Szymon Kraut

Informacje na temat:

•

 stanów rezonansowych maszyn i 

urządzeń

•

 tłumienia

•

 metod wyznaczania charakterystyki 

dynamicznej oraz dalszej 

syntezy

 układów 

dyskretnych

piątek 18 czerwca 2021

2

Wstęp teoretyczny

Ważne pojęcia

Synteza

 – zadanie poszukiwania parametrów 

oraz struktury układów, spełniających zadane 
własności dynamiczne w postaci widma 
częstości.

piątek 18 czerwca 2021

3

Stany rezonansowe maszyn i 
urządzeń

Stany rezonansowe są to 

częstotliwości w których w urządzeniu 

powstają największe drgania. Ze 

względu na ich szkodliwe działanie, 

pożądany jest taki dobór 

częstotliwości drgań własnych, aby 

były one poza zakresem częstotliwości 

drgań generowanych przez urządzenie 

podczas prawidłowej pracy. Istnieją 

także przypadki, w których stany 

rezonansowe działają pozytywnie.

piątek 18 czerwca 2021

4

Tłumienie a stany 
rezonansowe

Tłumienie obniża amplitudę drgań, 
co pozwala maszynie na wyjście ze 
stanu rezonansu. W maszynie 
pojawia się wiele częstotliwości 
drgań własnych.

piątek 18 czerwca 2021

5

Hz

Problem syntezy układów

Aby dokonać syntezy układu 
mechatronicznego, należy najpierw 
wyznaczyć 

charakterystykę 

dynamiczną

.

piątek 18 czerwca 2021

6

3 kroki wyznaczania charakterystyki 
dynamicznej

1.

Przyjąć rodzaj syntezowanej funkcji, 
czyli określić czy dana funkcja będzie 
ruchliwością V(s), czy też powolnością 
U(s).

2.

Przyjąć wymagania odnośnie tłumienia 
(jeśli układ ma mieć tłumienie).

3.

Wyznaczyć charakterystykę 
dynamiczną V(s) [U(s)] w postaci 
funkcji wymiernej z dokładnością do 
stałej H.

piątek 18 czerwca 2021

7

Synteza charakterystyki

Istnieje wiele możliwości syntezy 
charakterystyki zgodnie z 
założeniami. Liczba możliwych 
struktur zależy od częstości 
rezonansowych i nałożonych na 
układ utwierdzeń.

piątek 18 czerwca 2021

8

Synteza powolności układów 
przytwierdzonych.

piątek 18 czerwca 2021

9

Przykład rozwiązania 
zadania

Wymagania

Wymagania, jakie spełnić ma układ 
podane są w postaci ciągu częstości 
rezonansowych i antyrezonansowych:

piątek 18 czerwca 2021

10





















zera

s

rad

s

rad

bieguny

s

rad

s

rad

4

,

0

6

,

2

2

0

3

1









1

rad/s

Założenia

1.

Poszukiwana funkcja 
charakterystyczna jest powolnością 
U(s).

2.

Przyjmuje się wymagania odnośnie 
tłumienia:



tłumienie proporcjonalne do elementu 
inercyjnego



tłumienie proporcjonalne do elementu 
sprężystego

piątek 18 czerwca 2021

11

Tworzenie 
charakterystyki

Kolejnym krokiem jest utworzenie 
charakterystyki w takiej postaci, aby dało się 
ją poddać syntezie jedną ze znanych metod

piątek 18 czerwca 2021

12

 











s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

16

144

40

3

2

4

2

2

2

2

3

2

2

1

2























2

Wstęp do właściwej 
syntezy

Sprecyzowane wcześniej wymagania 
w postaci charakterystyk 
dynamicznych (

12.2

) poddaje się 

syntezie jedną z metod:



rozkładu na ułamek łańcuchowy



rozkładu na ułamki proste



metodą mieszaną



wykorzystując algorytm wyznaczania 
elementu sprężystego

piątek 18 czerwca 2021

13

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję 
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi 

na ułamek łańcuchowy

piątek 18 czerwca 2021

14

3

 

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

16

144

24

16

144

40

3

2

3

2

4

















m

1

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję 
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi 

na ułamek łańcuchowy

piątek 18 czerwca 2021

15

3

 



































