Ciągi liczbowe
• Funkcję określoną na zbiorze liczb
naturalnych N nazywamy ciągiem:
f: N R.
• Przyjęła się konwencja zapisywania
ciągów w postaci {a
n
}, gdzie a
n
=
f(n) jest n – tym wyrazem ciągu.
Ciąg najczęściej określamy, podając
wzór na n – ty wyraz.
Przykłady
• a
n
= a + (n – 1)r - ciąg arytmetyczny. W
ciągu tym a jest pierwszym wyrazem a
r jest różnicą ciągu.
• - ciąg geometryczny.
Pierwszym wyrazem jest liczba a.
Liczba q jest ilorazem ciągu.
• - ciąg
Fibonacciego.
1
n
n
q
a
a
1
2
2
1
,
1
,
1
n
n
n
a
a
a
a
a
Ciągi monotoniczne
• Ciąg liczbowy {a
n
} jest rosnący
(niemalejący) wtedy i tylko wtedy, gdy
.
• Ciąg liczbowy {a
n
} jest malejący
(nierosnący) wtedy i tylko wtedy, gdy
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
Granica właściwa ciągu
• Ciąg {a
n
} jest zbieżny do granicy
właściwej g, co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
• Oznacza to, że prawie wszystkie wyrazy
ciągu różnią się dowolnie mało od liczby g.
,
lim
g
a
n
n
|
|
0
0
0
g
a
n
n
n
N
n
Korzystając z definicji
uzasadnić
0
4
1
4
3
1
3
1
3
1
3
1
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
Granica niewłaściwa
• Ciąg {a
n
} jest zbieżny do granicy
niewłaściwej , co zapisujemy
wtedy i tylko wtedy, gdy
• Oznacza to, że prawie wszystkie wyrazy
ciągu są większe od dowolnie dużej liczby.
,
lim
n
n
a
n
n
n
N
n
a
0
0
0
Tempa zbieżności ciągów
Tempa zbieżności od ciągów
najwolniej do najszybciej
rozbieżnych do +:
• Ciąg logarytmiczny ln n;
• Ciąg pierwiastkowy , 0<p<1 -
im większe p, tym ciąg szybciej
rozbieżny;
• Ciąg liniowy n;
p
n
• Ciąg potęgowy 1<p - im
większe p, tym ciąg szybciej
rozbieżny;
• Ciąg wykładniczy , a >1 - im
większe a, tym ciąg szybciej
rozbieżny.
p
n
n
a
• Przy szukaniu granicy postaci
wystarczy porównać wyrazy o
najszybszym tempie rozbieżności
w liczniku i mianowniku.
mianownik
licznik
n
lim
• Jeśli mianownik rozbiega do
nieskończoności szybciej niż
licznik, to ułamek dąży do zera.
• Jeśli licznik rozbiega szybciej do
nieskończoności niż mianownik, to
cały ułamek albo dąży do
nieskończoności, albo nie ma
granicy.
Przykłady
3
1
3
lim
4
3
7
lim
n
n
n
n
n
n
0
3
2
lim
5
3
4
2
lim
n
n
n
n
n
n
5
6
3
5
2
6
01
,
0
lim
4
01
,
0
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
Arytmetyka granic ciągów
• Jeżeli ciągi {a
n
} i {b
n
} są zbieżne
do granic właściwych, to
1.
2.
3.
4.
n
n
n
n
b
a
b
a
lim
lim
)
lim(
)
(lim
)
(lim
)
lim(
n
n
n
n
b
a
b
a
n
n
n
n
b
a
b
a
lim
lim
lim
p
n
p
n
a
a
)
(lim
)
lim(
Ciągi z granicą e
• Jeżeli ciąg {a
n
} o wyrazach dodatnich
( ujemnych) jest zbieżny do granicy
niewłaściwej ( - ), to
.
1
1
lim
e
a
n
a
n
n
a
n
n
e
n
a
1
lim
Granice ciągu
geometrycznego
1
1
1
1
1
|
|
0
lim
q
dla
istnieje
nie
q
dla
q
dla
q
dla
q
n
n
.
