Rozkład liczby jaj w gniazdach dwóch gatunków 

ptaków

0

2

4

6

8

1

2

3

3

4

5

6

7

8

0

2

4

6

8

1

2

3

3

4

5

6

7

8

N

N

liczba jaj 

liczba jaj 

Próbę (populację) charakteryzuje się 

za pomocą następujących statystyk 

(parametrów):

• Miary położenia

• centralne

 - charakteryzują 

przeciętny 

poziom wartości 

zmiennej

•

 

kwantyle

 - wartości zmiennej, 

które 

dzielą uporządkowany 

zbiór danych na 

określone części

•

 

Miary (wskaźniki) rozproszenia 

- 

oceniają 

rozrzut wartości 

zmiennej 

• klasyczne

• pozycyjne

• Miary zmienności

Modalna 

(Moda) (M

0

)- wartość zmiennej, która występuje 

najczęściej

CENTRALNE MIARY 

POŁOŻENIA

0

20

40

60

80

100

1

2

3

4

5

6

Liczba plam na pokrywie pewnego gatunku chrząszcza

Rozkład jednomodalny

N

Modalna

0

20

40

60

80

100

1

2

3

4

5

6

3,5

N

• dla małych prób wyznaczenie mody jest często 
problematyczne

• w praktyce ma bardzo ograniczone zastosowanie

Modalna

1

-

1

0

1

-

0

0

n

-

n

-

n

*

2

n

-

n

*

h

x

Mo







Dla szeregów rozdzielczych wartość modalną oblicza 
się ze wzoru interpolacyjnego

x

0

 - dolna granica przedziału mody (modalnego)

h - szerokość przedziału
n

0

 -  liczebność w przedziale mody

n

0+1 

- liczebność przedziału następnego po modalnym 

n

0-1

 - liczebność przedziału poprzedzającego

Dla szeregów rozdzielczych (nawet gdy próba jest duża) jej 

wartość jest uzależniona od przyjętego podziału na 

klasy

Rozkłady wielomodalne

 

(świadczą o niejednorodności  zbioru danych)

0

20

40

60

80

100

1

2

3

4

5

6

Liczba plam na pokrywie pewnego gatunku chrząszcza

Rozkład dwumodalny

(bimodalny)

0

20

40

60

80

100

1

2

3

4

5

6

Rozkład trójmodalny

(trimodalny)

CENTRALNE MIARY POŁOŻENIA

Średnia arytmetyczna

 - suma wszystkich wartości 

zmiennej 
podzielona przez ich liczebność

•służy do oszacowania średniej populacji; wraz ze 

wzrostem liczebności próby jej wartość jest coraz 
bliższa średniej populacji

•ma zastosowanie do danych w skali interwałowej i 

ilorazowej

•duży wpływ na jej wartość mają wartości skrajne 

zmiennej, zwłaszcza przy małej liczebności próby

• obliczanie jej dla rozkładów znacznie odbiegających 

od normalnego nie ma sensu

x

0

1

2

3

4

5

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

N

[mm]

Rozkład długości skrzydła pewnego gatunku motyla

2

5

,0

 m

m

N=16

2

5

,6

 m

m

N=17

0

20

40

60

80

100

120

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

N

[mm]

=27,4

x

Rozkład długości skrzydła pewnego gatunku motyla

Średnia arytmetyczna ważona

Stosuje się ją, gdy obliczamy średnią z już obliczonych 
średnich i gdy nie są one równocenne, np.: różna 
liczebność prób, różna powierzchnia badawcza z której 
pobrano próby, różna dokładność pomiarów. 

w

i

 - tzw. waga. Może to być np.liczebność próby, powierzchnia lasu, 

itp. Przy obliczaniu średniej z pomiarów mierzonych z różną 
dokładnością wagi są odwrotnością kwadratów błędu. 















n

i

1

i

i

n

i

1

i

i

i

w

w

x

*

w

x

Średnia arytmetyczna ważona

Należy obliczyć średnią pierśnicę sosen o określonym wieku, 
rosnących w danym kompleksie leśnym 

Osoba 

mierząc

a

Średnia

[cm]

