Zmienne losowe ciągłe
dr Tomasz Kowalski
Wykład 24
Zmienne losowe ciągłe
dr Tomasz Kowalski
Wykład 24
Slajd 2 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Funkcja gęstości
Funkcję f nazywamy gęstością pewnej
zmiennej losowej X, jeżeli
1. ( ) 0 dla
,
f x
x R
�
�
2.
( )
1.
f x dx
+�
- �
=
�
Warunek 2. definicji zwany
warunkiem unormowania
oznacza, że wykres funkcji f
i oś OX ograniczają obszar
o polu równym 1.
X
y
f x
( )
Pole = 1
Slajd 3 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Uwaga
Jeżeli f(x) = 0 na przedziale
(a, b), to
( )
0.
b
a
f x dx =
�
Slajd 4 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Wykazać, że funkcja f określona
wzorem:
jest gęstością pewnej zmiennej
losowej X. Naszkicować wykres
gęstości.
2
dla 0
1,
( )
0 dla pozost. .
x
x
f x
x
� �
�
=�
�
-1
1
2
X
2
1
1. ( ) 0 dla
.
f x
x R
�
�
Na podstawie wykresu
stwierdzamy:
Slajd 5 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Wykazać, że funkcja f określona
wzorem:
jest gęstością pewnej zmiennej
losowej X. Naszkicować wykres
gęstości.
2
dla 0
1,
( )
0 dla pozost. .
x
x
f x
x
� �
�
=�
�
-1
1
2
X
1
2
0
1
0
1
( )
0
2
0
f x dx
dx
xdx
dx
�
�
- �
- �
=
+
+
=
�
� �
�
1
1
1
2
0
0
0
0
2
0
2
1
xdx
xdx
x
� �
+
+ =
=
=
� �
�
�
2.
( )
1.
f x dx
+�
- �
=
�
Istotnie:
Slajd 6 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Zmienne losowe ciągłe
Zmienna losowa X jest ciągła, jeżeli istnieje
funkcja gęstości f taka, że dla każdych a b
zachodzi zależność
(
)
( ) .
b
a
P a X b
f x dx
� � =
�
Interpretując geometrycznie
całkę występującą po prawej
stronie ostatniej zależności
otrzymujemy, że
prawdopodobieństwo przyjęcia
przez zmienną losową X
wartości z przedziału [a, b]
jest równa polu obszaru
rozpościerającego się nad tym
przedziałem poniżej funkcji
gęstości.
X
y
f x
( )
a b
Slajd 7 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Rozpatrzmy funkcję gęstości pewnej zmiennej
losowej X:
Obliczyć prawdopodobieństwa:
2
dla 0
1,
( )
0 dla pozost. .
x
x
f x
x
� �
�
=�
�
-1
1
2 X
2
1
1
1
2
a) (
), b) (
).
2
2
3
P
X
P X
-
� �
�
1
1
0
2
2
1
1
0
2
2
1
1
( )
0
2
2
2
P
X
f x dx
dx
xdx
-
-
�
�
-
� � =
=
+
=
�
�
�
�
�
� �
1
2 2
0
1
0 [ ]
4
x
= +
=
-½
½
Slajd 8 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
-1
1
2 X
1
2
Przykład
Rozpatrzmy funkcję gęstości pewnej zmiennej
losowej X:
Obliczyć prawdopodobieństwa:
2
dla 0
1,
( )
0 dla pozost. .
x
x
f x
x
� �
�
=�
�
1
1
1
a) (
), b) (
).
2
2
4
P
X
P X
-
� �
�
1
1
1
1
4
4
1
( )
2
0
4
P X
f x dx
xdx
dx
+�
+�
�
�
� =
=
+
=
�
�
�
�
�
�
�
1
4
2 1
1 15
[ ]
0 1
.
16 16
x
=
+ = -
=
¼
Slajd 9 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej
Z definicji dystrybuanty zmiennej losowej X:
F(x) = p(X < x)
wynika, że jeżeli f jest funkcją gęstości tej
zmiennej, to
( )
(
)
( ) .
x
F x
P X x
f t dt
- �
=
< =
�
Slajd 10 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Własności dystrybuanty zmiennej losowej
ciągłej
1. Dla każdego xR mamy 0 F(x) 1.
2. lim ( )
(
) 0, lim ( )
(
) 1.
x
x
F x
F
F x
F
�- �
�+�
= - � =
= +� =
3. F jest funkcją niemalejącą.
4. F jest funkcją ciągłą w każdym
punkcie.
