Elementy Mechatroniki
Elementy Mechatroniki
Modelowanie,
Modelowanie,
Symulacja Urządzeń
Symulacja Urządzeń
Mechatronicznych,
Mechatronicznych,
Drgania układów dwu – i
Drgania układów dwu – i
wielomasowych
wielomasowych
Wykład nr 2
dr hab. inż. Tomasz Trawiński
Politechnika Śląska, Wydział
Politechnika Śląska, Wydział
Elektryczny
Elektryczny
KATEDRA MECHATRONIKI
KATEDRA MECHATRONIKI
U
U
rządzeni
rządzeni
e
e
mechatroniczne
mechatroniczne
Wewnętrzne oddziaływania z sprzężeniami
Wewnętrzne oddziaływania z sprzężeniami
zwrotnymi
zwrotnymi
Wewnętrzne oddziaływania bez sprzężeń zwrotnych
Wewnętrzne oddziaływania bez sprzężeń zwrotnych
W
W
ymagania stawiane systemom mechatronicznym
ymagania stawiane systemom mechatronicznym
• produkt możliwie doskonały:
– niska energochłonność w procesie produkcji
i podczas użytkowania,
– pro ekologiczny: w produkcji, użytkowaniu i
recyklingu,
– ergonomiczne,
– tanie.
Urządzenie mechatroniczne
Urządzenie mechatroniczne
wysoce złożony
wysoce złożony
system
system
trudny do analizy
trudny do analizy
• ze względu na :
• silne powiązania pomiędzy jego
komponentami,
• komponenty wykonane w różnych
technologiach,
• w efekcie :
• konflikty co do
wymagań przy
modelowaniu i
symulacji, skup
ione na
opisie matematycznym.
Struktura urządzenia mechatronicznego
Struktura urządzenia mechatronicznego
Problem formułowania modelu matematycznego
Problem formułowania modelu matematycznego
systemu mechatronicznego
systemu mechatronicznego
• podejście modelowe – podsystemy, komponenty,
zjawiska. Proces pozyskiwania modelu matematycznego
nazywamy modelowaniem,
• podejście identyfikacyjne – rejestracja, obróbka
sygnałów wejściowych i wyjściowych. Proces
pozyskiwania modelu matematycznego nazywamy
identyfikacją,
Wybrane właściwości programów PSPICE, TCAD i MATLAB
Wybrane właściwości programów PSPICE, TCAD i MATLAB
Najczęstsze obszary stosowania Matlaba
Najczęstsze obszary stosowania Matlaba
M
a
te
m
a
ty
ka
,
ra
ch
u
n
ko
w
o
ść
A
lg
o
ry
tm
o
w
a
n
ie
M
o
d
e
lo
w
a
n
ie
,
M
o
d
e
lo
w
a
n
ie
,
S
y
m
u
la
c
ja
S
y
m
u
la
c
ja
A
n
a
liz
a
d
a
n
y
ch
G
ra
fi
ka
B
u
d
o
w
a
a
p
lik
a
cj
i
Toolbox’y – Simulink
Toolbox’y – Simulink
Symbolic Toolbox
Symbolic Toolbox
Przykład 2. Noga Oktopoda
Przykład 2. Noga Oktopoda
z
z
1
1
z
z
2
2
d
d
1
1
a
a
1
1
a
a
2
2
a
a
3
3
z
z
0
0
x
x
0
0
1
1
2
2
3
3
z
z
1
1
z
z
0
0
1
1
Człon
Człon
a
a
i
i
i
i
d
d
i
i
i
i
1
1
a
1
-/2
d
1
1
2
2
a
2
0
0
2
3
3
a
3
0
0
3
Symbolic Toolbox
Symbolic Toolbox
Formy Reprezentacji Modeli Matematycznych
Formy Reprezentacji Modeli Matematycznych
Systemu Mechatronicznego
Systemu Mechatronicznego
w Matlabie/Simulinku
w Matlabie/Simulinku
Bloki Nieliniowe
„Fcn”
Analityczna
Analityczna
m-funkcje
S-funkcje
Graficzno
-
Graficzno
-
Analityczna
Analityczna
Schematy blokowe
Bloki Elementarne
Równania Stanu
Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu
Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu
podsystemów elektromechanicznych
podsystemów elektromechanicznych
• Jak sformułować model matematyczny (podsystemów
elektromechanicznych) aby nie był on przyporządkowany żadnemu
układowi współrzędnych ?
