MECHANIKA I

WYTRZYMAŁOŚĆ

MATERIAŁÓW

Wykład 4

Dynamiczne równania

ruchu

Dynamiczne równania ruchu

Druga zasada dynamiki

zapisana w postaci:

jest dynamicznym wektorowym
równaniem ruchu.



F



Wektory F i a mają
składowe:



a

Dynamiczne równania ruchu

przybierają

postać:

W kartezjańskim
układzie
współrzędnych

Dynamiczne równania ruchu

We

współrzędnych

biegunowych



r

F





F

Dynamiczne równania ruchu



r

F





F



z

F

We współrzędnych
walcowych

r



Dynamiczne równania ruchu

We

współrzędnych

kulistych:



r

F





F





F



Dynamiczne równania ruchu

1.

Zadanie pierwsze - zadane są

równania toru

Należy wyznaczyć siłę , pod której
wpływem porusza się punkt materialny.

Tok postępowania:

Różniczkujemy dwukrotnie względem czasu równania
toru uzyskując składowe przyspieszenia. Po podstawieniu
do dynamicznych równań ruchu wyznaczamy składowe
wektora siły działającej na punkt.

F



Zadania dynamiki

2. Drugie zadanie dynamiki - należy

wyznaczyć przyspieszenie, prędkość i
tor poruszającego się punktu, przy
danej masie i sile.

a) Siła jest wektorem stałym, np. siła ciężkości,

tarcie,

b) Siła jest funkcją czasu, np. siła odśrodkowa

wahadła,

c) Siła zależy od położenia, np. siła sprężystości,

siła ciężkości,

d) Siła zależy od prędkości punktu, np. opór

powietrza.

Zadania dynamiki

W najogólniejszym przypadku równania
ruchu w współrzędnych kartezjańskich
mają postać:

Dynamiczne równania ruchu

Całka ogólna tych równań (o ile istnieje) ma postać
trzech równań zawierających sześć stałych całkowania.
Różniczkując te równania i uwzględniając zadane
warunki początkowe (położenie początkowe punktu i
prędkość początkową) wyznacza się równania toru.

Parametryczne równania toru mają
postać:

Całka ogólna równań

ruchu

Dla t =

0

Przykład 1

Masa m = 4 kg porusza się po torze określonym
równaniami

6

2t

4t

2

3







x

4

t

3

y

2





Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem uzyskujemy
składowe przyspieszenia

Po podstawieniu do równań ruchu otrzymamy
składowe wektora siły

Wektor
siły



F



Wyznaczyć siłę

działającą na tę

masę

Ruch pod wpływem siły

Dynamiczne równanie dynamiczne ma postać

0



F



czyli

Po scałkowaniu i przyjęciu, że w chwili t = 0
, otrzymamy

o

o

v

r



 

Całkując drugi raz i uwzględniając, że dla t = 0
, otrzymamy

o

r

r 





Jest to znane równanie ruchu jednostajnego i
prostoliniowego.

Przykład 2

Po dwukrotnym scałkowaniu i przyjęciu warunków
początkowych,

że dla t = 0 i
otrzymamy

Ruch pod wpływem siły stałej

const



F



o

o

v

r



 

o

r

r 





Przykład 3

Równanie ruchu ma
postać

Ruch pod wpływem siły, która jest funkcją
położenia.

Jako przykład rozpatrzmy ruch punktu materialnego o
masie m wystrzelonego z planety o masie M z prędkością
v

o

. Równanie ruchu

ale



x



Przykład 4

lu
b

Po scałkowaniu otrzymujemy
równanie

Obliczymy, na jaką wysokość H wzniesie się punkt
materialny wyrzucony z planety o promieniu R, jeżeli
nadano mu prędkość początkową v

o

. Podstawimy więc v

= 0, x = H, x

o

= R otrzymamy

lub po
przekształceniu

Teraz wyznaczymy z jaką prędkością należy

wyrzucić punkt materialny z planety, aby na nią nie
wrócił, czyli aby stał się satelitą planety.

