane są  podzbiory elementów o  długości w

j 

(dla j=1,…n) i 

każdy z nich liczebności odpowiednio g

j

.



Elementy tych podzbiorów należy pociąć na wyroby A o 

długości l

1

 i B o długości l

2

 



Jeden komplet stanowi r wyrobów A i p wyrobów B.



W wyniku cięcia elementów powstaje odpad (część elementu 

do pocięcia, z której nie można uzyskać wyroby o długości l

1

 

lub l

2 

, lub nie ma już takiej potrzeby).



Elementy przeznaczone do pocięcia należy pociąć w taki 

sposób, ażeby zminimalizować odpad lub zmaksymalizować 

liczbę kompletów



Jaka zmienna decyzyjna?



Jakie zależności – warunki ograniczające?

Problem rozkroju 

(jednowymiarowego) 2



Zmienna decyzyjna – ile razy zastosować określony 

sposób cięcia (x

j

)



Jak utworzyć tabelę wydajności technologii 

-sposobów cięcia (dla elementów o długości w

i

)

x

1

x

2

…

x

m

Liczba 

elementów A

a

11

a

12

a

1m

Liczba 

elementów B

a

21

a

22

a

2m

Odpad

o

1

o

2

o

m

Problem rozkroju 

(jednowymiarowego) 3

max

1

lub

min

0

)

)

,...,

1

(

1

2

1

1

2

1

1

1

































m

i

i

i

m

i

i

i

i

m

i

i

i

m

i

i

i

j

m

i

i

x

a

p

x

o

by

takie

x

oraz

p

r

x

a

x

a

n

j

dla

l

x

j

Dualność w programowaniu 

liniowym



Definicja zadań dualnych

–

Dla zadań w postaci standardowej

–

Dla zadań w postaci kanonicznej



Jakie korzyści mamy z zadań dualnych

–

Twierdzenie o równowadze



Jak interpretujemy zmienne dualne

–

Ceny równowagi / jakie ceny równowagi?

Dualność

c

T

x   →  max

Ax ≤ b
x≥ 0

c

T

x   →  min

Ax ≥ b
x≥ 0

b

T

y   →  min

A

T

 y  ≥ c

     y  ≥ 0

b

T

y   →  max

A

T

 y  ≤  c

     y  ≥  0

Prymalne i dualne zadania programowania liniowego

Dualność 2



Twierdzenie o równowadze – wartość funkcji celu dla 

rozwiązania optymalnego zadania prymalnego równa jest 

wartości funkcji celu dla rozwiązania optymalnego 

zadania dualnego.



Warunkom ograniczającym zadania prymalnego 

spełnionym z równością dla rozwiązania optymalnego, 

odpowiadają zmienne dualne, których wartości są różne 

od zera (bazowe) dla rozwiązania optymalnego zadania 

dualnego.  



Interpretacja zmiennych dualnych dla rozwiązania 

optymalnego zadania dualnego: ceny zasobów 

wykorzystanych w pełni (zgodnie z limitem) w warunkach 

równowagi

Dualność – przykład – 

– rozwiązać zadanie

3x

1

 + 4x

2

 + 8x

3

→max

  x

1

 +   x

2 

+ 5x

3

   ≤ 1

3x

1

  +  x

2

  +  x

3

   ≤ 1

   x

1

 , x

2

 , x

3

 ≥  0

Analiza wrażliwości



Powody: 

–

Uproszczenia  modelowania  (ograniczenie  listy  zmiennych  decyzyjnych 

lub warunków ograniczających),

–

Zmienność otoczenia (np. zmienność wartości parametrów funkcji celu, 

lub wartości limitów zasobowych),

–

Zmienność  wewnętrzna,  np.  zastosowanie  innowacji  (np.  konieczność 

wprowadzenia nowych zasobów – warunków ograniczających), 

–

Niedoskonały  pomiar  wartości  parametru  zadania  –  możliwość  zmiany 

wartości współczynników technologicznych,



Podstawowe pytania

–

Czy  znalezione  rozwiązanie  pozostanie  optymalne  pomimo  zmiany 

wartości parametrów, lub 

–

dla  jakiego  przedziału  zmienności  parametrów  rozwiązanie  pozostaje 

optymalne?

–

Jak  zmieni  się  rozwiązanie  optymalne  gdy  parametry  zadania  ulegną 

zmianie? (Czy zmieni się lista zmiennych decyzyjnych występujących w 

decyzji optymalnej z wartościami niezerowymi – czy zmieni się baza dla 

decyzji optymalnej?), 

Analiza wrażliwości 

(kilka definicji pomocniczych)

–

Krawędzie sąsiednie zbioru rozwiązań dopuszczalnych 
dla  rozwiązania  optymalnego,  bazowego  –  krawędzie 
mające wspólny punkt (rozwiązanie bazowe)

–

Gradienty  krawędzi  –  wektory  prostopadłe  do 
płaszczyzn zawierających odpowiednie krawędzie.