• W przyrodzie ruchem każdego ciała (w układzie
konserwatywnym) rządzi następujące prawo:
całka ta dąży do wartości minimalnej.
1
0
t
t
p
k
dt
E
E
J
(1
)
Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu
Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu
podsystemów elektromechanicznych
podsystemów elektromechanicznych
• W 1740 r. Euler dowiódł, że całka (1) osiąga wartość
ekstremalną, tzn. minimum, maksimum lub punkt przegięcia,
przy spełnieniu następującego warunku:
• Zależność (2) pozwala na znalezienie równań układów
konserwatywnych w dowolnym układzie współrzędnych.
0
q
E
E
q
E
E
dt
d
p
k
p
k
(2
)
Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu
Metody energetyczne w zastosowaniu do opisu
podsystemów elektromechanicznych
podsystemów elektromechanicznych
• W 1780 r. Francuski matematyk Joseph Louis de Lagrange
opracował sposób układania równań ruchu oparty na równaniach
energetycznych (równaniu (2)), który mógł być stosowany do
układów o wielu stopniach swobody. Równania opracowane przy
pomocy tej metody, noszą nazwę równań Lagrange’a II rodzaju.
gdzie: L – funkcja Lagrange’a, potencjał kinetyczny L=E
k
-E
p
n
i
Q
q
L
q
L
dt
d
i
i
i
,
,
2
,
1
(3
)
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 1/8
rodzaju 1/8
• Napisać równania dla układu dwóch mas jak na rysunku.
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 2/8
rodzaju 2/8
• Wyodrębnijmy układ, pomijamy tarcie, zakładamy liniową
charakterystykę sprężyny .
G
ra
n
ic
e
u
kł
a
d
u
B
ra
k
ta
rc
ia
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 3/8
rodzaju 3/8
• Przyjmijmy dwie współrzędne niezależne x i y (dwa stopnie swobody układu)
2
1
y
q
x
q
• Energia kinetyczna układu:
2
2
2
1
y
2
1
x
2
1
m
m
E
k
• Energia potencjalna układu:
2
2
1
y
x
k
E
p
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 4/8
rodzaju 4/8
• Obliczmy wszystkie pochodne potrzebne w równaniach Lagrange’a.
0
i
p
i
k
i
k
q
E
q
E
q
E
dt
d
x
m
x
E
k
1
y
m
y
E
k
2
2
2
2
1
2
1
2
1
y
m
x
m
E
k
x
m
x
E
dt
d
k
1
y
m
y
E
dt
d
k
2
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 5/8
rodzaju 5/8
• Obliczmy wszystkie pochodne potrzebna do równań Lagrange’a II rodzaju.
x
y
k
x
E
p
1
2
2
1
y
x
k
E
p
x
y
k
y
E
p
1
0
i
p
i
k
i
k
q
E
q
E
q
E
dt
d
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 6/8
rodzaju 6/8
• Podstawiając obliczone pochodne do równań Lagrange’a II rodzaju.
• otrzymujemy
ostatecznie:
0
0
2
1
x
y
k
y
m
x
y
k
x
m
0
i
p
i
k
i
k
q
E
q
E
q
E
dt
d
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 7/8
rodzaju 7/8
• Dogodną formą reprezentacji równań przeznaczonych do
symulacji komputerowej jest postać kanoniczna. Przekształćmy,
zatem otrzymane równania do postaci kanonicznej.
