Weryfikacja hipotez 

statystycznych

PROCEDURA

Procedura weryfikacji odbywa się przy 
wykorzystaniu narzędzi statystycznych 
zwanych testami. Szczególnie miejsce wśród 
nich zajmują testy istotności. Procedura 
tych testów pozwala, na podstawie wyników 
uzyskanych z próby losowej, na podjęcie 
jednej z dwóch alternatywnych decyzji:

• o odrzuceniu hipotezy sprawdzanej,
• o stwierdzeniu braku podstaw do jej 

odrzucenia. 

2

RODZAJE BŁĘDÓW

• Błąd pierwszego rodzaju – odrzucenie 

hipotezy pomimo, iż jest ona 
prawdziwa

• Błąd drugiego rodzaju – przyjęcie 

hipotezy fałszywej

3

Procedura postępowania

• Postawienie hipotez (hipotezy sprawdzanej 

i konkurencyjnej wobec niej)

• Przyjmujemy poziom istotności α
• z populacji generalnej losowana jest próba 

statystyczna i na podstawie wyników z tej 
próby ustalana jest wartość statystyki 
empirycznej  t

emp  

• dla przyjętego poziomu istotności – z 

odpowiednich tablic – odczytywana jest 
wartość statystyki teoretycznej t

t

 określanej 

również mianem wartości krytycznej,

4

Procedura c.d.

• porównujemy wartości statystyki 

empirycznej i teoretycznej i w przypadku:

 Test dwustronny:

- jeżeli                  odrzucamy hipotezę 
zerową

- jeżeli                 brak podstaw do 
odrzucenia hipotezy zerowej

5

t

emp

t

t



t

emp

t

t



Test prawostronny:

- jeżeli             odrzucamy hipotezę 
zerową

- jeżeli               brak podstaw do 
odrzucenia hipotezy zerowej

Test lewostronny:

- jeżeli            odrzucamy hipotezę zerową

  - jeżeli              brak podstaw do 

odrzucenia hipotezy zerowej

6

t

emp

t

t 

t

emp

t

t 

t

emp

t

t





t

emp

t

t





Weryfikacja hipotezy 
dla wartości średniej

7

Procedura

• Postawienie hipotez

H

0

 :  E(x) = E

0

(x)

H

1

 :  E(x) ≠E

0

(x)

H

1

 :  E(x) >E

0

(x)

H

1

 :  E(x)< E

0

(x)

• Założenie poziomu istotności α
• Wylosowanie z populacji generalnej 

próby – może to być próba mała ( n≤ 
30) bądź próba duża (n> 30)

8

Próba mała 

• Ustalamy dla próby średnią arytmetyczną oraz 

odchylenie standardowe

• z tablic rozkładu t Studenta odczytujemy 

wartość statystyki teoretycznej według reguły
- w przypadku testu dwustronnego: dla k= n-1 
oraz założonego poziomu istotności α
- dla testu jednostronnego: dla k = n-1 oraz 2·α

• Zgodnie z zasadami porównanie obu statystyk

9

 

 

1

·

0







n

x

s

x

E

x

t

emp

Próba duża 

• Pobranie z populacji dużej próby i 

ustalenie dla niej średniej arytmetycznej i 
S(x)

• Odczytanie z tablic dystrybuanty statystyki 

teoretycznej:
- dla testu obustronnego 
- dla testu jednostronnego dla 0,5 – α

• Porównanie obu statystyk

10

 

 

n

x

s

x

E

x

t

emp

·

0





2

5

,

0





Przykład 1

Zakłada się, że średni czas przepisywania na 
komputerze jednej strony tekstu wynosi 5,8 
minuty. W celu sprawdzenia założenia do 
próby pobrano  29 maszynistek i zebrano 
informacje o czasie przepisywania tekstu. 
Informacje te przedstawia poniższy szereg. 
Hipotezę zweryfikować przyjmując poziom 
istotności 0,01.

11

x

n

<3,8 – 4,4)

5

<4,4 - 5,0)

10

<5,0 – 5,6)

12

<5,6 -6,2)

2

12

Przykład 2

Zakłada się, że średnia waga 
tabliczki czekolady w całej populacji  
jest mniejsza od 100 g. W celu 
zweryfikowania hipotezy do próby 
pobrano w sposób losowy 70 
tabliczek czekolady , których średnia 
waga wyniosła 93 g z odchyleniem 
standardowym 1 g. Przy 
weryfikowaniu hipotezy przyjąć 
poziom istotności 0,05. 

13

Weryfikacja hipotezy 

dla dwóch średnich

14

Procedura

• Postawienie hipotez

• Założenie poziomu istotności
• Wylosowanie z obu populacji prób dużych, 

albo małych

15

 

 

x

E

x

E

H

2

1

0

:



 

 

x

E

x

E

H

2

1

1

:



 

 

x

E

x

E

H

2

1

1

:



 

 

x

E

x

E

H

2

1

1

:



Mała próba

• Losujemy z obu populacji próby (małe próby) i 

ustalamy dla nich wartości średnie z 
odchyleniami standardowymi

• Odczytujemy z tablic rozkładu studenta 

statystykę teoretyczną
- test dwustronny: dla  k= n

1

 +n

2

 -2  oraz α

- test jednostronny: dla k= n

1

 +n

2

 -2  oraz 2 α

• Porównujemy obie statystyki

16

 

