FUNKCJA LINIOWA
Opracował mgr Zenon Kubat
FUNKCJA LINIOWA
Opracował mgr Zenon Kubat
WPROWADZENIE.
POKAZ PRZEZNACZONY JEST
DLA UCZNIÓW Kl.II
GIMNAZJUM.
Współrzędne punktu na
płaszczyźnie.
x -3 -2 -2 -1 0 0 1 1 2
y 1 1 -2 0 -1 1 0 2 -1
-
2 -1
1
1
0
y
y
x
x
A(-2,-2)
(0,1)
(1,2)
(2,-1)
-1
-2
2
2
-
3
(-3,1)
(0,-1)
(-1,0)
(1,0)
FUNKCJA LINIOWA
jest to prosta, która opisana jest wzorem:
y= mx + b
y - wartość funkcji
m - współczynnik kierunkowy
x - argument funkcji
b - punkt przecięcia się prostej z
osią OY
Gdy m>0 to prosta przechodzi przez I i III
ćwiartkę
układu współrzędnych.
Jeżeli m< 0 , to prosta przechodzi przez II i IV
ćwiartkę
układu współrzędnych.
I
I
II
II
III
III
IV
IV
0
X
Y
m>0
m<0
Wykresem funkcji liniowej jest prosta.
PRZYKŁAD 1
Narysuj wykres funkcji: y= 2x +1
dla y = 0 mamy : 0 = 2x + 1 czyli:
-2x = 1
2x = -1
X
= -0,5
B
(0,1)
A(-0,5;0)
Dla x = 0 mamy: y= 2*0 +1 = 1
Z zapisu funkcji wynika, że m = 2
-
1
1
1
0
y
y
x
x
-
1
B(0,1)
A(-0,5,0)
y = 2x + 1
Wykres funkcji
przechodzącej przez
punkty A(-0,5;0) i B( 0,1)
Przykład 2.
Narysuj wykres funkcji: y = - 2x + 2
z funkcji wynika,że: m<0 , gdyż :
m =- 2
Dla x = 0 , y = - 2 *0
+ 2 = 2
czyli : B( 0,2)
Dla y = 0 0 = -2x + 2
2x = 2
x = 1
czyli : A ( 1,0)
-
2 - 1
1
1 2
0
y
y
x
x
-
1
B(0,2)
A(1;0)
y = - 2x + 2
2
Wykres funkcji przechodzącej
Przez punkty A(1,0) i B(0.2)
SZCZEGÓLNY PRZYPADEK
PROSTEJ.
gdy m = 0 , b= 0
wówczas y = b
prosta jest równoległa do osi 0X i przechodzi przez punkt b
gdy, dla każdego y ; x = c
wówczas prosta jest równoległa do osi OY i przechodzi
przez punkt c leżący na osi 0X.
0
y
y
x
x
B(0,b)
b
y = b
A(C,0)
x=c
Warunek równoległości
prostych.
Dowolne dwie proste są do siebie równoległe , gdy
spełniony jest warunek m
1
= m
2
np.
y = 3x + 5
y = -2x - 2
y = 3x - 2
y = - 2x + 4
m= 3
m = - 2
i
i
Warunek prostopadłości
prostych.
Dwie proste są do siebie prostopadłe, gdy zachodzi warunek:
m
1
* m
2
= - 1
Przykład.
y = 2x + 2 i y = - 0,5x - 10
gdyż, 2*(-0,5) = -1
y = -3x - 3 i y =
1
3
x + 1,5
gdyż,
-3*
1
3
= - 1
PROSTE
PROSTE
RÓWNOLEGŁE
RÓWNOLEGŁE
- 1
1
1 2
0
y
y
x
x
-
1
B(0,2)
A(-2,0)
y = 1x + 2
A
1
(1,0)
B
1
(0,-1)
y = 1x -1
y = x
2
m = 1
PROSTE
PROSTE
PROSTOPADŁE
PROSTOPADŁE
-
2 - 1
1
1 2
0
y
y
x
x
-
1
B
1
(0,2)
A
1
(-2,0)
y = 1x + 2
A
2
(-1,0)
B
2
(1,0)
y = - x -1
2
m
1
= 1
m
2
= -1
m
1
*m
2
= -1
RÓWNANIE PROSTEJ PRZECHODZĄCEJ
RÓWNANIE PROSTEJ PRZECHODZĄCEJ
PRZEZ PUNKTY :A(
PRZEZ PUNKTY :A(
x
x
o,
o,
y
y
o) i B(
o) i B(
x
x
1
1
,
,
y
y
1
1
)
)
Punkt A(x
o
;yo) leży na prostej y = mx + b, wtedy gdy zachodzi :
y
o=
mx
o
+
b
Prosta przechodzi przez punkty A(xo,yo) i B(x
1
,y
1
), wtedy gdy zachodzi:
y
y
y
y
x
x
x
x
0
1
0
1
0
0
PRZYKŁAD
PRZYKŁAD
y
y
y
y
x
x
x
x
0
1
0
1
0
0
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A( 2,1)
i B(-2,3)
Rozwiązanie
oznaczamy: x
o
= 2 ; y
o
= 1
x
1
= -2 ; y
1
= 3
i podstawiamy do
równania
y - 1 = -0,5 ( x -2)
y = -0,5x +2
Otrzymujemy
-2 - 1
1
1 2
0
y
y
x
x
-1
2
-3
-2
3
A(2,1)
B(-2,3)
3
4
y = -
0,5x
+
2
b = 2
m = - 0,5
b = 2
y = ax + b