„Temu, kto nie zna
matematyki, trudno
spostrzec głębokie piękno
przyrody.”
Richard Feynman
„Temu, kto nie zna
matematyki, trudno
spostrzec głębokie piękno
przyrody.”
Richard Feynman
TRÓJKĄTY PROSTOKĄTNE W
UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH
Prostokątny (kartezjański) układ
współrzędnych jest najpopularniejszym
narzędziem służącym do określania położenia
punktu na płaszczyźnie, czy też w przestrzeni.
Dzięki własnością trójkątów prostokątnych w
łatwy sposób możemy obliczyć długość
odcinka narysowanego w układzie
współrzędnych w oparciu o współrzędne jego
końców.
UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH.
Przypomnijmy sobie jak odczytujemy dane z
układu współrzędnych:
Punkt A ma
współrzędne (-3; 5).
W skrócie
zapisujemy to tak:
A = (-3; 5) .
W nawiasie
podajemy
współrzędne
zawszę w tej samej
kolejności: najpierw
oś X, potem oś Y.
Punkt = (x; y)
DŁUGOŚĆ ODCINKA W
UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
Łatwo jest podać długość odcinka
równoległego do którejś z osi układu –
wystarczy policzyć ile kratek zajmuje (przez
ile podziałek przechodzi)
Długość odcinka
oznaczamy pionowymi
kreskami:
|AB| = 3
|CD| = 4
|EF| = 5
DŁUGOŚĆ ODCINKA W
UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
Możemy także obliczyć długość na
podstawie współrzędnych końców.
A = (
3
; 5) , B = (
3
; 2)
|AB| = |5 – 2| = 3
UWAGA
Te same współrzędne osi X świadczą o tym,
że odcinek jest równoległy do osi Y. Te same
współrzędne osi Y świadczą o tym, że
odcinek jest równoległy do osi X.
DŁUGOŚĆ ODCINKA W
UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH.
C = (
-3
; 3) , D = (
-3
; -1)
|CD| = |3 – (-1)| = |3 + 1|= 4
E = (-6;
-4
) , F = (-1;
-4
)
|EF| = |-6 – (-1)| = |-6 + 1| = |-5| = 5
W obliczeniach symbol |…| oznacza wartość
bezwzględną. Długość nie może być ujemna.
DŁUGOŚĆ ODCINKA W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH.
A jak obliczyć długość tego odcinka?
DŁUGOŚĆ ODCINKA W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH.
Wystarczy umiejętnie skorzystać z
twierdzenia Pitagorasa. A gdzie tu trójkąt
prostokątny? A tutaj:
DŁUGOŚĆ ODCINKA W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH.
Oznaczmy sobie:
x = |BC| = 3
– odcinek równoległy do osi X
y = |AC| = 4
- odcinek równoległy do osi Y
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy więc:
|AB|
2
= x
2
+ y
2
|AB|
2
= 3
2
+ 4
2
|AB|
2
= 9 + 16
|AB|
2
= 25
|AB| = 5
DŁUGOŚĆ ODCINKA W
UKŁADZIE
WSPÓŁRZĘDNYCH.
Pytanie: jak sobie poradzić gdy nie mamy
rysunku? Spójrzmy inaczej na bieżący przykład.
Współrzędne punktów A i B to: A = (
4
;
-1
) , B =
(
1
,
-5
). Aby obliczyć długość odcinka
oznaczonego przez nas przez x, wystarczy
odjąć od siebie współrzędne „iksowe” i
wyciągnąć z nich wartość bezwzględną:
x
= |
4
–
1
| = 3
Analogicznie możemy obliczyć y, z tym, że
odejmujemy współrzędne „igrekowe”:
y
= |
-1
– (
-5
)| = |-1 + 5| = 4
Dalsze obliczenia są takie same jak wcześniej.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1.
Oblicz długość odcinka którego końcami są
punkty:
A = (2; -3) , B = (-1; -7).