N

A

75,0

5

B

68,3

20

C

69,2

30

D

60,5

100

7

,

63

)

100

30

20

5

(

)

100

*

5

,

60

(

)

30

*

2

,

69

(

)

20

*

3

,

68

(

)

5

*

0

,

75

(

w

x

*

w

x

n

i

1

i

i

n

i

1

i

i

i

w































=68,
2

x

Wynik obliczenia średniej ze średnich uzyskanych przez 
poszczególne osoby

Średnia arytmetyczna ważona

Należy obliczyć średnią pierśnicę sosen o określonym wieku, 
rosnących w danym kompleksie leśnym 

7

,

75

1

1

1

1

1

1

......

5

1

5

1

5

1

5

1

1

1

*

83

1

1

*

85

1

1

*

79

......

5

1

*

70

5

1

*

65

5

1

*

70

5

1

*

60

w

x

*

w

x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

n

i

1

i

i

n

i

1

i

i

i

w























































































































































































































=72,
0

x

Wynik obliczenia średniej ze wszystkich 
wyników

1) 60; 70; 65; 70; 55; 60; 80; 75; 75; 70 – dokładność 5 cm

2) 59; 71; 69; 82; 66; 78; 88; 79; 85; 83 – dokładność 1 cm

Dwie osoby otrzymały następujące wyniki w cm

Przy obliczaniu średniej z pomiarów mierzonych z różną dokładnością wagi są 
odwrotnością kwadratów błędu.

 

średnia geometryczna

 - stosuje się ją gdy wyniki 

zmieniają się w przybliżeniu w postępie geometrycznym. 
Np. obliczając średnią ze współczynników śmiertelności lub 
przyrostu w szeregach czasowych.

n

n

3

2

1

G

x

*

...

*

x

*

x

*

x

X 

średnia harmoniczna

 -służy do obliczania tzw. 

efektywnej wielkości populacji (genetyka populacyjna) lub 
przy obliczaniu średniej wartości z pomiarów, które różnią 
się od siebie o kilka rzędów wielkości.









n

i

1

i

i

H

x

1

n

x

• Można ją stosować do liczb dodatnich

• Pozwala nadać większe znaczenie mniejszym wartościom w zbiorze 
danych

 Obliczanie średniej geometrycznej ma sens tylko dla liczb 
nieujemnych
 Jeśli jeden z elementów jest równy 0, to średnia geometryczna też 
równa się 0.

KWANTYLE

KWANTYLE 

-

 

wartości, które dzielą zbiór danych na 

części o jednakowej liczbie elementów. 

Do najczęściej stosowanych należą:

• 

Kwartyle

 (wartości ćwiartkowe) - podział na 4 części

• mediana = drugi kwartyl (dzieli zbiór na 2 części)

• 

Decyle

 - podział na 10 części

•

 Percentyle

 (centyle) - podział na 100 części 

Mają zastosowanie do danych w skali interwałowej, 
ilorazowej i porządkowej

Obliczanie decyli ma sens gdy liczebność próby jest duża 
(N100)

Mediana

 (Me) – (drugi kwartyl) wartość środkowa, która 

dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe części. 
Oznacza to, że tyle samo pomiarów  znajduje się powyżej i 
poniżej mediany. Gdy liczba pomiarów jest  parzysta, to 
oblicza się średnią z dwóch sąsiadujących, środkowych 
elementów.

MEDIANA

•

 

na jej wartość nie mają wpływu wartości skrajne

• może być stosowana w przypadku rozkładów różnych od 
normalnego

• może być stosowana do skali interwałowej, ilorazowej i 
porządkowej

• żeby obliczyć medianę nie musimy dysponować wszystkimi 

pomiarami - trzeba tylko znać ich pozycję w 

uporządkowanym szeregu

np: 0, 1, 2, 5, 6, 7, 9      Me = 5

np: 0, 1, 2, 5, 6, 7, 9, 11      Me = 5,5

N

[mm]

0

1

2

3

4

5

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Rozkład długości skrzydła pewnego gatunku motyla

2

5

 m

m

N=16

N=17

2

5

 m

m

0

1

2

3

4

5

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

N

[mm]