• podstawiając:
0
0
2
2
2
2
2
1
x
y
k
dt
y
d
m
x
y
k
dt
x
d
m
y
x
v
dt
dy
v
dt
dx
y
x
y
x
v
dt
dy
v
dt
dx
x
y
k
dt
dv
m
x
y
k
dt
dv
m
0
0
2
1
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 1. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 8/8
rodzaju 8/8
• Wyciągając pochodne na lewą stronę znaków równości.
y
x
y
x
v
dt
dy
v
dt
dx
x
y
k
dt
dv
m
x
y
k
dt
dv
m
0
0
2
1
y
x
y
x
v
dt
dy
v
dt
dx
m
x
y
k
dt
dv
m
x
y
k
dt
dv
2
1
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 1/11
rodzaju 1/11
• Układ dwóch mas z tłumieniem i siłą zewnętrzną.
B
ra
k
ta
rc
ia
G
ra
n
ic
e
u
k
ła
d
u
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 2/11
rodzaju 2/11
• Jako zmienne wybieramy x i y:
,
2
1
y
q
x
q
• Jak wynika z rysunku
skrócenie sprężyn k
1
i k
2
wynosi odpowiednio:
,
3
1
y
k
y
x
k
i
i
p
i
k
i
k
Q
q
E
q
E
q
E
dt
d
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 3/11
rodzaju 3/11
• Energia kinetyczna układu:
2
2
2
1
2
1
2
1
y
m
x
m
E
k
• Energia potencjalna układu:
2
3
2
1
2
1
2
1
y
k
y
x
k
E
p
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 4/11
rodzaju 4/11
• Z energii kinetycznej układu:
x
m
x
E
k
1
y
m
y
E
k
2
2
2
2
1
2
1
2
1
y
m
x
m
E
k
x
m
x
E
dt
d
k
1
y
m
y
E
dt
d
k
2
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 5/11
rodzaju 5/11
• Z energii potencjalnej układu:
y
x
k
x
E
p
1
y
k
y
x
k
y
E
p
3
1
2
3
2
1
2
1
2
1
y
k
y
x
k
E
p
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 6/11
rodzaju 6/11
• Pomiędzy siłami zewnętrznymi i współrzędnymi zachodzą
związki:
y
x
b
f
2
2
y
b
f
4
4
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 7/11
rodzaju 7/11
• Ostatecznie otrzymujemy układ równań:
y
b
y
x
b
y
k
y
x
k
y
m
y
x
b
f
y
x
k
x
m
4
2
3
1
2
2
1
1
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 8/11
rodzaju 8/11
• Po wprowadzeniu prędkości względem układu x i y oraz
sprowadzeniu do postaci kanonicznej otrzymamy:
y
x
y
y
x
y
y
x
x
v
dt
dy
v
dt
dx
y
k
y
x
k
v
b
v
v
b
m
dt
dv
y
x
k
v
v
b
f
m
dt
dv
3
1
4
2
2
1
2
1
1
1
y
x
y
y
x
y
y
x
x
v
dt
dy
v
dt
dx
y
k
y
x
k
v
b
v
v
b
m
dt
dv
y
x
k
v
v
b
f
m
dt
dv
3
1
4
2
2
1
2
1
1
1
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 9/11
rodzaju 9/11
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
u
y
u
x
u
v
u
v
y
x
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 2. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 10/11
rodzaju 10/11
• Odpowiedź układu na skok jednostkowy siły f(t):
Przykład 2.
Przykład 2.