–

Warunek  wiążący  –  warunek  posiadający  ze  zbiorem 
rozwiązań  dopuszczalnych  co  najmniej  jeden  punkt 
wspólny

–

Warunek  istotnie  wiążący  –  warunek  wyznaczający 
rozwiązanie optymalne

R2. - Analiza wrażliwości 2

 

Analiza wrażliwości 3

 

Rozw. opt. I 

Rozw. opt. II 

R2.- Analiza wrażliwości 4



Zmiany wartości współczynników funkcji celu w granicach wskazanych 

przez  „gradienty  graniczne”  (odpowiadające  krawędziom  zbioru 

rozwiązań  dopuszczalnych  sąsiednim  w  stosunku  do  analizowanego 

rozwiązania  optymalnego  nie  pociągają  za  sobą  zmiany  rozwiązania 

optymalnego zadania.



Jeżeli  zmiany  wartości  ograniczeń  (dostępności  zasobów)  dotyczą 

warunków wiążących to modyfikują zbiór rozwiązań dopuszczalnych 



Jeżeli  zmiany  wartości  ograniczeń  dotyczą  warunków  istotnie 

wiążących, to zawsze skutkują zmianą rozwiązania optymalnego.



Zmiany  wartości  ograniczeń  dla  warunków  niewiążących  mogą 

wpłynąć  na  rozwiązanie,  jeżeli  prowadzą  do  ograniczenia  zbioru 

rozwiązań dopuszczalnych (stają się wiążące lub istotnie wiążące). 

2

1

2

2

1

2

1

1

1

2

c

c

c

c

c

c

o

o





R3. Zadanie transportowe

  Danych  jest  n  dostawców  i  m  odbiorców  pewnego  jednorodnego 

towaru.  Każdy  z  dostawców  posiada  a

i

  jednostek  (i=1,…,n)  tego 

towaru, a odbiorcy zgłaszają zapotrzebowanie na b

j

 jednostek (j=1, 

…m)  tego  towaru.  Znane  są  też  jednostkowe  koszty  transportu  c

ij

 

od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy.

  Towar  należy  przewieźć  od  dostawców  do  odbiorców  w  taki  sposób, 

ażeby zaspokoić poszczególnych odbiorców towarem pochodzącym 

od  dowolnego  dostawcy  i  jednocześnie  zminimalizować  łączne 

koszty transportu. 

Jest  oczywiste,  że  dowolny  dostawca  nie  może  wysłać  więcej  towaru 

aniżeli sam posiada.

Tak sformułowane zadanie ma rozwiązanie gdy

Zadanie,  dla  którego  warunek  spełniony  jest  z  równością  nazywamy 

zamkniętym zadaniem transportowym











m

j

j

n

i

i

b

a

1

1

R4. Zadanie transportowe 2



Model 
matematyczny

 

























n

i

m

j

ij

ij

ij

n

i

j

ij

m

j

i

ij

x

c

x

m

j

dla

b

x

n

i

dla

a

x

1

1

1

1

min

0

,...,

1

,...,

1

R3. Zadanie transportowe – 

algorytm ogólny



K1. Znaleźć rozwiązanie początkowe



K2. Ocenić czy rozwiązanie jest optymalne

–

a. Jeżeli tak, to zakończyć obliczenia w K4.

–

b. Jeżeli nie, to przejść do K3. 



K3. Znaleźć inne rozwiązanie, nie gorsze 
od otrzymanego i przejść do K2.



Przyjąć rozwiązanie optymalne i 
wyznaczyć wartość funkcji celu  

R3. Zadanie transportowe – 

rozwiązanie początkowe



Zbilansowanie 

macierzy przepływów

–

(uwaga: nie musi to być 

rozwiązanie bazowe!)



Metoda kąta północno 

zachodniego

–

(uwaga: może to być 

bardzo odległe od 

rozwiązania dobrego!)



Metoda minimum 

kosztu jednostkowego

–

(uwaga: to tylko 

optymalizacja lokalna)

1

2

…

m

1

C

11

 

       X

11

 

C

12

 

      X

12

A1

2

C

22

 

     X

22

A2

C

ij

     X

ij

…

n

C

nm

       X

nm

An

B

1

B

2

…

B

m

ZZT rozw. pocz. 2

1

2

3

4

5

  1  

 100

 130

  230

 2

20

 200

110

330

3

 140

 300

440

100

150

200

250

300

Przykład Tabela [Xij]

R3. Zadanie transportowe 

– ocena dobroci rozwiązania



Oczywiście  najlepsze  rozwiązanie  jest  wtedy,  gdy  wszystkie 

niezerowe zmienne decyzyjne związane są tylko z takimi trasami, 

dla  których  koszty  jednostkowe  transportu  są  zerowe  (wtedy  tez 

minimalna wartość funkcji celu wynosi zero)



Warto  zauważyć,  że  jeżeli  do  wiersza  lub  kolumny  macierzy 

kosztów  jednostkowych  dodamy  (lub  odejmiemy)  stałą,  to 

rozwiązanie optymalne ZZT nie ulegnie zmianie



Jak połączyć oba fakty ?