Slajd 11 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Uwaga
W przypadku, gdy X jest zmienną
losową ciągłą o dystrybuancie F
prawdziwe są zależności:
(
)
(
)
( )
( ).
(
)
(
)
P a X b
P a X b
F b F a
P a X b
P a X b
� � �
�
� < �
=
-
�
< � �
�
< < �
Slajd 12 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Wykazać, że funkcja f jest gęstością pewnej
zmiennej losowej.
f x
x
e
x
x
( )
,
0
0
0
dla
dla
Naszkicować wykres gęstości. Wyznaczyć dystrybuantę
i sporządzić jej wykres. Obliczyć P(1 X 2), a
następnie zinterpretować otrzymaną liczbę na wykresie
gęstości i dystrybuanty.
X
1
2
0
3 4
1
0,
5
-1
-2
y = f(x)
1. ( ) 0 dla
.
f x
x R
�
�
0
0
0
0
2.
( )
0
0
1
x
x
f x dx
dx
e dx
e
e
e
+�
+�
+�
-
-
- �
- �
- �
�
�
=
+
= + -
=
�
�
=-
+ =
�
� �
Funkcja f jest więc
gęstością
prawdopodobieństwa
pewnej zmiennej losowej
X.
Slajd 13 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
f x
x
e
x
x
( )
,
0
0
0
dla
dla
Wyznaczanie
dystrybuanty:
( )
( )
0
0.
x
x
F x
f t dt
dt
- �
- �
=
=
=
�
�
Gdy x 0, to
Gdy x < 0, to
0
0
( )
( )
0
x
x
t
F x
f t dt
dt
e dt
-
- �
- �
=
=
+
=
�
� �
0
0
0
1
x
t
x
x
e
e
e
e
-
-
-
�
�
= + -
=-
+ = -
�
�
X
1
2
0
3
4
1
0,
5
-1
-2
y = F(x)
Slajd 14 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
f x
x
e
x
x
( )
,
0
0
0
dla
dla
2
2
2
2
1
1
1
1
(1
2)
( )
0,2325
x
x
P
X
f x dx
e dx
e
e
e
-
-
-
-
�
�
� � =
=
= -
=-
+
=
�
�
�
�
X
1 2
0
3 4
1
F(2)
-
1
-
2
y =
F(x)
X
1 2
0
3 4
1
0,
5
-
1
-
2
y =
f(x)
F(1)
P(1 X
2)
P(1 X 2)=F(2)-
F(1)
Slajd 15 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Gęstość prawdopodobieństwa a
dystrybuanta
Funkcja gęstości zmiennej losowej ciągłej X i jej
dystrybuanta są ze sobą ściśle związane.
Na podstawie funkcji gęstości f można określić
dystrybuantę F oraz na odwrót: na podstawie
dystrybuanty można wyznaczyć funkcję gęstości
f.
Prawdziwe jest stwierdzenie:
Jeżeli x jest punktem ciągłości gęstości f, to F
/
(x) = f (x).
Slajd 16 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Wartość oczekiwana zmiennej
ciągłej
Wartością oczekiwaną zmiennej losowej ciągłej X
nazywamy liczbę oznaczaną przez E(X) i równą:
( )
( ) .
E X
xf x dx
+�
- �
=
�
Slajd 17 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Wartość oczekiwana
zmiennej ciągłej
Liczba E(X) pokazuje, w którym punkcie osi
poziomej należy podeprzeć obszar ograniczony
osią OX i wykresem gęstości, aby znajdował się on
w stanie równowagi.
X
y
f x
( )
Pole = 1
( )
E X
Slajd 18 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Niech X będzie zmienną losową o gęstości
2
dla 0
1,
( )
0 dla pozost. .
x
x
f x
x
� �
�
=�
�
Obliczyć wartość oczekiwaną. Zinterpretować na
wykresie funkcji gęstości.
