TEMAT 7:

TRANSFORMACJA UKŁADU 

ODNIESIENIA

http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html
http://osilek.mimuw.edu.pl/index.php?title=CAD_w_grafice_in%C5%BCynierskiej

W rzutach Monge’a stosuje się 3 rodzaje transformacji:



transformację położenia, tzn. zmianę pierwotnego 
położenia figur w przyjętym układzie odniesienia x(

1

,

2

), np. 

poprzez obrót figury lub kład figury.



transformację odwzorowania, tzn. zmianę sposobu 
pierwotnego odwzorowania figur w przyjętym układzie 
odniesienia x(

1

,

2

) poprzez wprowadzenie nowego kierunku 

rzutowania (zwykle określonego prostą czołową lub poziomą)



transformację układu odniesienia, tzn.  zmianę 
pierwotnego układu odniesienia x(

1

,

2

) na nowy układ 

odniesienia x

1

(

1

,

3

) lub x

1

(

2

,

3

)

RODZAJE TRANSFORMACJI

Transformacje stosuje się po to aby, np.:



znaleźć wielkość rzeczywistą figury (nie jest podana przecież 
wprost), np. długość odcinka;



znaleźć kąt rzeczywisty pomiędzy np. dwiema prostymi;



odległość pomiędzy dwoma elementami, np. punktem i 
płaszczyzną.

ZASTOSOWANIE TRANSFORMACJI

Dany jest układ odniesienia x(

1

,

2

) i punkt  A(A’,A’’). 

Wprowadźmy do tego układu dodatkową płaszczyznę poziomo-
rzutującą 

3

 (czyli 

3 

 

1

) , która przecina rzutnię 

1

 wzdłuż prostej 

x

1,3

. 

Płaszczyznę 

3

 nazywamy trzecią rzutnią, a prostą x

1,3 

– osią 

rzutów nowego układu odniesienia.
Wyznaczmy trzeci rzut prostokątny punktu A na trzecią rzutnię 
(wysokość nie zmienia się!). 
Rzutnię 

1 

przyjmijmy za płaszczyznę rysunku i rzutnię 

3

 sprowadźmy 

do płaszczyzny rysunku. 
Otrzymaliśmy punkt A(A’,A’’’) w nowym płaskim układzie odniesienia 
x(

1

,

3

):

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Analogicznie, jeśli wprowadzimy jako trzecią rzutnię płaszczyznę 
pionowo-rzutującą, to sytuacja będzie wyglądała następująco:

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

x

1,2

A’

A’’

A’’’

w

g1

g

w

g1

x

1,3

x

3,4

A

IV

w1

x

1,2

A’

A’’

A’’’

w

w1

g

g

w1

x

2,3

x

3,4

A

IV

g1

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 1
Rzeczywista wielkość figury płaskiej leżącej na płaszczyźnie rzutującej 

(poziomo).

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 1
Rzeczywista wielkość figury płaskiej leżącej na płaszczyźnie rzutującej 

(poziomo).

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 1
Rzeczywista wielkość figury płaskiej leżącej na płaszczyźnie rzutującej 

(poziomo).

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 2
Odległość punktu od płaszczyzny danej śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 2
Odległość punktu od płaszczyzny danej śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 2
Odległość punktu od płaszczyzny danej śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 3
Odległość punktu od płaszczyzny danej trójkątem ABC (trzema 

punktami). 

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 3
Odległość punktu od płaszczyzny danej trójkątem ABC (trzema 

punktami). 

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 3
Odległość punktu od płaszczyzny danej trójkątem ABC (trzema 

punktami). 

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 4
Długość odcinka w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 4
Długość odcinka w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 4
Długość odcinka w położeniu dowolnym.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 5
Odległość między płaszczyznami równoległymi danymi śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 5
Odległość między płaszczyznami równoległymi danymi śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Jednokrotna zmiana rzutni

Przykład 5
Odległość między płaszczyznami równoległymi danymi śladami.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym. 

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym. 

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym. 

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym. 

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 6
Rzeczywista wielkość figury płaskiej w położeniu dowolnym. 

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 7
Odległość między punktem a prostą w przestrzeni.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 8
Kąt między prostymi przecinającymi się.

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Podwójna zmiana rzutni

Przykład 9
Odległość między prostymi skośnymi

Źródło: http://fluid.itcmp.pwr.wroc.pl/~eichler/program.html

TRANSFORMACJA UKŁADU ODNIESIENIA

Przykład

Przykład 10
Dane są rzuty dwóch prostych równoległych a i b. 

Wyznaczyć odległość między prostymi oraz rzuty A(A’,A’’) dowolnego 
punktu równoodalonego od obydwu prostych.

x

1,2

m’’

m’

n’’

n’

RZUTNIA BOCZNA 

jako szczególny przypadek transformacji

Dwa rzuty jednoznacznie określają położenie figury w 
przestrzeni,  jeśli oznaczone są rzuty poszczególnych punktów 
tej figury. 
Na rysunkach technicznych nie oznacza się rzutów 
poszczególnych punktów i wówczas może być problem z 
jednoznacznym odtworzeniem figury. 
Wówczas należy podać trzeci rzut na tzw. rzutnię boczną.

x

m’=m’’

?

x

m’=m’’

z

y

y

m’’’

RZUTNIA BOCZNA 

jako szczególny przypadek transformacji

Rzutnia boczna, jest szczególnym przypadkiem transformacji układu 
odniesienia, w którym nowowprowadzona rzutnia 

3

  jest pionowo-

rzutująca  i 

1

. 

Często rzutnię boczną wprowadza się też aby uprościć sposób 
rozwiązania zadania.

x

1,2

A’

A’’

x

2,3

A’’’

w

g

g

DZIĘKUJĘ...