WSKAŹNIKI
NIEZAWODNOŚCI cd.
WSKAŹNIKI
NIEZAWODNOŚCI cd.
• W praktycznym zastosowaniu przy
projektowaniu i badaniu obiektów
technicznych znalazły zastosowanie
tylko niektóre wskaźniki ze zbioru,
jakim dysponuje teoria niezawodności.
• Podstawowym wskaźnikiem jest
prawdopodobieństwo poprawnej
pracy obiektu R(t) = P(T≥t)
gdzie:
•
T – zmienna losowa określająca
czas przebywania obiektu w stanie
zdatności,
• t – wymagany czas zdatności.
Przebieg w czasie funkcji
prawdopodobieństwo poprawnej pracy
t
R
(t
)
1
0
Oszacowanie statystyczne z
próbki dla ustalonej chwili t:
gdzie:
n(t) – liczba obiektów, które w
przedziale (0,t> nie uszkodziły
się,
n(0) - liczba badanych obiektów.
)
0
(
)
(
)
(
*
n
t
n
t
R
Empiryczna funkcja prawdopodobieństwa
poprawnej pracy obiektu
• Prawdopodobieństwo
uszkodzenia obiektu
• Prawdopodobieństwo
zdarzenia, że w przedziale
<0,t) obiekt uszkodzi się.
)
(
1
)
(
)
(
t
R
t
T
P
t
F
1
0,5
0
t
R(t)
F(t)
R(t)
F(t)
•
a oszacowanie statystyczne z próbki
dla ustalonej chwili t
• gdzie:
• m(t) – liczba obiektów uszkodzonych
w przedziale czasu <0,t),
• n(0) – liczba badanych obiektów
(liczba nieuszkodzonych obiektów w
chwili 0).
)
0
(
)
(
)
(
*
n
t
m
t
F
Jeżeli F(t) jest funkcją ciągłą, to
istnieje funkcja:
t
t
t
R
t
R
t
t
R
t
t
R
dt
t
dR
t
R
t
R
dt
t
F
d
t
F
t
f
)
(
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
'
)'
(
1
(
)
(
(
)
(
'
)
(
• W populacji obiektów tak licznej,
aby można było założyć
funkcjonowanie prawa wielkich
liczb z powyższego wynika, że
gęstość prawdopodobieństwa
można interpretować, jako spadek
niezawodności w małym
przedziale czasowym.
Empiryczny wskaźnik gęstości
prawdopodobieństwa wyznacza się z
zależności:
Dla ustalonej chwili t:
gdzie:
- liczba uszkodzonych obiektów w
przedziale od t do
n(0) – liczba maszyn nieuszkodzonych w
chwili 0 (liczba badanych maszyn),
- przedział czasu, w którym
prowadzimy obserwacje.
t
n
t
t
t
m
t
f
)
0
(
)
,
(
)
(
*
)
,
(
t
t
t
m
t
t
t
Ze wzoru empirycznego
wynika, że wskaźnik ten mówi
o liczbie uszkodzonych
obiektów przypadających na
jeden badany obiekt w małym
przedziale czasu.
Tz t
f*
(t
)
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(t); Tz – średni czas zdatności
• Jeżeli istnieje funkcja gęstości
prawdopodobieństwa, to można
określić następną funkcję
charakteryzującą niezawodność
obiektów, którą nazywamy
intensywnością uszkodzeń.
Intensywność uszkodzeń.
Wskaźnik ten jest gęstością
warunkową powstania
uszkodzenia w chwili t pod
warunkiem, że do tej chwili
obiekt pracował bez
uszkodzenia. Jest to względny
spadek niezawodności bo
odnosimy go do R(t)
t
t
R
t
t
R
t
R
t
R
t
R
t
R
t
f
t
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
Dla ustalonej chwili t wskaźnik empiryczny ma postać:
gdzie:
- liczba uszkodzonych obiektów w przedziale od t
do
n(t) – liczba maszyn nieuszkodzonych w przedział czasu
<0,t),
- przedział czasu, w którym prowadzimy obserwacje.
Ze wzoru na funkcję intensywności uszkodzeń wynika, jaka
część obiektów ulegnie uszkodzeniu w przedziale czasowym
,
gdy jako podstawę przyjmiemy liczbę obiektów zdatnych w
chwili t
Wskaźnik ten możemy interpretować, jako liczbę uszkodzeń
przypadających na jeden nieuszkodzony obiekt w małym
przedziale czasu.
,
1
n(t)
,
)
(
)
,
(
)
(
*
t
t
n
t
t
t
m
t
)
,
(
t
t
t
m
t
t
t
t
I
I
III
II
0
)
(
dt
t
d
0
)
(
dt
t
d
0
)
(
dt
t
d
t
)
(t
Wykres intensywności
uszkodzeń
Przedział pierwszy
• W przedziale pierwszym intensywność uszkodzeń
jest funkcją malejącą. Jest to tzw. wstępny okres
eksploatacji, zwany też okresem adaptacji i
docierania, w czasie którego uszkadzają się
elementy o niskiej niezawodności. W okresie tym
ujawniają się ukryte wady materiałów, błędy
konstrukcji, montażu, niedopatrzenia kontroli,
usterki powstałe w czasie transportu i
przechowywania oraz inne tego typu usterki
obiektu. Na uszkodzenia mają też wpływ
umiejętności użytkownika, który uczy się
obsługiwać urządzenie (adaptacja).
Przedział drugi
• W przedziale drugim intensywność
uszkodzeń jest stała. Jest to tzw. okres
normalnej eksploatacji, w którym dominują
uszkodzenia spowodowane przez czynniki
losowe, np. nagłe przeciążenie w trudnych
warunkach pracy. Uszkodzenia takie można
by było wykluczyć biorąc, pod uwagę w
obliczeniach i projektowaniu granicznie
ciężkie warunki eksploatacji. Prowadziłoby
to jednak do zbyt dużych ciężarów własnych
maszyn. Długość tego okresu zależy od
warunków eksploatacji i konserwacji
urządzeń.
Przedział trzeci
• W przedziale trzecim intensywność
uszkodzeń jest funkcją rosnącą.
Spowodowane jest to głównie procesami
zużyciowo-starzeniowymi. W elementach
urządzeń długo eksploatowanych zachodzą
nieodwracalne zmiany fizyczne i chemiczne,
zmniejszające ich wytrzymałość. Na skutek
zużycia warstwy wierzchniej elementów
współpracujących powiększają się luzy, a
osłabione elementy ulegają deformacjom.
Jest to więc okres zwiększania się
prawdopodobieństwa wystąpienia uszkodzeń.
• Kształt jaki przybiera funkcja
intensywności uszkodzeń jest
podstawą doboru probabilistycznego
modelu niezawodności badanych
urządzeń.