Zastosowania równań Lagrange’a II rodzaju
Zastosowania równań Lagrange’a II rodzaju
11/
11
• Odpowiedź układu na skok jednostkowy siły f(t):
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 1/15
rodzaju 1/15
• Rozważmy układ jak na rysunku poniższym:
• Przyjmijmy
zmienne
uogólnione:
3
2
2
1
1
q
Q
q
Q
q
i
i
p
i
k
i
k
Q
q
E
q
E
q
E
dt
d
Przykład 3. Zastosowania -równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania -równań Lagrange’a II
rodzaju 2/15
rodzaju 2/15
• Energia kinetyczna:
j
i
ij
n
i
n
j
k
Q
Q
M
E
1
1
2
1
• dla podukładu mechanicznego:
2
1
2
1
J
E
k
j
i
ij
n
i
n
j
V
Q
Q
M
dV
BH
1
1
2
1
2
• Energia pola elektromagnetycznego:
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 3/15
rodzaju 3/15
• Energia pola elektromagnetycznego:
2
2
22
1
2
21
2
1
12
2
1
11
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Q
M
Q
Q
M
Q
Q
M
Q
M
Q
Q
M
E
j
i
ij
n
i
n
j
k
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 4/15
rodzaju 4/15
• Energia pola elektromagnetycznego:
2
2
22
2
1
12
2
1
11
21
12
2
1
2
1
Q
M
Q
Q
M
Q
M
M
M
E
k
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
1
2
1
2
1
2
1
Q
M
Q
Q
M
Q
M
J
E
k
• Całkowita energia kinetyczna:
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 5/15
rodzaju 5/15
• Pochodne cząstkowe po pochodnej zmiennej
uogólnionej z energii kinetycznej:
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
1
2
1
2
1
2
1
Q
M
Q
Q
M
Q
M
J
E
k
Po pochodnej pierwszej zmiennej uogólnionej:
2
12
1
11
1
Q
M
Q
M
Q
E
k
Po pochodnej drugiej zmiennej uogólnionej:
1
12
2
22
2
Q
M
Q
M
Q
E
k
Po pochodnej trzeciej zmiennej
uogólnionej:
1
J
E
k
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 6/15
rodzaju 6/15
• Pochodne po czasie z pochodnej zmiennej uogólnionej z energii kinetycznej:
Po pierwszej
zmiennej
uogólnionej:
2
12
1
11
1
Q
M
Q
M
Q
E
k
Po drugiej zmiennej uogólnionej:
1
12
2
22
2
Q
M
Q
M
Q
E
k
Po trzeciej zmiennej uogólnionej:
1
J
E
k
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
Q
M
dt
d
Q
M
dt
d
Q
E
dt
d
k
2
12
12
2
1
11
11
1
2
12
1
11
1
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
Q
E
dt
d
k
1
12
12
1
2
22
22
2
2
1
1
1
J
dt
d
J
J
dt
d
E
dt
d
k
(2a
)
(1a
)
(3a
)
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 7/15
rodzaju 7/15
• Pochodne cząstkowe po zmiennej
uogólnionej z energii kinetycznej:
2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
1
2
1
2
1
2
1
Q
M
Q
Q
M
Q
M
J
E
k
Po pierwszej zmiennej uogólnionej:
0
1
Q
E
k
Po pochodnej drugiej zmiennej uogólnionej:
0
2
Q
E
k
Po pochodnej trzeciej zmiennej
uogólnionej:
22
2
2
12
2
1
11
2
1
2
1
2
1
M
Q
M
Q
Q
M
Q
E
k
(1b
)
(2b
)
(3b
)
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 8/15
rodzaju 8/15
• Energia potencjalna:
2
2
1
k
E
p
Po pierwszej zmiennej uogólnionej:
0
1
Q
E
p
Po pochodnej drugiej zmiennej uogólnionej:
0
2
Q
E
p
Po pochodnej trzeciej zmiennej
uogólnionej:
k
E
p
• Z pochodnej cząstkowej z
