DRGANIA WŁASNE
DRGANIA WŁASNE
BELKI
BELKI
MATLAB
MATLAB
DRGANIA WŁASNE
DRGANIA WŁASNE
BELKI
BELKI
MATLAB
MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
Zagadnienie własne
Zagadnienie własne
dotyczące drgań
dotyczące drgań
swobodnych, nietłumionych, opisuje ruch
swobodnych, nietłumionych, opisuje ruch
układu dynamicznego bez sił
układu dynamicznego bez sił
wymuszających i bez uwzgędnienia
wymuszających i bez uwzgędnienia
tłumienia.
tłumienia.
Rozwiązanie zagadnienia własnego
Rozwiązanie zagadnienia własnego
prowadzi
prowadzi
do określenia częstości własnych i
do określenia częstości własnych i
wektorów własnych, które to wielkości
wektorów własnych, które to wielkości
odgrywają główną rolę w wyznaczeniu
odgrywają główną rolę w wyznaczeniu
reakcji dynamicznej liniowych układów
reakcji dynamicznej liniowych układów
poddanych działaniu sił wymuszających.
poddanych działaniu sił wymuszających.
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
Równanie ruchu drgań własnych otrzymuje
Równanie ruchu drgań własnych otrzymuje
się z równania ruchu:
się z równania ruchu:
)
(t
F
Kδ
δ
C
δ
B
Po pominięciu członu zawierającego macierz
tłumienia C oraz wektora obciążeń zewnę-
trznych F.
(1)
W równaniu (1) B jest macierzą bezwładności
(macierzą mas),
δ
δ
,
-odpowiednio wektorem przyśpieszeń i
prędkości,
δ
- wektorem przemieszczeń węzłowych
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
Równanie drgań własnych przyjmuje
Równanie drgań własnych przyjmuje
zatem postać:
zatem postać:
0
Kδ
δ
B
(2)
Zakładając, że drgania własne są ruchem
harmonicznym
t
t
sin
)
(
0
δ
δ
Po dwukrotnym zróżniczkowaniu zal. (3):
(3)
t
t
sin
)
(
0
2
δ
ω
δ
(4)
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
I podstawieniu do równania (2)
I podstawieniu do równania (2)
otrzymujemy:
otrzymujemy:
2
0
)
(
ω
0
δ
B
K
(5)
Jest to układ liniowych jednorodnych równań
algebraicznych, który ma rozwiązanie tylko
wtedy gdy
0
)
det(
2
B
K
(6)
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
Równanie to nazywa się równaniem
Równanie to nazywa się równaniem
charakterystycznym zagadnienia
charakterystycznym zagadnienia
własnego. Z punktu widzenia matematyki,
własnego. Z punktu widzenia matematyki,
jest to równanie na znalezienie wartości
jest to równanie na znalezienie wartości
własnych macierzy.
własnych macierzy.
PRZYKŁAD
Dana jest belka wspornikowa o długości 3m.
Dane belki są następujące:
E=2e09 Pa
v=0.2
hb=0.269 m
b=0.2 m
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
I=3.25e-4 m^-4
I=3.25e-4 m^-4
ro=7.8e3 kg/m^3
ro=7.8e3 kg/m^3
1.
1.
WPROWADZENIE DANYCH
WPROWADZENIE DANYCH
E=2.0e9
E=2.0e9
E =
E =
2.0000e+009
2.0000e+009
I=3.25e-4
I=3.25e-4
I =
I =
3.2500e-004
3.2500e-004
b=0.2
b=0.2
b =
b =
0.2000
0.2000
hb=0.269
hb=0.269
hb =
hb =
0.2690
0.2690
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
l=1
l=1
l =
l =
1
1
Belkę podzielono na trzy elementy o długości
1 m każdy.