2

5

,0

 m

m

Me=

x

W rozkładach symetrycznych mediana równa się średniej arytmetycznej

0

20

40

60

80

100

120

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

Me=33,5

N

[mm]

=32,5

x

Mediana i średnia arytmetyczna w rozkładach skośnych











 





o

o

o

F

2

N

*

n

h

x

Me

x

0

 - dolna granica przedziału mediany

h - szerokość przedziału
n

0

 -  liczebność w przedziale mediany

N - liczebność próby
F

0

 - liczebność skumulowana przedziału poprzedniego

Jeśli występują rangi wiązane, lub gdy dane 
pogrupowane są w szereg przedziałowy, to do 
obliczenia mediany zaleca się stosować wzór 
interpolacyjny

MEDIANA

OBLICZANIE MEDIANY DLA DANYCH CIĄGŁYCH

• Gdy liczba pomiarów jest nieparzysta, to medianę 

stanowi wartość środkowego elementu szeregu.

• Gdy liczba pomiarów jest parzysta, to oblicza się średnią 

z dwóch sąsiadujących, środkowych elementów.

• Jeśli dane pogrupowane są w szereg przedziałowy, to 

medianę stanowi środek przedziału, w którym ona się 
znajduje.

MEDIANA

OBLICZANIE MEDIANY DLA DANYCH NIECIĄGŁYCH

Liczba 

dni

N

1-4

32

5-9

16

10-13

2

14-17

2

Me=2,5

N=52

Dane nieciągłe

Ciężar 

nasiona 

[g]

N

1-4

32

5-9

16

10-13

2

14-17

2

Me=3,3

N=52

Dane ciągłe

Mediana ma też zastosowanie przy analizie zjawisk 
fenologicznych do obliczania środkowej (przeciętnej) daty 
np. przelotu, pojawu, kwitnienia itp.

data

1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V

7 V

8 V 9 V 10 V 11 V 12 V 13 V 14 V 15 V

liczebność

1

4 15 22 19 30

32

30

29

14

10

3

1

1

1

szereg 
skumulowany

1

5 20 42 61 91

123

153 182 196 206 209 210 211 212

szereg 
procentowy 
skumulowany

0

2

9 20 29 43

58

72

86

92

97

99

99 100 100

Liczba osobników pewnego gatunku rośliny zakwitających w kolejnych dniach

0

5

10

15

20

25

30

35

1 V

2 V

3 V

4 V

5 V

6 V

7 V

8 V

9 V 10 V 11 V 12 V 13 V 14 V 15 V

N

drugi kwartyl (Q

2

) = mediana

Pierwszy kwartyl

 (Q

1

) - 25% elementów zbioru ma wartości nie 

większe, a 75% nie mniejsze od tego elementu.

Trzeci  kwartyl

 (Q

3

) - 75% elementów zbioru ma wartości nie 

większe, a 25% nie mniejsze od tego elementu.

KWARTYLE

-3

-2

-1

0

1

2

3

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

25%

25%

25%

25%

wartości, które dzielą uporządkowany zbiór danych na 

cztery równe części

WYZNACZANIE PIERWSZEGO I 

TRZECIEGO KWARTYLA

 

A:  1, 2, 4, 5, 8, 12, 13, 18, 22  (N=9)

     

B: 1, 2, 4, 5, 8, 12, 13, 18,  22, 

25 (N=10)

4

X

Q

)

1

n

(

1





1

)

1

n

(

3

Q

X

Q







wynik zaokrągla się do najbliższej liczby 
będącej wielokrotnością 0,5

(13+18)/2=

25,5

X

(8)

=

18

OBLICZANIE KWARTYLI DLA DANYCH NIECIĄGŁYCH

)

5

,

2

(

)

1

9

(

1

4

X

X

Q







(2+4)/2=

3

)

5

,

7

(

)

5

,

2

(

)

1

9

(

1

X

X

X

Q









)

3

(

)

75

,

2

(

)

1

10

(

1

4

X

X

X

Q









(2+4)/2=

3

)

8

(

)

3

(

)