Prędkość tę v

∞

otrzymamy po podstawieniu do

wzoru v

o

= v

∞

oraz H = ∞.

Przykład 4 cd.

Na powierzchni Ziemi siła grawitacji ma
wartość

Po podstawieniu otrzymamy wzór na prędkość
ucieczki dla Ziemi





v

Przyjmując R = 6340 km oraz g = 9,81 m/s

2

otrzymamy:

v

∞

≈

 
Jest to prędkość, jaką należy nadać ciału, aby stało się
satelitą Ziemi.

Przykład 4 cd.

Ruch względny

– układ ruchomy wykonuje ruch

postępowy

Względem

układu stałego

ruch punktu jest określony

równaniami

W

układzie ruchomym

ruch określony jest więc

równaniem

oraz

u

u

ma

D









w którym nazywamy siłą
bezwładności unoszenia.

Ruch względny

– układ ruchomy wykonuje ruch

postępowy

Równanie
ruchu
przybiera
postać:
Względem

ruchomego

układu

odniesienia,

wykonującego ruch postępowy, punkt materialny
porusza się tak, jakby działała na niego, oprócz sił
czynnych, jeszcze siła bezwładności unoszenia.

Zasada względności mechaniki klasycznej:

Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie
możemy

wykazać

istnienia

prostoliniowego,

jednostajnego

ruchu

postępowego

układu

odniesienia.

Ruch względny

– układ ruchomy wykonuje ruch

obrotowy

W układzie ruchomym równanie ruchu ma postać :

– siła bezwładności unoszenia,

– siła bezwładności unoszenia Coriolisa.

u

u

ma

D









c

c

ma

D









Względem

ruchomego

układu

odniesienia,

wykonującego ruch obrotowy, punkt materialny
porusza się tak jakby działała na niego, oprócz sił
danych, jeszcze siła bezwładności unoszenia i siła
bezwładności Coriolisa.

Po podstawieniu

Ruch względny

– układ ruchomy wykonuje ruch

obrotowy

W ruchu obrotowym przyspieszenie całkowite jest sumą
geometryczną przyspieszenia stycznego i normalnego
(dośrodkowego), czyli

w związku z tym

t

D

– styczna siła bezwładności,

n

D

– normalna siła bezwładności

c

D



- siła Coriolisa

Ruch względny

– układ ruchomy wykonuje ruch

obrotowy

Wartości tych sił określone są wzorami:



t

D



n

D



c

D

– przyśpieszenie kątowe ruchu

obrotowego

– prędkość kątowa ruchu obrotowego

Ruch względem Ziemi

W wielu zagadnieniach praktycznych za
układ odniesienia przyjmujemy Ziemię.
Ściśle biorąc jest to układ nieinercjalny.
Jednak

z

wystarczająco

dobrym

przybliżeniem Ziemię możemy uważać za
układ inercjalny, o ile tylko będziemy
rozpatrywać ruch w przedziałach czasu
krótkich w porównaniu z okresem ruchu
postępowego

i

obrotowego

Ziemi.

Szczególnie niewielką rolę odgrywa, przy
występujących w praktyce prędkościach,
siła Coriolisa.

Układ nazywamy inercjalnym gdy
przyśpieszenie jest tylko skutkiem siły
działającej na ciało.

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch postępowy

Rys. 8



x



Ostatecznie:

Dla punkt materialny będzie poruszał
się w dół. W przeciwnym przypadku punkt będzie
poruszał się do góry.

Gdy , punkt pozostanie w spoczynku
lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym (względem
ruchomej płaszczyzny).



tg

g

a

u





tg

g

a

u



x

RUCH WZGLĘDNY PUNKTU MATERIALNEGO

– układ ruchomy wykonuje ruch obrotowy

Rys. 9

Ruch punktu wzdłuż prostej l opisuje
równanie



s

Rozwiązaniem ogólnym będzie
wyrażenie

Przykład 1