Należy  dodać  do  wierszy  lub  kolumn  takie  wartości  (α

i

,  β

j

),  ażeby 

otrzymać  w  każdym  wierszu  i  kolumnie  zera  pozwalające  na 

wpisanie  takich  wartości  zmiennych  decyzyjnych,  dla  których 

spełnione są warunki ograniczające.



A jeśli nie wszystkie zmienne dadzą się wpisać na pola o zerowych 

wartościach,  to  należy  zastanowić  się  gdzie  w  tabeli  można 

(powinno się) otrzymać zero .

R3. Zadanie transportowe 

– ocena dobroci rozwiązania 2



Wyznaczyć koszty zastępcze: α

i

 i β

j 

–

Rozwiązać układ równań 

ĉ

ij

= (α

i

 

- β

j

),    przy czym

ĉ

ij

=c

ij

 dla (i,j) € B (aktualna baza)

–

układ m+n-1 równań o m+n 

niewiadomych (jeden stopień 

swobody – ustalić jedną wartość 

np. α

1 

= 0). 



Wyznaczyć tabele różnic

–

r

ij

= c

ij 

–

 

ĉ

ij

–

Jeśli wszystkie są nieujemne, to 

rozwiązanie jest optymalne.

–

Jeżeli istnieje r

ij

<0, to rozwiązanie 

nie jest optymalne i należy przejść 

do poprawy rozwiązania.

Tabela c

ij

1

2

3

4

5

  1    2  

 5

7

4

1

  230

 2

4

8

 6

5

6

330

3

2

2

8

 9

 9

440

10

0

15

0

20

0

25

0

30

0

ZZT - Ocena dobroci 

rozwiązania 3



Tabela ĉ

ij

1

2

3

4

5

  1  

 2  

 5

3 

2 

2    230

 2

5 

8

 6

5

5 

330

3

9 

12 

10 

 9

 9

440

100 150 200 250 300

R3. Zadanie transportowe 

– poprawa rozwiązania



Znaleźć najmniejszą (ujemną ) 

wartość r

ij



Znaleźć cykl zmian wartości x

ij



Wyznaczyć wartość zmiennej 

wprowadzanej



Skorygować wartości 

zmiennych z cyklu zmian



Usunąć z bazy (jedną) 

zmienną, która przyjęła 

wartość zero,



Przejść do kroku „Wyznaczyć  

wartości kosztów zastępczych”

Tabela r

ij

1

2

3

4

5

  1  

 0 

 0

4 

2 

-1 

  

230

 2

-1 

0

 0

0

1 

330

3

-7 

-10 

-2 

 0

 0

440

100

150

200

250

300

Tabela X

2

ij

1

2

3

4

5

  1    100 

 

 

130

0 

0 

0 

 

23

0

 2

0 

20-

d

 

20

0

110+

d

0 

33

0

3

0 

+d 

0 

140 

-d

 

30

0

44

0

100

150

20

0

250

30

0

Zadania pokrewne 1

Zadanie transportowo-magazynowe
      W  n  magazynach  znajdują  się  odpowiednio  a

i

  jednostek 

pewnego  jednorodnego  towaru,  który  zamawiany  jest 

przez  m  odbiorców  składających  zamówienia  w  ilości  b

j

 

jednostek  (Σa

i

  >Σb

j

  ).  Jednostkowe  koszty  transportu  z  i-

tego  magazynu  do  j-tego  odbiorcy  wynoszą  c

ij

.  Nadwyżki 

towarów  ponad  zapotrzebowanie  odbiorców  pozostają  w 

magazynie.  Ich  składowanie  pociąga  za  sobą  koszty 

proporcjonalne  do  ilości  magazynowanych  jednostek,  a 

jednostkowe  koszty  magazynowania  wynoszą  m

i

.  Należy 

wyznaczyć  taki  plan  przewozów  i  magazynowania 

nadwyżki  towarów  ażeby  zminimalizować  łączne  koszty 

transportu i magazynowania.

Zadania pokrewne 2

Model zadania transportowo-magazynowego

...

,

0

,...

2

,

1

,...

2

,

1

min

1

1

1

1

j

i

dla

x

n

i

dla

a

y

x

m

j

dla

b

x

y

m

x

c

ij

m

j

i

i

ij

j

n

i

ij

i

i

n

i

ij

ij

m

j























 









Zadania pokrewne 2

Zadanie transportowo-produkcyjne    
                    
Danych  jest  n  zakładów  produkcyjnych,  których  zdolności 

produkcyjne  przewyższają  zapotrzebowanie  rynku  i  wynoszą 

odpowiednio a

i

 jednostek określonego i jednorodnego produktu. 