1
0
1
1
2
3
0
0
( )
( )
2
2
2
2
3
3
E X
xf x
x xdx
x dx
x
+�
- �
=
=
�
=
�
�
=
=
=
�
�
�
�
�
�
�
-1
1
2 X
1
2
y = f(x)
2
3
Slajd 19 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Wariancja zmiennej
losowej
Liczbę E(X – E(X))
2
nazywamy wariancją
zmiennej X i oznaczamy przez D
2
(X).
Pierwiastek z wariancji nazywamy odchyleniem
standardowym zmiennej losowej X i oznaczamy
symbolem
.
Liczba ta jest nieujemna.
Slajd 20 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Wariancja zmiennej
losowej
Wariancja zmiennej losowej X wyraża się
wzorem
D
2
(X) = E(X
2
) – (E(X))
2
,
gdzie E(X) oznacza wartość oczekiwaną zmiennej
X ,
2
2
(
)
( )
E X
x f x dx
+�
- �
=
�
a w przypadku zmiennej ciągłej:
Slajd 21 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Niech X będzie zmienną losową o gęstości:
1
gdy
[ ; ],
( )
0
dla pozost. .
x a b
f x
b a
x
�
�
�
=
-
�
�
�
Obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję tej
zmiennej losowej.
3
2
2
2
1
1
(
)
( )
3
b
b
a
a
x
E X
x f x dx
x dx
b a
b a
+�
- �
� �
=
=
=
�
=
� �
-
-
� �
�
�
3
3
2
2
1
(
)
3(
) 3
b
a
a
ab b
b a
-
=
+ +
-
D X
E X
E X
a
ab b
a b
a b
2
2
2
2
2
2
2
1
3
2
12
( )
(
) [ ( )]
(
) (
)
(
)
2
2
2
1
1
( )
( )
2
2(
)
2
b
b
a
a
x
b
a
a b
E X
xf x dx
xdx
b a
b a
b a
+�
- �
� �
-
+
=
=
=
�
=
=
� �
-
-
-
� �
�
�
Slajd 22 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Zmienna losowa o rozkładzie
jednostajnym
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na
przedziale [a; b], jeżeli funkcją gęstości tej zmiennej
jest funkcja określona wzorem:
[ ]
1
gdy
; ,
( )
0
dla pozost. .
x a b
f x
b a
x
�
�
�
=
-
�
�
�
X
a b
1
b a
( )
2
a b
E X
+
=
2
2
(
)
( )
12
a b
D X
-
=
( )
E X
Slajd 23 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Zmienna losowa o rozkładzie
wykładniczym
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o
parametrze
> 0, jeżeli przyjmuje wyłącznie
wartości nieujemne, a funkcja gęstości tej zmiennej
wyraża się wzorem:
dla
0,
( )
0
dla pozost. .
x
e
x
f x
x
l
l
-
�
�
�
=�
�
�
Czas bezawaryjnej pracy wielu urządzeń można
opisywać zmienną o rozkładzie wykładniczym.
X
1
2
0
3
4
-1
-2
y = f(x)
E X
( )
1
D X
2
2
1
( )
( )
E X
Slajd 24 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Czas świecenia żarówki (w godzinach) opisuje
zmienna losowa X o gęstości danej wzorem:
0,001
0,001
dla
0,
( )
0
dla pozost. .
t
e
t
f t
t
-
�
�
׳
�
=�
�
�
Obliczyć prawdopodobieństwo, że żarówka:
a) świecić będzie co najmniej 500 godzin,
b) przepali się w drugim tygodniu świecenia.
(
500)
P X �
=
500
( )
f t dt
+�
=
�
0,001
500
0,001
t
e
dt
+�
-
�
=
�
0,001
500
t
e
+�
-
=-
0.5
0,607.
e
e
- �
-
=-
+
=
a)
Slajd 25 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Czas świecenia żarówki (w godzinach) opisuje
zmienna losowa X o gęstości danej wzorem:
0,001
0,001
dla
0,
( )
0
dla pozost. .
t
e
t
f t
t
-
�
�
׳
�
=�
�
�
Obliczyć prawdopodobieństwo, że żarówka:
a) świecić będzie co najmniej 500 godzin,
b) przepali się w drugim tygodniu świecenia.
