Definicja:
Funkcją potęgową o wykładniku
c ( c 0 )
nazywamy
funkcję x
y = x
c
I. Niech
c N
+
i
c
jest liczbą nieparzystą .
Narysujmy wykresy funkcji :
1) y = x
1
2) y = x
3
3) y = x
5
x
y
y = x
3
y = x
5
1
1
-1
-1
y
=
x
x
y
y = x
3
y = x
5
1
1
-1
-1
Własności:
D =R
Y =R
ma miejsce zerowe
jedno
x
0
= 0
.
f
w R
parzystość:
jest nieparzysta
różnowartościowość:
jest różnowartościowa
.
.
II. Niech
c N
+
i
c
jest liczbą parzystą .
Narysujmy wykresy funkcji :
1) y = x
2
2) y = x
4
3) y = x
6
x
y
1
1
y
=
x
2
-1
y
=
x
4
y
=
x
6
x
y
1
1
2
-1
y
=
x
4
y
=
x
6
Własności:
D =R
Y =
R
+
{ 0 }
ma miejsce zerowe
jedno
x
0
= 0
.
f
w R
+
parzystość:
jest parzysta
różnowartościowość:
nie jest różnowartościowa
f
w R
-
.
.
III. Niech
c C
-
i
c
jest liczbą nieparzystą .
Narysujmy wykresy funkcji :
1) y = x
–1
=
2) y = x
–3
=
1
1
x
x
3
Z : x 0
x
y
1
-1
1
-1
y = x
-1
y = x
–3
Własności:
D =
R \ { 0 }
Y =
R \ { 0 }
miejsca zerowe:
f
w R
-
parzystość:
jest nieparzysta
różnowartościowość:
jest różnowartościowa
x
y
1
-1
1
-1
y = x
-1
nie ma miejsc zerowych
f
w R
+
y = x
–3
.
.
IV. Niech
c C
-
i
c
jest liczbą parzystą .
Narysujmy wykresy funkcji :
1) y = x
–2
=
2) y = x
–4
=
1
1
x
2
x
4
Z : x 0
x
y
0
1
1
-1
y = x
-2
y = x
-4
x
y
0
1
1
-1
y = x
-2
y = x
-4
Własności:
D =
R \ { 0 }
Y =R
+
miejsca zerowe:
f
w R
-
parzystość:
jest parzysta
różnowartościowość:
nie jest różnowartościowa
nie ma miejsc zerowych
f
w R
+
.
.
V. Niech
c W
Aby narysować wykres funkcji
y =x
1
2
dla x R
+
{ 0 } należy
zauważyć , że funkcja
y = x
1
2
jest funkcją odwrotną do
y = x
2
Funkcja y = x
2
w zbiorze R
+
{ 0 } jest
różnowartościowa
zatem :
y= x
y
2
1
= x
Zamieniając zmienne otrzymujemy
y = x
1
2
Wykresy funkcji i funkcji do niej odwrotnej są symetryczne
względem dwusiecznej ćwiartki I i III , czyli prostej
y = x
Przypomnienie:
Obrazem punktu
P ( x , y )
w symetrii osiowej
względem prostej
y = x
jest punkt
P ( y , x)
.
x
y
2
4
4
2
(2,2)
(4,2)
(2,4)
(4,4)
Zatem :
Aby narysować wykres funkcji
y = x
1
2
Najpierw rysujemy wykres funkcji
y = x
2
w R
+
{ 0 } ,
a następnie przekształcamy go symetrycznie względem prostej :
y = x
x
y
1
1
0
( 1 , 1 )
4
4
y = x
2
2
( 2 , 4 )
( 4 , 2 )
y = x
1
2
2
y
=
x
Ćwiczenie:
1. Sporządź wykres funkcji :
y = x
3
+ 1
Etapy konstrukcji :
a ) rysujemy wykres funkcji
y = x
3
x
y
1
1
y = x
3
b) przekształcamy go przez T
u
u= [ 0,1 ]
y = x
3
+ 1
Czy jest to funkcja potęgowa?
NIE
Ćwiczenie:
2. Sporządź wykres funkcji :
y = x
4
- 3
Etapy konstrukcji :
a ) rysujemy wykres funkcji
y = x
4
x
y
1
1
b) przekształcamy go przez T
u
u
= [ 0,-3 ]
Czy jest to funkcja potęgowa?
NIE
y = x
4
-3
y = x
4
- 3
Ćwiczenie:
3. Sporządź wykres funkcji :
y = 2 - x
4
Etapy konstrukcji :
a ) rysujemy wykres funkcji
y = x
4
x
y
1
1
b) przekształcamy go przez
S
x
Czy jest to funkcja potęgowa?
NIE
y = x
4
2
y =
-x
4
i otrzymujemy wykres
y = - x
4
c) otrzymany wykres przekształcamy
przez T
u ,
u [ 0 , 2 ]
y = 2 - x
4
Ćwiczenie:
4. Sporządź wykres funkcji :
y = -x
-4
+ 2
Etapy konstrukcji :
a ) rysujemy wykres funkcji
y = x
-4
c) a następnie przez T
u
u= [ 0 , 2 ]
Czy jest to funkcja potęgowa?
NIE
b) przekształcamy go przez
S
x
i otrzymujemy wykres
x
y
1
1
-1
y = x
-4
-1
y = -x
-4
y = -x
-4
y = -x
-4
+ 2
5. Sporządź wykres funkcji
y = x
Ćwiczenie:
1
3
gdy x R
+
{ 0 }
Etapy konstrukcji:
a) Rysujemy wykres funkcji
y = x
3
x
y
1
1
y = x
3
b) Przekształcamy go przez symetrię
osiową względem prostej
y = x
y
=
x
y = x
3
1
Czy jest to funkcja potęgowa?
TAK