le=3
le =
3
lw=le+1
lw =
4
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
l=1
l=1
l =
l =
1
1
Ee=[E,E,E]
Ee=[E,E,E]
Ee =
Ee =
1.0e+009 *
1.0e+009 *
2.0000 2.0000 2.0000
2.0000 2.0000 2.0000
lE=[l,l,l]
lE=[l,l,l]
lE =
lE =
1 1 1
1 1 1
Ie=[I,I,I]
Ie=[I,I,I]
Ie =
Ie =
1.0e-003 *
1.0e-003 *
0.3250 0.3250 0.3250
0.3250 0.3250 0.3250
ien=[1 2;2 3;3 4]'
ien=[1 2;2 3;3 4]'
ien =
ien =
1 2 3
1 2 3
2 3 4
2 3 4
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
N=8
N=8
N =
N =
8
8
rob=7.8e3
rob=7.8e3
rob =
rob =
7800
7800
2. OBLICZENIE MACIERZY SZTYWNOŚCI
ELEMENTÓW
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
e=1
e=1
e =
e =
1
1
k1=sztywelbelki(e,Ee,Ie,lE)
k1=sztywelbelki(e,Ee,Ie,lE)
k1 =
k1 =
7800000 3900000 -7800000 3900000
7800000 3900000 -7800000 3900000
3900000 2600000 -3900000 1300000
3900000 2600000 -3900000 1300000
-7800000 -3900000 7800000 -3900000
-7800000 -3900000 7800000 -3900000
3900000 1300000 -3900000 2600000
3900000 1300000 -3900000 2600000
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
e=2;
e=2;
k2=sztywelbelki(e,Ee,Ie,lE)
k2=sztywelbelki(e,Ee,Ie,lE)
k2 =
k2 =
7800000 3900000 -7800000 3900000
7800000 3900000 -7800000 3900000
3900000 2600000 -3900000 1300000
3900000 2600000 -3900000 1300000
-7800000 -3900000 7800000 -3900000
-7800000 -3900000 7800000 -3900000
3900000 1300000 -3900000 2600000
3900000 1300000 -3900000 2600000
e=3
e =
3
k3=sztywelbelki(e,Ee,Ie,lE)
k3 =
7800000 3900000 -7800000 3900000
3900000 2600000 -3900000 1300000
-7800000 -3900000 7800000 -3900000
3900000 1300000 -3900000 2600000
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
2
. OBLICZENIE MACIERZY MAS
ELEMENTÓW
Konsystentna macierz mas elementu
belkowego ma postać:
2
2
2
4
22
156
3
13
4
13
54
22
156
420
L
SYM
L
L
L
L
L
L
L
B
e
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
e=1
e=1
m
m
1=macmasbelka(e,lE,rob,b,hb)
1=macmasbelka(e,lE,rob,b,hb)
m1 =
m1 =
155.8663 21.9811 53.9537 -12.9889
155.8663 21.9811 53.9537 -12.9889
21.9811 3.9966 12.9889 -2.9974
21.9811 3.9966 12.9889 -2.9974
53.9537 12.9889 155.8663 -21.9811
53.9537 12.9889 155.8663 -21.9811
-12.9889 -2.9974 -21.9811 3.9966
-12.9889 -2.9974 -21.9811 3.9966
e=2;
m2=macmasbelka(e,lE,rob,b,hb)
m2 =
155.8663 21.9811 53.9537 -12.9889
21.9811 3.9966 12.9889 -2.9974
53.9537 12.9889 155.8663 -21.9811
-12.9889 -2.9974 -21.9811 3.9966
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
e=3
e=3
;
;
m3=macmasbelka(e,lE,rob,b,hb)
m3=macmasbelka(e,lE,rob,b,hb)
m3 =
m3 =
