NIERÓWNOŚCI
KWADRATOWE
NIERÓWNOŚCI
KWADRATOW
E
NIERÓWNOŚCI
KWADRATOWE
NIERÓWNOŚCI
KWADRATOW
E
Aby rozwiązać nierówność z niewiadomą x należy
wyznaczyć zbiór tych wartości x, dla których
nierówność jest spełniona.
Kolejne kroki rozwiązywania nierówności kwadratowej:
• musimy wyznaczyć współczynniki a, b, c dla funkcji
kwadratowej,
• obliczyć deltę (wyróżnik funkcji kwadratowej),
• w zależności od delty wyznaczyć miejsca zerowe,
• narysować wykres funkcji kwadratowej – nie musi być
dokładny, wystarczą miejsca zerowe i informacja o
tym, czy
ramiona skierowane są do góry czy na dół,
• zaznaczyć na osi liczbowej kółeczka zamalowane lub
nie
w zależności od nierówności,
• z wykresu odczytać zbiór wartości x, dla których
nierówność jest spełniona.
Wykonując powyższe kroki rozwiążemy nierówności
kwadratowe.
o
-4
x
o
-1
+
-
+
x
2
+5x+4 > 0
a=1 b=5 c=4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 5
2
- 4·1·4
Δ = 25 -16
Δ = 9
Δ
>
0
- wyznaczamy dwa
miejsca zerowe
-x
2
-2x+3 > 0
a=-1 b=-2 c=3
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-2)
2
- 4·(-1)·3
Δ = 4+12
Δ = 16
Δ
>
0
- wyznaczamy dwa
miejsca zerowe
o
-3
x
o
1
+
-
-
·
x
-1
+
-
+
2x
2
+2x ≥ 0
a=2 b=2 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 2
2
- 4·2·0
Δ = 4 -0
Δ = 4
Δ
>
0
- wyznaczamy dwa
miejsca zerowe
·
0
·
x
-5
-
-
+
-3x
2
-12x+15 ≤ 0
a=-3 b=-12 c=15
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-12)
2
- 4·(-3)·15
Δ = 144 + 180
Δ = 324
Δ
>
0
- wyznaczamy dwa
miejsca zerowe
·
1
x
o
-2
+
+
2x
2
+8x+8 > 0
a=2 b=8 c=8
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 8
2
- 4·2·8
Δ = 64 -64
Δ = 0
- wyznaczamy jedno
miejsce zerowe
x
3
+
+
3x
2
-18x+27 ≥ 0
a=3 b=-18 c=27
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-18)
2
- 4·3·27
Δ = 324 - 324
Δ = 0
- wyznaczamy jedno
miejsce zerowe
·
x
o
1
-
-
-4x
2
+8x-4 > 0
a=-4 b=8 c=-4
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 8
2
- 4·(-4)·(-4)
Δ = 64 -64
Δ = 0
- wyznaczamy jedno
miejsce zerowe
x
-3
-
-
-2x
2
-12x-18 ≤ 0
a=-2 b=-12 c=-18
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-12)
2
- 4·(-2)·(-18)
Δ = 144 - 144
Δ = 0
- wyznaczamy jedno
miejsce zerowe
·
x
+
+
2x
2
+x+3 > 0
a=2 b=1 c=3
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 1
2
- 4·2·3
Δ = 1 - 24
Δ = -23
– funkcja kwadratowa
nie ma miejsca zerowego
+
x
-
-x
2
+2x-6 ≤ 0
a=-1 b=2 c=-6
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 2
2
- 4·(-1)·(-6)
Δ = 4 - 24
Δ = -20
– funkcja kwadratowa
nie ma miejsca zerowego
-
-
x
-
-3x
2
-x-6 ≥ 0
a=-3 b=-1 c=-6
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-1)
2
- 4·(-3)·(-6)
Δ = 1 - 72
Δ = -71
– funkcja kwadratowa
nie ma miejsca zerowego
-
-
x
+
+
2x
2
+8 < 0
a=2 b=0 c=8
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 0
2
- 4·2·8
Δ = 0 - 64
Δ = -64
– funkcja kwadratowa
nie ma miejsca zerowego
+
-(x+1)
2
+2(x-3)
2
< 17
-(x
2
+2x+1)+2(x
2
-6x+9) < 17
-x
2
-2x-1+2x
2
-12x+18 < 17
x
2
-14x+17 < 17
x
2
-14x < 0
a=1 b=-14 c=0
Δ = b
2
- 4ac
Δ = (-14)
2
– 4·1·0
Δ = 196-0
Δ = 196
– wyznaczamy dwa miejsca zerowe
o
0
x
o
14
+
-
+
x
-
-
+
o
-8
o
0
(x+2)
2
-2(x+3)
2
< -14
x
2
+4x+4-2(x
2
+6x+9) < -14
x
2
+4x+4-2x
2
-12x-18 < -14
-x
2
-8x-14 < -14
-x
2
-8x < 0
-x(x+8) < 0
-x=0
∨
x+8=0
x
1
=0
∨
x
2
=-8
a=-10 b=5 c=-1
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 5
2
– 4·(-10)·(-1)
Δ = 25-40
Δ = -15
x
-
-
-
a=-8 b=5 c=2
Δ = b
2
- 4ac
Δ = 5
2
– 4·(-8)·2
Δ = 25+64
Δ = 89 –
wyznaczamy dwa miejsca
zerowe
x
x
2
-
-
+
x
1
·
·