1

10

(

1

X

X

X

Q









Jeśli występują rangi wiązane, lub gdy dane pogrupowane są w 
szereg przedziałowy, to do obliczenia kwartyli zaleca się stosować 
wzór interpolacyjny











 





o

o

o

1

F

4

N

*

n

h

x

Q



















o

o

o

3

F

4

3N

*

n

h

x

Q

x

0

 - dolna granica przedziału pierwszego lub trzeciego 

kwartyla
h - szerokość przedziału
n

0

 -  liczebność przedziału pierwszego lub trzeciego 

kwartyla
N - liczebność próby
F

0

 - liczebność skumulowana przedziału poprzedniego

OBLICZANIE KWARTYLI DLA DANYCH CIĄGŁYCH

WYZNACZANIE PIERWSZEGO I 

TRZECIEGO KWARTYLA

 

WYZNACZANIE PIERWSZEGO I 

TRZECIEGO KWARTYLA

 

Liczba 

dni

N

2

2

3

32

4

16

5

2

Ciężar 

nasiona 

[g]

N

2

2

3

32

4

16

5

2

Me=3

N=52

Dane nieciągłe

Me=3,3

N=52

Dane ciągłe

Q

1

=3

Q

3

=4

Q

1

=2,8

Q

3

=3,7

MIARY ROZPROSZENIA

Rozkład liczby nasion w strąkach pewnej rośliny

0

2

4

6

1

2

3

3

4

5

6

7

8

9

N

N

0

2

4

6

8

10

1 2 3 3 4 5 6 7 8 9

 

Rozstęp

 - różnica między największą i najmniejszą 

wartością w zbiorze danych
Określają go tylko dwie skrajne wartości, a pozostałe 
pomiary nie mają wpływu na jego wartość 
Częściej podaje się zamiast niego zakres od 5% do 95% 
wszystkich wartości wokół średniej arytmetycznej (lub 
mediany)

 

Rozstęp międzykwartylarny

 (międzykwartylowy) 

(kwartylny) (odchylenie ćwiartkowe)

 - różnica miedzy 

trzecim i pierwszym kwartylem.
Jest to część zbioru danych zawierająca 50% wszystkich 
wartości wokół średniej arytmetycznej (lub mediany)

Me

Q

3

Q

1

Rozstęp

Odchylenie ćwiartkowe

Odchylenie standardowe i wariancja

1. Obliczyć średnią arytmetyczną
2. Odjąć od każdego elementu szeregu średnią - otrzymuje się 
odchylenia od 

średniej

3. Podnosimy każdą wartość odchylenia od średniej do kwadratu i 
sumujemy je  otrzymując sumę kwadratów odchyleń
4. Obliczamy wariancję

 

2

1

1

2

n

x

x

s

n

i

i











Odchylenie standardowe wyrażone jest w tych samych jednostkach, 
co średnia arytmetyczna

.

Informuje o ile średnio poszczególne pomiary różnią się od średniej, 
czyli jaki jest błąd bezwzględny pojedynczego wyniku.

Jest najważniejszą miarą rozrzutu danych wokół średniej

5. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji

Współczynnik zmienności

• Dotyczy tylko skali ilorazowej

• Wynik często mnoży się przez 100 aby wyrazić go w procentach

• Umożliwia porównanie zmienności szeregów statystycznych 
różniących się 

znacznie wartością średniej

x

s

V 

W przypadku małych prób stosuje się zmodyfikowany wzór

x

s

*

n

*

4

1

1

V











 



Wskaźnik różnorodności biologicznej

Dla danych w skali nominalnej

WSKAŹNIK RÓŻNORODNOŚCI SHANNON-

WIENERA

 

(wskaźnik Shanon-Weavera)

log - logarytm o podstawie dziesiętnej ale może być dowolny 
logarytm, ponieważ można przeliczać wartości logarytmów o różnej 
podstawie:

n

)

f

log(

*

f

)

n

log(

*

n

'

H

k

i

1

i











k - liczba kategorii; f - liczba obserwacji w danej kategorii

Wartości do przeliczania logarytmów o różnej podstawie

Podstawa 2 (log

2

) Podstawa e (ln) Podstawa 10 (log)