155.8663 21.9811 53.9537 -12.9889
155.8663 21.9811 53.9537 -12.9889
21.9811 3.9966 12.9889 -2.9974
21.9811 3.9966 12.9889 -2.9974
53.9537 12.9889 155.8663 -21.9811
53.9537 12.9889 155.8663 -21.9811
-12.9889 -2.9974 -21.9811 3.9966
-12.9889 -2.9974 -21.9811 3.9966
Funkcja własna macmasbelka ma postać:
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
% macierz mas belka
function me=macmasbelka(e,lE,rob,b,hb)
%Dznaczniki_stanu;
me=zeros(4);
me(1,1)=(13/35)*rob*b*hb*lE(1,e);
me(1,2)=(11/210)*rob*b*hb*(lE(1,e))^2;
me(1,3)=(9/70)*rob*b*hb*lE(1,e);
me(1,4)=(-13/420)*rob*b*hb*(lE(1,e))^2;
me(2,2)=(1/105)*rob*b*hb*(lE(1,e))^3;
me(2,3)=(13/420)*rob*b*hb*(lE(1,e))^2;
me(2,4)=(-1/140)*rob*b*hb*(lE(1,e))^3;
me(3,3)=(13/35)*rob*b*hb*lE(1,e);
me(3,4)=(-11/210)*rob*b*hb*(lE(1,e))^2;
me(4,4)=(1/105)*rob*b*hb*(lE(1,e))^3;
% symetryczne odbicie
for i=1:4
for j=1:4
me(j,i)=me(i,j);
end;
end;
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
3. PRZYGOTOWANIE DO AGREGACJI
3. PRZYGOTOWANIE DO AGREGACJI
MACIERZY SZTYWNOŚCI I MACIERZY
MACIERZY SZTYWNOŚCI I MACIERZY
MAS
MAS
lm=pomocagregacji(2,2,lw,ien,le)
lm=pomocagregacji(2,2,lw,ien,le)
lm =
lm =
1 3 5
1 3 5
2 4 6
2 4 6
3 5 7
3 5 7
4 6 8
4 6 8
K=zeros(N,N);
K=zeros(N,N);
M=zeros(N,N);
M=zeros(N,N);
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
4.
4.
AGREGACJA MACIERZY SZTYWNOŚCI ELEMENTÓW DO
AGREGACJA MACIERZY SZTYWNOŚCI ELEMENTÓW DO
MACIERZY GLOBALNEJ K I MACIERZY MAS
MACIERZY GLOBALNEJ K I MACIERZY MAS
ELEMENTÓW DO MACIERZY GLOBALNEJ M
ELEMENTÓW DO MACIERZY GLOBALNEJ M
e=1;
e=1;
K=agregacjamacglob(K,e,k1,2,2,le,lw,lm);
K=agregacjamacglob(K,e,k1,2,2,le,lw,lm);
M=agregacjamacglob(M,e,m1,2,2,le,lw,lm
M=agregacjamacglob(M,e,m1,2,2,le,lw,lm
);
);
e=2;
e=2;
K=agregacjamacglob(K,e,k2,2,2,le,lw,lm);
K=agregacjamacglob(K,e,k2,2,2,le,lw,lm);
M=agregacjamacglob(M,e,m2,2,2,le,lw,lm);
M=agregacjamacglob(M,e,m2,2,2,le,lw,lm);
e=3;
e=3;
K=agregacjamacglob(K,e,k3,2,2,le,lw,lm);
K=agregacjamacglob(K,e,k3,2,2,le,lw,lm);
M=agregacjamacglob(M,e,m3,2,2,le,lw,lm);
M=agregacjamacglob(M,e,m3,2,2,le,lw,lm);
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
5. UWZGLĘDNIENIE WARUNKÓW
5. UWZGLĘDNIENIE WARUNKÓW
BRZEGOWYCH
BRZEGOWYCH
Kąt obrotu i ugięcie na podporze typu
Kąt obrotu i ugięcie na podporze typu
zamocowanie są równe zeru.
zamocowanie są równe zeru.
Tak więc w naszym przypadku
Tak więc w naszym przypadku
0
0
1
1
w
Należy więc wykreślić z macierzy K i M
odpowiednio pierwszy i drugi wiersz i pierwszą i
drugą kolumnę.
