Zasady tworzenia modelu 

matematycznego dynamiki w 

oparciu o model fizyczny: 

wyodrębnienie układu z otoczenia, 

założenia upraszczające

Prezentację przygotował:

Tomasz Paciepnik
149473

Co to jest model 
matematyczny?

Przez model matematyczny rozumiemy 
opis wzorów i wyników ilościowych 
opisujących, statyczne, dynamiczne, 
niezawodnościowe, energetyczne, 
strukturalne, funkcjonalne i logiczne 
związki pomiędzy wielkościami 
występującymi w opisywanym obiekcie 
(urządzeniu, systemie, procesie)

W jaki sposób powstaje model 

matematyczny?

Model 

matematyczny 

powstaje 

na 

podstawie  znajomości  praw  fizycznych  i 
chemicznych 

rządzących 

układem. 

Powinien  on  potem  ulec  weryfikacji 
doświadczalnej (identyfikacja). 

Fazy procesu modelowania 
matematycznego

I Przyjęcie założeń upraszczających (hipotez roboczych)

II Ułożenie modelu matematycznego w postaci ukł. równań, 
schematów bloko- 
    wych, grafów, itp.

III Realizacja modelu matematycznego

IV Weryfikacja opracowanego modelu

V Wykorzystanie modelu do celów związanych z procesami 
projektowania 

Założenia upraszczające – pomijanie 
małych wpływów

Pomijanie małych wpływów upraszcza analizę zmiennych  i stopień 
skomplikowania równań ruchu. Komplikacja analizy rośnie wraz z 
większą liczbą części „ruchomych” układu.

PRZYKŁAD :  Zderzak 

hydrauliczny:

mẍ + kx + S

0

 = A∆p

S

0 

- pomijalnie mały wpływ napięcia wstępnego sprężyny

    

      x

      p

          k ,S

0

     A             G

m

Założenia upraszczające – zastępowanie 
parametrów rozłożonych skupionymi 

Zamiast równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych 
można opisać układ równaniami różniczkowymi 
zwyczajnymi.

Przykład:
Masa  ciągła  na  belce  jest 
zamieniana  na  kilka  mas 
skupionych (równych sobie i w 
jednakowych  odstępach).  W 
zderzeniu 

wagonów 

przyjmujemy  masę  skupioną 
żeby  nie  brać  pod  uwagę 
żadnych 

momentów 

siły 

(skupiona  masa  w  centralnym 
punkcie 

wagonu). 

Masa 

rozłożona 

powoduje 

duże 

trudności 

przy 

obliczaniu 

momentów bezwładności). 

Założenia upraszczające – zakładanie 
prostych zależności liniowych

Liniowość – superpozycja. Zakładanie 
liniowych zależności w prostych 
przypadkach umożliwia uzyskanie 
rozwiązania o charakterze ogólnym.

Histereza 
sprężyny

Pole pracy 
sprężyny

Charakterystyka 
sprężyny

Założenia upraszczające – niezależność 
otoczenia badanego układu

Środowisko otaczające układ nie ulega wpływom pochodzącym 
z układu.

Przykład:

Pomijamy  sprawność  sprzęgła,  dynamikę  silnika  oraz 
przyjmujemy stałą prędkość silnika. Daje to granicę pomiędzy 
sprzęgłem,  a  pompą,  która  jest  granicą  z  otoczeniem. 
Zależności przechodzą w jedną stronę.

Przykład – oscylator harmoniczny

m

k

f

x

F

Model 
fizyczny:

Model 
matematyczny:

F

kx

dt

dx

f

dt

x

d

m







2

2

*

)

*

(

1

..

0

..

kx

x

f

F

m

x







x

m

k

x

m

f

m

F

x

*

.

0

..







Przykład – zawieszenia samochodu

M

m

z

y

x

K

k

f





































mg

k

y

z

K

y

z

f

y

m

Mg

y

z

K

y

z

f

z

M

x)

F(y

)

(

)

(

)

(

)

(













Model 
fizyczny:

Równania 
ruchu:









































g

m

k

y

z

m

K

y

z

m

f

y

g

y

z

M

K

y

z

M

f

z

x)

(y

F

)

(

)

(

)

(

)

(













Model 
matematyczny:

Dziękuję za 

uwagę