Podstawa 2 (log

2

)

1,0000

1,4427

3,3219

Podstawa e (ln)

0,6931

1,0000

2,3026

Podstawa 10 (log)

0,3010

0,4343

1,0000

Przeliczanie z:

Przeliczanie na:

max

'

H

'

H

'

J 

Wskaźnik jednorodności

 

(J’)

 odnosi 

obserwowaną różnorodność do maksymalnej 
możliwej różnorodności:

Teoretyczna, maksymalna 

różnorodność

)

k

log(

'

H

max



• 

Jeśli na 20 drzew aż 19 to brzozy, mówimy o bardzo niskiej 

zmienności 

(różnorodności)

• Jeśli na 20 drzew odnotowaliśmy po 5 brzóz, grabów, klonów i 
buków, 

mówimy o bardzo wysokiej zmienności 

(różnorodności)

 wartość współczynnika różnorodności zależy od liczby kategorii (gatunków)

PRZYKŁAD: 

H’=0,68

  (k=5)

H’=0,68  

(k=10)

H’max= log 5 = 0,6989 = 0,70

H’max= log 

10 = 1,00

J’ = 0,97

J’=0,68

PODSUMOWANIE

M ia r y   p o ło ż e n ia

Ś r e d n ia   a r y tm e ty c z n a

M e d ia n a

( k w a n t y le )

M o d a ln a

S k a l a   i n te r w a ło w a

Ś r e d n ia   a r y tm e t y c z n a

M e d ia n a

( k w a n ty le )

M o d a ln a

S k a l a   i l o r a z o w a

M e d ia n a

( k w a n ty le )

M o d a ln a

S k a l a   p o r z ą d k o w a

S k a l a   n o m i n a l n a

• 

Rozkład jednomodalny i względnie symetryczny - 

średnia arytmetyczna

• Rozkład jednomodalny i niesymetryczny - 

mediana

• Rozkład wielomodalny - 

wartości modalne

 

Do skali porządkowej nie stosuje się wzorów interpolacyjnych

PODSUMOWANIE

M ia r y   r o z p r o s z e n ia   i  z m ie n n o ś c i

O d c h y le n ie

s t a n d a r d o w e

R o z s t ę p y

S k a l a   i n te r w a ło w a

W s p ó łc z y n n ik

z m ie n n o ś c i

O d c h y le n ie

s t a n d a r d o w e

R o z s tę p y

S k a l a   i l o r a z o w a

R o z s t ę p y

S k a l a   p o r z ą d k o w a

W s k a ź n ik

r ó ż n o r o d n o ś c i

S k a l a   n o m i n a l n a

•

 

Średnia arytmetyczna ------ 

Odchylenie standardowe

•

 

Mediana ------------------------ 

Odchylenie ćwiartkowe

MIARA SKOŚNOŚCI (SYMETRII) ROZKŁADU

średnia arytmetyczna = 3,0
odchylenie standardowe = 1,11

N

N

N

MIARA SKOŚNOŚCI (SYMETRII) ROZKŁADU

Współczynnik skośności (asymetrii) rozkładu

• gdy jest równy 0 – rozkład idealnie symetryczny 

(A)

• gdy jest dodatni – rozkład prawoskośny 

(B)

• gdy jest ujemny – rozkład lewoskośny 

(C)

(A)

(B)

(C)

MIARA KONCENTRACJI (SPŁASZCZENIA) ROZKŁADU

Kurtoza

 

• gdy jest równa 0 – rozkład normalny (mezokurtyczny) 

(A)

• gdy jest dodatnia – rozkład wysmukły (leptokurtyczny) 

(B)

• gdy jest ujemna – rozkład spłaszczony (platykurtyczny) 

(C)

(A
)

(B
)

(C)

Wykres ramkowy

(wykres „pudełko z wąsami”)

10

20

12

14

16

18

[kg]

10

20

12

14

16

18

[kg]

x

+ s

- s

max

min

max

min

Me

Q3

Q1

Dla średniej arytmetycznej

Dla mediany

Skośność = 1,30

Rozkład prawoskośny

Rozkład symetryczny

Skośność = 0,11

Wykres ramkowy