energii potencjalnej układu:
(1c)
(2c)
(3c)
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 9/15
rodzaju 9/15
• Łącząc równania 1a, 1b, 1c i 2a, 2b, 2c i
3a, 3b, 3c otrzymujemy:
'
1
2
12
12
2
1
11
11
1
Q
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
'
2
1
12
12
1
2
22
22
2
Q
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
'
3
22
2
2
12
2
1
11
2
1
1
2
1
2
1
Q
k
M
Q
M
Q
Q
M
Q
J
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 10/15
rodzaju 10/15
• Wprowadzając wymuszenia i
uwzględniając elementy dyssypatywne:
1
1
1
2
12
12
2
1
11
11
1
Q
R
U
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
2
2
2
1
12
12
1
2
22
22
2
Q
R
U
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
dt
Q
d
M
dt
dM
Q
0
lub
2
1
2
1
22
2
2
12
2
1
11
2
1
2
2
1
L
T
k
M
Q
M
Q
Q
M
Q
dt
d
J
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 11/15
rodzaju 11/15
• Zastępując pochodne ładunków prądami
otrzymujemy :
1
1
1
2
12
12
2
1
11
11
1
i
R
U
dt
di
M
dt
dM
i
dt
di
M
dt
dM
i
2
2
2
1
12
12
1
2
22
22
2
i
R
U
dt
di
M
dt
dM
i
dt
di
M
dt
dM
i
L
T
k
M
i
M
i
i
M
i
dt
d
J
22
2
2
12
2
1
11
2
1
2
2
1
2
1
2
1
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 12/15
rodzaju 12/15
• Jeśli indukcyjności wzajemne
są pomijalnie małe, to
równania przyjmą postać:
1
1
1
1
11
11
1
i
R
U
dt
di
M
dt
dM
i
2
2
2
2
22
22
2
i
R
U
dt
di
M
dt
dM
i
L
T
k
M
i
M
i
dt
d
J
22
2
2
11
2
1
2
2
1
2
1
2
1
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 13/15
rodzaju 13/15
• Rozpisując wyrażenia na pochodne po czasie
z indukcyjności własnych w równaniu 1 i 2,
otrzymujemy:
1
1
1
1
11
11
1
i
R
U
dt
di
M
dt
d
M
i
2
2
2
2
22
22
2
i
R
U
dt
di
M
dt
d
M
i
L
T
k
M
i
M
i
dt
d
J
22
2
2
11
2
1
2
2
1
2
1
2
1
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 14/15
rodzaju 14/15
• Wprowadzając prędkość kątową,
otrzymujemy:
1
1
1
1
11
11
1
i
R
U
dt
di
M
M
i
2
2
2
2
22
22
2
i
R
U
dt
di
M
M
i
L
T
M
i
M
i
k
dt
d
J
22
2
2
11
2
1
1
2
1
2
1
dt
d
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
Przykład 3. Zastosowania równań Lagrange’a II
rodzaju 15/15
rodzaju 15/15
• Zapisując równania w postaci kanonicznej:
11
1
1
1
1
11
1
1
M
i
i
R
U
M
dt
di
22
2
2
2
2
22
2
1
M
i
i
R
U
M
dt
di
L
T
k
M
i
M
i
J
dt
d
22
2
2
11
2
1
1
2
1
2
1
1
dt
d
gdzie:
11
1
M
i
- napięcia indukowane w
cewce 1 i 2 na skutek ruchu
belki
22
2
M
i
M
M
odelowanie
odelowanie
elementów
elementów
podsystemów
podsystemów
mechanicznych dających się sprowadzić do
mechanicznych dających się sprowadzić do
układu
układu
dwóch mas bezwładnościowych
dwóch mas bezwładnościowych
Układ talerzy dysku twardego i silnika
Układ talerzy dysku twardego i silnika
wrzecionowego
wrzecionowego
Układ pomiarowy momentu silnika indukcyjnego
Układ pomiarowy momentu silnika indukcyjnego
Wyprowadzenie modelu matematycznego układu
Wyprowadzenie modelu matematycznego układu
dwóch mas bezwładnościowych połączonych
dwóch mas bezwładnościowych połączonych