Jednostkowy  koszt  produkcji  zależy  od  zakładu  i  wynosi 

odpowiednio p

i

 jednostek. 

Towar  po  wyprodukowaniu  transportowany  jest  do  m  odbiorców, 

którzy zgłaszają zapotrzebowanie w ilości b

j

 jednostek. 

Jednostkowe koszty transportu z i-tego zakładu produkcyjnego do 

j-tego odbiorcy wynoszą odpowiednio c

ij

 jednostek. 

Należy  tak  zaplanować  wykorzystanie  zdolności  produkcyjnych 

poszczególnych  zakładów  i  zaproponować  taki  plan  transportu 

wyprodukowanych  towarów,  ażeby  zminimalizować  łączne 

koszty transportu i produkcji towarów.

Zadanie pokrewne 4

Model zadania transportowo-produkcyjnego

...

,

0

,...

2

,

1

,...

2

,

1

min

)

(

1

1

1

1

j

i

dla

x

n

i

dla

a

x

m

j

dla

b

x

x

p

c

ij

m

j

i

ij

j

n

i

ij

n

i

ij

i

ij

m

j





























Zadanie pokrewne 5



Zadanie wieloetapowe

Jednorodny  towar  znajduje  się  u  n  dostawców  w  ilościach 

odpowiednio  a

i

  (i=1,2,…n)  jednostek.  Na  towar  zgłasza 

zapotrzebowanie m odbiorców odpowiednio w ilościach b

j

 

(j=1,2,…m)  jednostek.  Towar  ten  może  trafić  do 

odbiorców  jedynie  za  pośrednictwem  jednego  z  k 

magazynów,  których  zdolności  magazynowania  wynoszą 

odpowiednio d

l

 (l=1,2,…,k) jednostek tego towaru. Znane 

są  jednostkowe  koszty  transportu  na  etapie  od 

dostawców  do  magazynów  –  c

1il

  i  na  etapie  od 

magazynów do odbiorców c

2lj

. Należy wyznaczyć taki plan 

przewozu na obu etapach, ażeby łączny koszt transportu 

towaru na obu etapach był minimalny.

Zadanie pokrewne 6



Model 
zadania 
dwuetapowe
go

Zadania pokrewne 6

Sprowadzić do ZZT z macierzą kosztów

Zadanie transportowe 1



Trzech dostawców, z których każdy ma po 250 jednostek 

pewnego towaru ma dostarczyć ten towar do pięciu 

odbiorców zgłaszających zapotrzebowanie w ilości 

odpowiednio 40, 55, 125, 140 i 180 jednostek. Nadwyżka 

towaru nad zapotrzebowanie powinna pozostać w 

magazynach, przy czym odpowiednie jednostkowe koszty 

magazynowania wynoszą 4, 6, i 8, a jednostkowe koszty 

transportu do poszczególnych odbiorców wynoszą : 

od dostawcy pierwszego    3, 5, 7, 4, 5, 
od dostawcy drugiego       6, 8, 2, 4, 1, 
a od dostawcy trzeciego     3, 3, 2, 2, 3



Wskazać plan przewozów i magazynowania nadwyżki 

towarów nad zapotrzebowanie minimalizujący łączne 

koszty transportu i magazynowania.

Zadanie transportowe 2

Trzech dostawców posiada odpowiednio 105, 145 i 185 jednostek 

pewnego towaru. Na towar ten zgłaszane jest zapotrzebowanie 

przez  czterech  odbiorców  w  wysokości  odpowiednio:  70,  80, 

110  i  130  jednostek.  Zanim  towar  trafi  do  odbiorców  musi 

przejść  przez  jeden  z  dwóch  magazynów,  których  pojemność 

wynosi po 300 jednostek każdy. Jednostkowe koszty transportu 

od dostawców do magazynów wynoszą odpowiednio: 2, 4, 6 do 

pierwszego  magazynu  i  3,  7,  5  do  drugiego  magazynu,  zaś 

jednostkowe  koszty  transportu  z  magazynu  pierwszego  do 

kolejnych  odbiorców  wynoszą:    9,  7,  9,  5,  a  z  magazynu 

drugiego  odpowiednio:  5,  7,  7,  5.  Nadwyżka  towarów  nad 

zapotrzebowania  pozostaje  w  magazynach,  w  których 

jednostkowy koszt magazynowania wynosi 3 i 4. 

Wyznaczyć  plan  przewozów  minimalizujący  łączne  koszty 

transportu  na  obu  etapach  oraz  koszty  magazynowania 

nadwyżki towarów nad zapotrzebowanie.