Postępujemy zgodnie ze wskazówkami z
poprzedniej planszy.
x = |2 – (-1)| = |2 + 1| = 3
y = |-3 – (-7)| = |-3 + 7| = 4
|AB|
2
= 3
2
+ 4
2
|AB|
2
= 9 + 16 = 25
|AB| = 5
PRZYKŁADOWE
ZADANIA.
ZADANIE 1.
Oblicz długości boków narysowanego trójkąta.
Wypiszmy najpierw
współrzędne
punktów:
A = (-2; 4) , B = (1;
-3) ,
C = (4; 2).
Dla boku AB mamy:
x = |-2 – 1| = |-3| = 3
y = |4 – (-3)| = |4 +
3| = 7
|AB|
2
= 3
2
+ 7
2
|AB|
2
= 9 + 49 = 58
|AB| =
58
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Dla boku AC mamy:
x = |-2 – 4| = |-6| = 6
y = |4 – 2| = 2
|AC|
2
= 6
2
+ 2
2
|AC|
2
= 36 + 4 = 40
|AC| = = 2
40
10
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1. – ciąg dalszy
Dla boku BC mamy:
x = |1 – 4| = |-3| = 3
y = |-3 – 2| = |-5| = 5
|BC|
2
= 3
2
+ 5
2
|BC|
2
= 9 + 25 = 24
|BC| = 6
2
24
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2.
Oblicz odległość punktu A = (12; -5) od
początku układu współrzędnych.
Początek układu współrzędnych to punkt O =
(0; 0) mamy więc dla odcinka AO:
x = |12 – 0| = 12
y = |-5 – 0| = |-5| = 5
– do obliczeń wystarczy więc
wziąć wartość
bezwzględną ze współrzędnych
|AO|
2
= 12
2
+ 5
2
|AO|
2
= 144 + 25 = 169
|AO| = 13
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3.
Czy punkt A = (-6; 8) leży na okręgu o
promieniu 10 i początku w układzie
współrzędnych?
Aby punkt leżał na takim okręgu jego odległość
od początku układu współrzędnych musi
wynosić 10. Sprawdźmy dla punktu A:
x = |-6| = 6
y = |8| = 8
|AO|
2
= 6
2
+ 8
2
|AO|
2
= 36 + 64 = 100
|AO| = 10
A więc ten punkt leży na danym okręgu.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4.
Znajdź współrzędne punktów z rysunku.
Z rysunku można
odczytać
współrzędne x oraz
promień koła. Mamy:
r = 5
A = (2; …) , B = (2;
…)
Współrzędną y
znajdziemy
korzystając z tego,
że:
|AO| = r = 5
|BO| = r = 5
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4 – ciąg dalszy.
Mamy więc:
5
2
= 2
2
+ y
2
25 = 4 + y
2
25 – 4 = y
2
y
2
= 21
W takim razie y = dla punktu A i y = -
dla punktu B. Zatem:
A = (2; )
B = (2; - )
21
21
21
21
WZÓR
Jeśli ktoś woli mieć gotowy przepis na
obliczanie długości odcinków w układzie
współrzędnych w oparciu o podane już
informacje może wyprowadzić wzór.
Oznaczmy współrzędne dwóch punktów:
P
1
= (x
1
; y
1
) , P
2
= (x
2
; y
2
)
Wtedy długości odcinków oznaczonych przez
nas przez x i y obliczymy tak:
x = |x
1
- x
2
|
y = |y
1
- y
2
|
A więc :
|P
1
P
2
|
2
= x
2
+ y
2
= |x
1
- x
2
|
2
+ |y
1
- y
2
|
2
WZÓR
P
1
= (x
1
; y
1
) , P
2
= (x
2
; y
2
)
Wzór ten można nieco udoskonalić. Wiesz
jak?
2
2
1
2
2
1
2
1
y
y
x
x
P
P