- Pierwsze równanie
- Drugie równanie
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
K(1,:)=[];
K(1,:)=[];
K(:,1)=[];
K(:,1)=[];
M(1,:)=[];
M(1,:)=[];
M(:,1)=[];
M(:,1)=[];
K(1,:)=[];
K(1,:)=[];
K(:,1)=[];
K(:,1)=[];
M(1,:)=[];
M(1,:)=[];
M(:,1)=[];
M(:,1)=[];
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
6. OBLICZENIE WARTOŚCI I WEKTORÓW
6. OBLICZENIE WARTOŚCI I WEKTORÓW
WŁASNYCH
WŁASNYCH
[V,D]=eig(K,M)
[V,D]=eig(K,M)
V =
V =
0.0093 0.0335 -0.0421 0.0154 -0.0174 0.0149
0.0093 0.0335 -0.0421 0.0154 -0.0174 0.0149
0.0170 0.0333 0.0314 -0.1962 -0.3239 0.1526
0.0170 0.0333 0.0314 -0.1962 -0.3239 0.1526
0.0308 0.0240 0.0372 0.0071 0.0306 0.0233
0.0308 0.0240 0.0372 0.0071 0.0306 0.0233
0.0246 -0.0559 0.0240 0.2010 -0.2130 0.4291
0.0246 -0.0559 0.0240 0.2010 -0.2130 0.4291
0.0564 -0.0567 -0.0566 -0.0609 0.0659 0.1237
0.0564 -0.0567 -0.0566 -0.0609 0.0659 0.1237
0.0259 -0.0905 -0.1501 -0.2597 0.4366 1.2370
0.0259 -0.0905 -0.1501 -0.2597 0.4366 1.2370
D =
D =
1.0e+006 *
1.0e+006 *
0.0002 0 0 0 0 0
0.0002 0 0 0 0 0
0 0.0093 0 0 0 0
0 0.0093 0 0 0 0
0 0 0.0746 0 0 0
0 0 0.0746 0 0 0
0 0 0 0.3784 0 0
0 0 0 0.3784 0 0
0 0 0 0 1.3403 0
0 0 0 0 1.3403 0
0 0 0 0 0 5.3270
0 0 0 0 0 5.3270
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
Macierz
Macierz
D
D
jest macierzą diagonalną; na diagonali
jest macierzą diagonalną; na diagonali
zawarte są kolejne wartości
zawarte są kolejne wartości
Macierz
Macierz
V
V
jest macierzą pełną, jej kolumny są
jest macierzą pełną, jej kolumny są
odpowiednimi dla danych wartości własnych
odpowiednimi dla danych wartości własnych
wektorami własnymi.
wektorami własnymi.
omega=sqrt(D)
omega=sqrt(D)
omega =
omega =
1.0e+003 *
1.0e+003 *
0.0154 0 0 0 0 0
0.0154 0 0 0 0 0
0 0.0967 0 0 0 0
0 0.0967 0 0 0 0
0 0 0.2732 0 0 0
0 0 0.2732 0 0 0
0 0 0 0.6151 0 0
0 0 0 0.6151 0 0
0 0 0 0 1.1577 0
0 0 0 0 1.1577 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2.3080
0 2.3080
2
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
7.
7.
WYZNACZENIE PI
WYZNACZENIE PI
E
E
RWSZEJ POSTACI
RWSZEJ POSTACI
DRGAŃ WŁASNYCH
DRGAŃ WŁASNYCH
Wektory własne:
Wektory własne:
0259
.
0
0564
.
0
0246
.
0
0308
.
0
0170
.
0
0093
.
0
01
wektor własny odpowiadający
pierwszej częstości własnej
Wektory przemieszczeń (amplitud)
węzłowych dla pierwszej postaci w
układzie globalnym:
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
.
.
0259
.
0
0564
.
0
0246
.
0
0308
.
0
,
0246
.
0
0308
.
0
0170
.
0
0093
.
0
,
0170
.
0
0093
.
0
0
0
13
12
11
Przemieszczenie każdego punktu opisuje
zależność:
2
2
1
1
4
3
2
1
]
[
w
w
N
N
N
N
w
δ
N
(7)
0259
.
