1
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
Metody Obliczeniowe
Metody Obliczeniowe
Dr inż. Władysław Ryżyński
Dr inż. Władysław Ryżyński
Wykład Nr 1
Wykład Nr 1
Macierze
i układy równań
liniowych
2
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
RACHUNEK MACIERZOWY - DEFINICJE
Macierz A – tablica liczb składająca się z n wierszy i m
kolumn (oznaczana jako A lub [a
ik
] ; i – numer
wiersza, k – numer kolumny)
Macierz kwadratowa – macierz w której n = m
Macierz transponowana A
T
– macierz, w której
zamieniono wiersze i kolumny
Macierz symetryczna – macierz niezmiennicza względem
transpozycji (a
ik
= a
ki
)
Macierz odwrotna A
-1
– pomnożona przez macierz A daje
macierz jednostkową oznaczaną jako I lub E (A A
-1
= I)
3
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
Użyteczne reguły
Mnożenie macierzy nie jest przemienne
41
14
31
13
21
12
11
11
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
j
jk
ij
ik
b
a
c
4
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
METODY ROZWIĄZYWANIA
UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH
1. Metoda wyznaczników Cramera
2. Metoda eliminacji Gaussa-Jordana
3. Metoda eliminacji Gaussa
5
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
6
Suwałki, 2011 r.
Suwałki, 2011 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
PRZYKŁAD
7
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
Eliminacja Gaussa
8
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
W metodzie dekompozycji LU macierz A jest rozdzielana na
iloczyn dwu macierzy składowych dolnej i górnej trójkątnej,
tzn. A = LU.
Algorytm Crouta
9
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
Jeśli macierz A układu równań jest macierzą symetryczną dodatnio
określoną (jest np. macierzą kowariancyjną lub korelacyjną) to jej
dekompozycja LU ma prostszą postać nazywaną
dekompozycją
Choleskiego
– macierz trójkątna górna U ma taką samą zawartość
elementową jak macierz trójkątna dolna L. Wyznaczyć trzeba
dwukrotnie mniej elementów macierzy.
10
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
Poszczególne elementy macierzy L są wyznaczane wg zależności
:
11
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich
Duże
macierze rzadkie
(częsty przypadek przy analizie metodą
różnic i elementów skończonych) i w szczególności macierze
trójprzekątniowe mogą być przetwarzane metodami eliminacji
dużo efektywniej przy wykrywaniu i pomijaniu elementów
zerowych.
Metody iteracyjne – alternatywa dla macierzy rzadkich
Metoda Successive Overrelaxation (SOR)
1. Metoda Jacobiego
2. Metoda Gaussa-Seidla
3. Metoda Successive Overrelaxation (SOR
)
12
Suwałki, 2012 r.
Suwałki, 2012 r.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Suwałkach
Instytut Budownictwa
Instytut Budownictwa
Dziękuję za uwagę!