144

24

10

24

1

1

144

24

16

1

16

144

24

16

144

40

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

m

1

c

1

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję 
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi 

na ułamek łańcuchowy

piątek 18 czerwca 2021

16

3

 



































144

24

10

24

1

1

144

24

16

1

16

144

24

16

144

40

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

s

s

s

s

s

s

s

s

5

7

5

12

1

24

1

1

10

144

24

1

24

1

1

2

















m

1

m

2

c

1

W następnym kroku otrzymaną wcześniej funkcję 
charakterystyczną (

12.2

) poddaje się rozkładowi 

na ułamek łańcuchowy

piątek 18 czerwca 2021

17

3

 



































144

24

10

24

1

1

144

24

16

1

16

144

24

16

144

40

2

2

3

3

2

3

2

4

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

U

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

7

5

1

5

12

1

24

1

1

5

7

5

12

1

24

1

1

10

144

24

1

24

1

1

2

























m

1

m

2

c

1

c

2

Otrzymany układ 
dyskretny

piątek 18 czerwca 2021

18

Wartości liczbowe:

m

1

m

2

c

1

c

2

m

N

5

7

,

m

N

24

kg

5

12

,

kg

1

2

1

2

1









c

c

m

m

4

Sprawdzenie wyniku

piątek 18 czerwca 2021

19

Wynik można sprawdzić np. za 
pomocą równań różniczkowych ruchu 
układu





























0

m

0

m

2

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

x

c

x

x

c

x

x

x

c

x





5





















0

m

0

m

2

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

x

c

x

c

x

c

x

x

c

x

c

x





6





















0

m

-

0

m

-

2

2

1

1

2

1

2

2

2

2

1

1

1

2

1

1

A

c

A

c

A

c

A

A

c

A

c

A





7

piątek 18 czerwca 2021

20



















































0

0

2

1

2

2

2

1

1

1

2

1

1

A

A

m

c

c

c

c

m

c





9

1

0

1

1



























0

m

-

A

0

m

-

A

2

2

2

1

2

1

1

1

2

2

1

1

1





c

c

c

A

c

A

c

8

 

0

2

2

2

1

1

1

2

1

1

2























m

c

c

c

c

m

c







0

2

1

2

2

2

1

2

1

1











c

m

c

c

m

c





piątek 18 czerwca 2021

21

Szukając miejsc zerowych 
otrzymanego wyrażenia otrzymuje 
się:





0

2

1

2

1

2

1

1

2

1

4

2

1











c

c

m

c

m

c

m

c

m

m





1

2

996920865

,

35

0058328368

,

4

2

2

2

1









1

3

9997

,

5

0015

,

2

2

1









1

4

Uwzględnienie założeń dotyczących 
tłumienia



tłumienie proporcjonalne do elementu 
inercyjnego

piątek 18 czerwca 2021

22

m

1

m

2

c

1

b

1

c

2

b

2

s

1

8

0

 

się

 

przyjmuje

 ,

m

Ns

2

,

h

hm

b

i

i





1

5

m

Ns

b

m

Ns

b

25

96

5

8

2

1





1

6

Uwzględnienie założeń dotyczących 
tłumienia



tłumienie proporcjonalne do elementu 
sprężystego

piątek 18 czerwca 2021

23

m

1

m

2

c

2

b

2

1

7

m

Ns

b

m

Ns

b

500

7

25

6

2

1





1

8

s

01

0

 

się

 

przyjmuje

 ,

 

s

1

 

2

 ,

m

Ns

2

,

λω

h

c

b

n

n

i

i











c

1

b

1

Bibliografia:



Buchacz A., Dymarek A., Dzitkowski T.: Projektowanie i 

badanie wrażliwości ciągłych i dyskretno-ciągłych układów 

mechanicznych o żądanym widmie częstotliwości w ujęciu 

grafów i liczb strukturalnych. Monografia, Politechnika Śląska, 

Gliwice 2005.



Dymarek A.: Odwrotne zadanie dynamiki tłumionych 

mechanicznych układów drgających w ujęciu grafów i liczb 

strukturalnych. Politechnika Śląska, Gliwice 2001.



Kordos M.: Lepsze ułamki. Artykuł miesięcznika Delta 07.2006

piątek 18 czerwca 2021

24