(168
336)
P
X
� �
=
336
168
( )
f t dt =
�
336
0,001
168
0,001
t
e
dt
-
�
=
�
336
0,001
168
t
e
-
=-
0,336
0,168
0,7118 0,8437 0,1319.
e
e
-
-
=-
+
=-
+
=
b)
Slajd 26 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Zmienna losowa o rozkładzie
normalnym
Zmienna losowa X ma rozkład normalny o
parametrach
i
, jeżeli jej gęstość wyraża się
wzorem
2
(
)
2
2
1
( )
.
2
x
f x
e
m
s
s
p
-
-
=
Z badań wynika, że wzrost i waga ludzi, błędy
pomiarów mogą być traktowane jako zmienne
losowe o rozkładach normalnych.
2
2
( )
,
( )
E X
D X
m
s
=
=
Y
1
2
m
X
( )
E X
Slajd 27 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
- jest symetryczna względem prostej x =
,
- w punkcie x =
osiąga wartość
maksymalną,
- ramiona funkcji mają punkty przegięcia dla
x =
- σ
oraz x =
+ σ,
- kształt funkcji gęstości zależy od wartości
parametrów:
i σ. Parametr
decyduje o przesunięciu
krzywej,
natomiast parametr σ decyduje o
„smukłości” krzywej.
Funkcja gęstości w rozkładzie
normalnym:
Slajd 28 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Wpływ parametru
-3
-2
-1
1
2
3
4
5 X
Y
Powyższe wykresy gęstości funkcji rozkładu
normalnego otrzymano przy
= 1 oraz trzech
różnych parametrach
.
Wykresy te pokazują, że wartość oczekiwana
nie
wpływa na kształt wykresu funkcji gęstości rozkładu
normalnego.
Slajd 29 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Wpływ parametru
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
X
Y
Powyższe wykresy gęstości funkcji rozkładu
normalnego otrzymano przy
= 1 oraz trzech
różnych parametrach
.
Wykresy te pokazują, że wariancja
2
jest miarą
rozproszenia wartości zmiennej losowej wokół jej
wartości oczekiwanej.
Slajd 30 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Zmienna losowa o rozkładzie
normalnym
68,3 %
95,5 %
99,7 %
m - 3
m -
2
m -
m
m +
m + 2
m + 3
Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny to:
- 68,3 % jej wartości mieści się w przedziale (m - σ; m + σ),
- 95,5 % jej wartości mieści się w przedziale (m - 2σ; m + 2σ),
- 99,7 % jej wartości mieści się w przedziale (m- 3σ; m + 3σ).
Slajd 31 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Obliczanie
prawdopodobieństw rozkładu
normalnego
Dowodzi się, że jeżeli zmienna X ma rozkład
normalny o parametrach
i
, to zachodzi wzór:
(
)
(
)
(
)
b
a
P a X b
m
m
s
s
-
-
� � =F
- F
gdzie oznacza funkcję Laplace’a.
Slajd 32 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Wzrost dorosłych ludzi (w cm) jest zmienną losową
posiadającą rozkład normalny o parametrach
=
170 i
= 15. Obliczyć, jaka część ludzi ma wzrost:
a) mieszczący się w przedziale [160;180], b)
powyżej 200.
180 170
160 170
(160
180)
(
)
(
)
15
15
P
X
-
-
� �
=F
- F
=
(0,67)
( 0,67)
=F
- F -
=
2 (0,67) 2 0,2486 0,4972
= F
= �
=
Slajd 33 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Przykład
Wzrost dorosłych ludzi (w cm) jest zmienną losową
posiadającą rozkład normalny o parametrach
=
170 i
= 15. Obliczyć, jaka część ludzi ma wzrost:
a) mieszczący się w przedziale [160;180], b)
powyżej 200.
200 170
(200
)
(
)
(
)
15
P
X
-
� <+� =F +� - F
=
0,5 0,4772 0,0228
=
-
=
0,5
(2)
=
- F
=
Slajd 34 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe
Mężczyź
ni:
µ = 172
= 7
172
160
Wzrost (w cm)
Krzywe wzrostu kobiet i mężczyzn (w cm)
Kobiety:
µ = 160
= 6,3
Slajd 35 / 35
Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 24. Zmienne losowe ciągłe