Elżbieta Szwajczak
Katedra Fizyki PRz
PRACA, ENERGIA, MOC
Elżbieta Szwajczak
Katedra Fizyki PRz
PRACA, ENERGIA, MOC
PRACA
cos
r
d
F
dW
r
d
F
dW
Siła działając na punkt materialny o masie m i
przesuwając go wykonuje pracę:
gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem siły
F i wektorem przesunięcia elementarnego d
r
(czyli tzw. przesunięciem skierowanym).
Jednostką pracy jest [W] = N m = J.
W ruchu obrotowym:
d
M
dW
gdzie M jest momentem siły, zaś dφ jest
„skierowanym przesunięciem kątowym”.
Praca jest formą energii.
MOC
to tempo (prędkość) przekazywania
energii z układu do układu:
Jednostką mocy jest [P] J/s = W.
dt
dE
dt
dW
P
ENERGIA MECHANICZNA
Istnieją dwa rodzaje energii mechanicznej
– kinetyczna i potencjalna.
Energia kinetyczna
(energia ruchu)
w ruchu postępowym:
m
p
V
m
E
k
2
2
2
2
gdzie m jest masą punktu materialnego
(ciała), V jest wektorem prędkości, zaś
p=mV jest wektorem pędu.
Energia kinetyczna
w ruchu obrotowym
I
K
I
E
k
2
2
2
2
gdzie I jest momentem bezwładności bryły
sztywnej, ω
jest wektorem prędkości kątowej, zaś K=I ω
jest wektorem momentu pędu.
Jednostką energii kinetycznej jest [E
k
] J = (kg
m
2
)/ s
2
.
U
grad
U
F
r
d
r
dU
r
F
r
d
F
dU
lub
)
(
)
(
lub
Energia potencjalna
Ciało ma energię potencjalną gdy jest w
polu działania sił zachowawczych. Energia
potencjalna wiąże się ze zdolnością ciała do
wykonania pracy; energia potencjalna w
danym punkcie przestrzeni jest równa pracy
wykonanej przez przyłożoną siłę przy
przeniesieniu ciała z nieskończoności do
danego punktu.
Przy czym w polu sił zachowawczych
praca nie zależy od kształtu drogi ani od
długości toru, zależy natomiast od
współrzędnych
punktu
położenia
początkowego i końcowego, tzn. praca po
torze zamkniętym wynosi zero:
0
r
d
F
Przykłady
energii
potencjalnej
Siła F
Energia U
2
4
1
4
1
2
2
2
x
k
kx
r
q
Q
r
q
Q
r
m
M
G
r
m
M
G
mgh
mg
o
o
Przykłady energii potencjalnej cd.
1. W polu sił ciężkości
2. W polu grawitacyjnym ziemskim
3.
W
centralnym
polu
elektrostatycznym
(np. atom w modelu Bohra)
4. W polu sił sprężystych (np.
drgania
harmoniczne proste)
Związek praca – energia
Twierdzenie o pracy i energii kinetycznej:
Energia kinetyczna ciała rośnie dzięki pracy
wykonanej przez siłę działającą na ciało przy
jego przesunięciu
z punktu A do punktu B.
kA
B
A
kB
E
E
r
d
F
Jeśli przypomnieć drugą zasadę dynamiki
Newtona i
definicję przyspieszenia, to można wykazać, że:
E
W
E
E
E
V
V
m
V
d
V
m
r
d
dt
V
d
m
r
d
a
m
r
d
F
W
AB
k
kA
kB
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
AB
lub
)
(
2
2
2
.
)
(
const
t
p
0
F
F
j
j
ZASADY ZACHOWANIA
Zasada zachowania pędu
Całkowity pęd układu odosobnionego jest
stały w czasie:
Oznacza
to, że źródła wszystkich sił
znajdują się
w obrębie samego układu
.
Przy czym przez układ izolowany (zamknięty)
rozumie się
układ na który nie działają żadne siły zewnętrzne
lub działające siły równoważą się, tzn.:
i
i
i
i
i
V
m
p
p
BA
AB
F
F
Rozważmy dwu elementowy układ izolowany,
składający się z dwu ciał o masach m
A
i m
B
.
Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona
Przez całkowity pęd układu rozumie
się
sumę
wektorową
pędów
wszystkich elementów układu, tj.:
lub po uwzględnieniu drugiej zasady dynamiki
Newtona:
dt
p
d
dt
p
d
B
A
Można to zapisać jako:
0
)
(
B
A
B
A
p
p
dt
d
dt
p
d
dt
p
d
.
)
(
)
(
const
t
p
t
p
B
A
co jest możliwe, gdy
Po uogólnieniu, czyli dla układu n-
elementowego
.
)
(
)
(
1
const
t
p
t
p
n
i
i
Przykłady z fizyki:
*„odrzut” karabinu przy wystrzeleniu kuli
* ruch środka masy pocisku, który
wybucha w czasie
lotu (ruch po torze zwanym torem rzutu
ukośnego).
Zasada zachowania momentu
pędu
.
)
(
const
t
K
i
i
i
i
i
I
K
t
K
)
(
gdzie całkowity moment pędu układu
jest suma wektorową momentów pędu
wszystkich elementów składowych
układu:
Całkowity moment pędu układu izolowanego nie
zmienia
się w czasie:
Przy czym przez układ odosobniony rozumie
się układ na który nie działają żadne siły
zewnętrzne lub momenty działających sił
równoważą się, tzn.:
j
j
j
j
j
F
r
M
gdzie
M
M
0
Przykład:
Całkowity moment pędu tancerza na
lodzie jest zachowany, zmienia się
jednak prędkość obrotów w wyniku
zmiany
momentu
bezwładności
tancerza – co jest spowodowane zmianą
rozkładu jego masy w stosunku do osi
obrotu:
.
2
const
r
m
I
Zasada zachowania energii
Energia mechaniczna układu izolowanego
jest stała w czasie:
Układ izolowany oznacza, że nie ma
wymiany ciepła z otoczeniem.
Energia mechaniczna jest suma energii
kinetycznej i energii potencjalnej; możliwa
jest zamiana energii kinetycznej w
energię potencjalną.
.
)
(
)
(
)
(
const
t
U
t
E
t
E
k
Istnieją także inne rodzaje energii, np.
energia cieplna, chemiczna.
W ogólności, całkowita energia układu, tj.
suma energii wszystkich rodzajów w
układzie izolowanym jest stała w czasie.