0
0564
.
0
0246
.
0
0308
.
0
0170
.
0
0093
.
0
01
W2
fi2
W3
fi3
W4
fi4
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
gdzie funkcje kształtu elementu belkowego
gdzie funkcje kształtu elementu belkowego
mają postać:
mają postać:
)
(
1
)
3
2
(
1
)
2
(
1
)
3
2
(
1
2
2
3
3
4
2
3
3
3
3
2
2
3
3
2
3
2
3
3
1
l
x
x
l
l
N
lx
x
l
N
l
x
l
x
lx
l
N
l
lx
x
l
N
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
Po podstawieniu danych macierze funkcji
Po podstawieniu danych macierze funkcji
kształtu dla poszczególnych elementów
kształtu dla poszczególnych elementów
mają postać:
mają postać:
]
0
1
0
0
[
)
1
(
]
125
.
0
5
.
0
125
.
0
5
.
0
[
)
5
.
0
(
]
0
0
0
1
[
)
0
(
x
x
x
N
N
N
Po podstawieniu do wzoru (7) otrzymamy:
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
-
-
dla elementu pierwszego
dla elementu pierwszego
0093
.
0
0170
.
0
0093
.
0
0
0
]
0
1
0
0
[
)
1
(
)
1
(
002525
.
0
0170
.
0
0093
.
0
0
0
]
125
.
0
5
.
0
125
.
0
5
.
0
[
)
5
.
0
(
)
5
.
0
(
0
0170
.
0
0093
.
0
0
0
]
0
0
0
1
[
)
0
(
)
0
(
11
1
1
11
1
1
11
1
1
δ
N
δ
N
δ
N
x
x
w
x
x
w
x
x
w
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
-
-
dla elementu drugiego
dla elementu drugiego
0308
.
0
0246
.
0
0308
.
0
0107
.
0
0093
.
0
]
0
1
0
0
[
)
1
(
)
1
(
0183
.
0
0246
.
0
0308
.
0
0107
.
0
0093
.
0
]
125
.
0
5
.
0
125
.
0
5
.
0
[
)
5
.
0
(
)
5
.
0
(
0093
.
0
0246
.
0
0308
.
0
0107
.
0
0093
.
0
]
0
0
0
1
[
)
0
(
)
0
(
12
2
2
12
2
2
12
2
2
δ
N
δ
N
δ
N
x
x
w
x
x
w
x
x
w
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
-
-
dla elementu trzeciego
dla elementu trzeciego
0564
.
0
0259
.
0
0564
.
0
0246
.
0
0308
.
0
]
0
1
0
0
[
)
1
(
)
1
(
0434
.
0
0259
.
0
0564
.
0
0246
.
0
0308
.
0
]
125
.
0
5
.
0
125
.
0
5
.
0
[
)
5
.
0
(
)
5
.
0
(
0308
.
0
0259
.
0
0564
.
0
0246
.
0
0308
.
0
]
0
0
0
1
[
)
0
(
)
0
(
13
3
3
13
3
3
13
3
3
δ
N
δ
N
δ
N
x
x
w
x
x
w
x
x
w
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
DRGANIA WŁASNE BELKI- MATLAB
8.
8.
WIZUALIZACJA
WIZUALIZACJA
x=[0 0.5 1 1.5 2 2.5 3]
x=[0 0.5 1 1.5 2 2.5 3]
y=[0 0.002525 0.0093 0.0183 0.0308 0.0434 0.0564]
y=[0 0.002525 0.0093 0.0183 0.0308 0.0434 0.0564]
plot(x, y); hold on;title('PIERWSZA POSTAĆ DRGAŃ
plot(x, y); hold on;title('PIERWSZA POSTAĆ DRGAŃ
WŁASNYCH');xlabel('m')
WŁASNYCH');xlabel('m')
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
PIERWSZA POSTAĆ DRGAŃ WŁASNYCH
m