sprężyście
sprężyście
• Energia kinetyczna i potencjalna
2
1
2
1
i
n
i
i
k
q
J
E
1
1
2
1
)
(
2
1
n
i
i
i
i
p
q
q
k
E
Układ dwóch mas połączonych sprężyście
Układ dwóch mas połączonych sprężyście
2
2
2
1
2
1
2
1
m
m
s
s
m
s
k
J
J
q
q
E
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
m
m
s
s
w
m
s
w
m
s
p
k
k
q
q
E
Obliczyć pochodne cząstkowe
Obliczyć pochodne cząstkowe
• Pochodna cząstkowa z energii potencjalnej
s
m
w
s
m
w
m
p
m
s
w
m
s
w
s
p
k
k
E
k
k
E
2
2
2
1
2
2
2
1
i
p
q
E
Tłumienia i moment napędowy
Tłumienia i moment napędowy
e
s
m
w
s
s
s
s
T
k
dt
d
B
dt
d
J
2
2
0
2
2
s
m
w
m
m
m
m
k
dt
d
B
dt
d
J
• Po uporządkowaniu
s
m
w
s
s
s
s
e
s
s
k
J
B
J
T
J
dt
d
1
1
1
s
m
w
m
m
m
m
m
k
J
B
J
dt
d
1
1
s
s
dt
d
m
m
dt
d
Implementacja m
Implementacja m
odel
odel
u
u
układu dwóch mas
układu dwóch mas
bezwładnościowych opisanych RRZ w postaci
bezwładnościowych opisanych RRZ w postaci
kanonicznej
kanonicznej
Model opisany równaniami w dziedzinie
Model opisany równaniami w dziedzinie
transformaty Laplace’a
transformaty Laplace’a
e
s
m
w
s
s
s
s
T
k
s
B
s
J
2
0
2
s
m
w
m
m
m
m
k
s
B
s
J
m
w
e
s
w
s
s
k
T
k
s
B
s
J
2
s
w
m
w
m
m
k
k
s
B
s
J
2
Implementacja modelu układu dwóch mas
Implementacja modelu układu dwóch mas
bezwładnościowych – transformata Laplace’a
bezwładnościowych – transformata Laplace’a
w
s
s
m
w
e
s
k
s
B
s
J
k
T
2
w
m
m
s
w
m
k
s
B
s
J
k
2
Transmitancja
Transmitancja
m
m
/Te:
/Te:
w
s
s
s
k
s
B
s
J
s
p
2
)
(
w
m
m
m
k
s
B
s
J
s
p
2
)
(
)
(s
p
k
T
s
m
w
e
s
)
(
)
(
s
p
k
T
k
s
p
s
m
w
e
w
m
m
w
e
m
w
w
m
s
m
k
T
k
k
s
p
s
p
)
(
)
(
)
(s
p
k
m
s
w
m
Transmitancja
Transmitancja
m
m
/Te:
/Te:
w
e
m
w
s
m
k
T
k
s
p
s
p
)
)
(
)
(
(
2
2
)
(
)
(
w
s
m
w
e
m
k
s
p
s
p
k
T
Wielomian charakterystyczny
Wielomian charakterystyczny
0
)
(
)
(
2
w
s
m
k
s
p
s
p
0
2
2
2
w
w
m
m
w
s
s
k
k
s
B
s
J
k
s
B
s
J
0
2
3
4
s
B
B
k
s
B
B
J
J
k
s
J
B
J
B
s
J
J
s
m
w
m
s
s
m
w
s
m
m
s
m
s
Jeśli tłumienie w układzie jest pomijalnie małe
Jeśli tłumienie w układzie jest pomijalnie małe
0
2
4
s
J
J
k
s
J
J
s
m
w
m
s
0
2
2
s
J
J
k
s
J
J
s
m
w
m
s
0
2
s
m
w
m
s
J
J
k
s
J
J
s
m
w
J
J
k
s
1
1
2
s
m
w
r
J
J
k
1
1
2
Częstotliwość drgań własnych nie tłumionych
Częstotliwość drgań własnych nie tłumionych
s
m
w
r
J
J
k
1
1
Modelowanie złożonych układów przeniesienia
Modelowanie złożonych układów przeniesienia
momentu napędowego
momentu napędowego
Rozwiązując równanie charakterystyczne:
Rozwiązując równanie charakterystyczne:
0
)
det(
2
0
1
1
C
J
• 244.6
• 91.8
• 60.5
• 38.8
• 15.2
Źródła zniekształceń rozkładów przestrzennych pól
Źródła zniekształceń rozkładów przestrzennych pól
Rozmieszczenie uzwojeń w żłobkach stojana i wirnika
Nierównomierna szczelina powietrzna
Nasycanie się obwodu magnetycznego
Wyróżnia się wyższe harmoniczne przestrzenne
Wyróżnia się wyższe harmoniczne przestrzenne
pola magnetycznego
pola magnetycznego
Przepływu,
Permeancyjne,