 

























2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

2

n

n

n

n

x

s

n

x

s

n

x

x

t

emp

Duża próba

• Z obu populacji losujemy duże próby dla 

których ustalamy średnie arytmetyczne 
oraz odchylenia standardowe

• Odczytujemy z tablic dystrybuanty rozkładu 

normalnego statystykę teoretyczną

  - test dwustronny dla

- test jednostronny  dla 0,5 - α  

• Porównujemy obie statystyki  

17

 

 

2

2

2

1

2

1

2

1

n

x

s

n

x

s

x

x

t

emp







2

5

,

0





Przykład 3

Wysunięto hipotezę, kobiety uzyskują 
lepsze oceny z egzaminów z matematyki 
niż mężczyźni. Na I roku UE wylosowano do 
próby  14 mężczyzn i 18 kobiet i uzyskano 
dla obu prób następujące informacje:
próba mężczyzn: średnia ocena  3,2 z S(x) 
= 0,9
próba kobiet: średnia ocena 3,8 z S(x) = 
0,6 
Hipotezę zweryfikować przy poziomie 
istotności 0,1. 

18

Przykład

Rozkład tygodniowego czasu 
poświęconego na naukę poza uczelnią jest 
cechą o rozkładzie normalnym. Zakłada 
się, że studenci drugiego roku UE 
poświęcają więcej czasu na naukę niż 
studenci roku 3.  W celu zweryfikowania 
hipotezy pobrano z obu populacji próby 
liczące odpowiednio: II rok próba równa 40 
osób i III rok próba licząca 50 osób. 
Uzyskano dla nich następujące  informacje 
o czasie poświęcanym na naukę poza 
uczelnią 

19

Studenci II roku

Studenci III roku

20

X

2 

 (w h)

n

2

<0-6)

11

<6-12)

14

<12-18)

12

<18-24)

6

X

1 

 (w h)

n

1

<0- 7)

9

<7-14)

22

<14-21)

7

Weryfikacja hipotezy 

dla współczynnika 

korelacji

21

Procedura

• Postawienie hipotez

• Założenie poziomu istotności
• Pobranie z populacji generalnej małej 

próby i ustalenie dla niej współczynnika 
korelacji liniowej Pearsona

22

0

:

0





H

0

:

1





H

0

:

1





H

0

:

1





H

• Wyznaczenie statystyki teoretycznej

• Odczytanie z tablic rozkładu t studenta 

statystyki teoretycznej:
- w przypadku testu dwustronnego: dla k = n-
2 oraz α
- w przypadku testu jednostronnego: dla k= n-
2 oraz  2

α

• Porównanie obu statystyk
 

23

 

2

·

1

2







n

r

r

t

P

P

emp

Przykład 5

Zakłada się, że istnieje dodatnia zależność 
pomiędzy  stażem pracy a wysokością 
uzyskanej kwartalnej premii. W celu 
zweryfikowania hipotezy do próby pobrano 
15 pracowników pewnego 
przedsiębiorstwa i zebrano od nich 
informacje o stażu pracy (cecha x w 
latach) oraz wysokości uzyskanej 
kwartalnej premii (cecha y w tys. złotych). 
Przy weryfikacji hipotezy przyjąc poziom 
istotności 0,01. 

24

25

lp

x( lat)

y (tys. zł)

1

20

2,5

2

11

1,6

3

5

0,7

4

10

1,2

5

26

2,5

6

20

1,7

7

13

1,0

8

15

0,9

9

22

2,3

10

20

1,9

11

25

2,6

12

28

3,0

13

15

1,4

14

13

0,8

15

10

1,1

Test niezależności 

2



Procedura

• Sformułowanie i postawienie hipotez

• Założenie poziomu istotności 
• Pobranie z populacji generalnej dużej 

próby i zebranie informacji o wartościach 
dwóch cech (informacje zestawia się w 
tablicy korelacyjnej) 

27

j

i

ij

f

f

f

H

·

:

0



j

i

ij

f

f

f

H

·

:

1













j

i

j

i

j

i

ij

emp

f

f

N

f

f

N

n

t

,

2

·

·

·

·

• Odczytanie z tablic rozkładu         dla           

         

                        oraz  α statystyki 

teoretycznej

• Porównanie obu statystyk i podjecie 

decyzji odnośnie hipotezy zerowej          

28

2



   

1

·

1 





s

l

k

Przykład

Dla losowej próby bezrobotnych 
zarejestrowanych w Powiatowym Urzędzie 
Pracy w „K” zebrano informacje dotyczące 
ich poziomu wykształcenia (X) oraz czasu 
pozostawania bez pracy (Y). Wyniki 
badania ujęto w poniższej tablicy 
korelacyjnej. Na poziomie istotności 0,05 
zweryfikować hipotezę o niezależności 
czasu pozostawania bez pracy od poziomu 
wykształcenia bezrobotnych.

29

30

CZAS 
POZOSTAWANIA 

BEZ PRACY W 
MIESIĄCACH

POZIOM WYKSZTAŁCENIA

podstawowe średnie

wyższe

do 6

15

15

15

45

6 - 12

25

25

10

60

12 - 24

30

15

10

55

70

55

35

16

0

i

n

j

n