Nasyceniowe,
Asynchronicznych
Przemiennych (synchronicznych)
Generacja momentów pasożytniczych
Generacja momentów pasożytniczych
Zniekształcenia charakterystyki mechanicznej (tzw. siodła)
Zależność momentu rozruchowego od położenia kątowego wirnika
Drgania skrętne wałów
Rezonanse mechaniczne
Zjawiska związane z momentami pasożytniczymi
Zjawiska związane z momentami pasożytniczymi
Trajektorie momentu skrętnego
Trajektorie momentu skrętnego
Trajektorie momentu skrętnego
Trajektorie momentu skrętnego
Trajektorie momentu skrętnego
Trajektorie momentu skrętnego
Ciągi harmonicznych przestrzennych uzwojenia stojana
,
17
,
3
1
,
1
1
,
7
,
5
,
1
p
p
p
p
p
p
S
,
27
,
21
,
15
,
9
,
3
0
p
p
p
p
p
S
Ciągi harmonicznych przestrzennych generowanych
Ciągi harmonicznych przestrzennych generowanych
przez uzwojenia silnika
przez uzwojenia silnika
Ciągi harmonicznych, generowanych przez
Ciągi harmonicznych, generowanych przez
symetryczne uzwojenia stojana o liczbie par
symetryczne uzwojenia stojana o liczbie par
biegunów p=1, p=2 i p=3
biegunów p=1, p=2 i p=3
Ciągi harmonicznych, generowanych przez klatkę
Ciągi harmonicznych, generowanych przez klatkę
wirnika o liczbie żłobków Qr=10 i Qr=7
wirnika o liczbie żłobków Qr=10 i Qr=7
Ciągi harmonicznych przestrzennych uzwojenia wirnika (klatka)
,
2
,
2
,
,
,
i
Q
i
Q
i
Q
i
Q
i
R
r
r
r
r
i
Mechanizm generowania momentów
Mechanizm generowania momentów
pasożytniczych asynchronicznych i przemiennych
pasożytniczych asynchronicznych i przemiennych
1
1
S
R
1
2
S
R
1
S
R
i
Okresy i prędkości synchroniczne momentów
Okresy i prędkości synchroniczne momentów
przemiennych
przemiennych
Zależność opisująca częstotliwość
Zależność opisująca częstotliwość
momentów przemiennych od prędkości obrotowej
momentów przemiennych od prędkości obrotowej
wirnika
wirnika
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
ms
m
s
T
f
Charakterystyki częstotliwościowo -prędkościowe
Charakterystyki częstotliwościowo -prędkościowe
momentów przemiennych
momentów przemiennych
0
)
,
(
2
2
f
p
f
m
2
)
,
(
p
f
m
Postać graficzna charakterystyk częstotliwościowo-
Postać graficzna charakterystyk częstotliwościowo-
prędkościowych momentów przemiennych
prędkościowych momentów przemiennych
C
zę
st
o
tl
iw
o
ść
H
z
Prędkość wirnika
rad/s
Weryfikacja pomiarowa charakterystyk
Weryfikacja pomiarowa charakterystyk
częstotliwościowo-prędkościowych
częstotliwościowo-prędkościowych
fft(T)
m
T
Prędkości obrotowe układu napędowego przy
Prędkości obrotowe układu napędowego przy
których, powinny pojawić się maksima drgań
których, powinny pojawić się maksima drgań
rezonansowych
rezonansowych
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Prędkość układu napędowego [rad/s]
C
zę
s
to
tl
iw
o
ś
ć
p
u
ls
a
c
ji
s
k
ła
d
o
w
y
c
h
m
o
m
e
n
tu
n
a
p
ę
d
o
w
e
g
o
[
H
z]
Pary (2.26),(10.38)
Pary (2.58), (10.46)
Pary (2.82), (10.74)
Częstotliwość własna momentomierza