1
lim
;
0
,
1
lim
n
n
n
n
n
a
gdzie
a
Twierdzenie o trzech
ciągach
• Jeżeli ciągi {a
n
} , {b
n
} , {c
n
}
spełniają warunki:
1. dla każdego n >
n
0
,
2.
to
n
n
n
c
b
a
,
lim
lim
b
c
a
n
n
.
lim
b
b
n
Granice funkcji
• Obliczyć:
• Problemy zaczynają się, gdy
dostajemy wyrażenia
nieoznaczone.
Obliczyć:
2
7
2
7
lim
7
x
x
x
2
1
/
1
/
4
1
/
1
4
lim
1
4
1
4
lim
1
4
)
1
4
)(
1
4
(
lim
)
1
4
(
lim
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Oblicz:
Oblicz:
1
,
0
)
5
)(
5
(
5
lim
25
5
lim
5
2
5
x
x
x
x
x
x
x
4
1
2
4
1
lim
)
2
4
(
)
2
4
)(
2
4
(
lim
2
4
lim
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ważne granice
•
;
1
1
lim
;
ln
1
lim
;
1
lim
;
1
sin
lim
0
0
0
0
x
e
a
x
a
x
tgx
x
x
x
x
x
x
x
x
.
)
1
(
lim
;
1
lim
;
1
)
1
ln(
lim
1
0
0
e
x
e
x
a
x
x
x
x
a
x
x
x
Asymptoty funkcji
• Prosta x = a jest asymptotą pionową
funkcji f , jeżeli
)
(
lim x
f
a
x
a
x=a
x
y
• Prosta y = Ax + B jest asymptotą
ukośną funkcji f wtedy i tylko wtedy,
gdy
].
)
(
[
lim
)
(
lim
Ax
x
f
B
oraz
x
x
f
A
x
x
Znaleźć asymptoty funkcji
• Prosta y = x jest asymptotą ukośną.
.
0
1
1
lim
)
1
(
lim
1
1
1
lim
1
lim
1
)
(
2
2
2
2
2
2
2
B
x
x
x
x
x
x
A
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
Ciągłość funkcji
• Funkcja jest ciągła w punkcie x =
a, gdy
)
(
)
(
lim
a
f
x
f
a
x
x
y
y=f(x)
.
a
f(a)
a
f(a)
Przykład
• Czy można znaleźć taką wartość
parametru b, aby funkcja f była
ciągła, gdzie:
Odp.: b = 1.
0
0
,
1
)
(
x
b
x
x
x
x
f
Pochodna funkcji
• Wyrażenie
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f
w przedziale
Iloraz różnicowy jest miarą przeciętnej
prędkości zmiany wartości funkcji f w
przedziale
h
x
f
h
x
f
)
(
)
(
0
0
h
x
x
0
0
,
h
x
x
0
0
,
Definicja pochodnej
• Pochodną funkcji f w punkcie
nazywamy granicę
Pochodna jest miarą prędkości zmiany
wartości funkcji f w punkcie .
- funkcja
pochodna.
0
x
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
0
0
0
0
0
x
dx
df
x
f
h
x
f
h
x
f
h
0
x
)
(x
f
y
x
x
0
f(x
0
)
x
0
+h
f(x
0
+h)
sieczne
styczna
h
x
y
y=f(x)
Interpretacja geometryczna
pochodnej
• Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie
jest równa współczynnikowi
kierunkowemu prostej stycznej do
wykresu w punkcie ( , f( ))
Równanie stycznej:
0
x
0
x
0
x
)
(
)
)(
(
0
0
0
x
f
x
x
x
f
y
Wzory i reguły na obliczanie
pochodnych
2
)
4
)
(
)
3
)
(
)
2
)
(
)
1
g
g
f
g
f
g
f
f
c
f
c
g
f
g
f
g
f
g
f
g
f
Pochodna funkcji złożonej
• Niech g : X Y oraz f : Y Z
Złożeniem ( lub superpozycją ) odwzorowań
g i f nazywamy odwzorowanie
czyli
• - reguła
łańcuchowa
Z
X
g
f
:
))
(
(
)
)(
(
x
g
f
x
g
f
)
(
))
(
(
)
(
)
(
x
g
x
g
f
x
g
f
dx
du
du
dy
dx
dy
Pochodne funkcji
elementarnych
x
x
a
x
x
e
e
a
a
a
x
p
x
C
a
x
x
x
x
p
p
1
)
(ln
ln
1
)
(log
)
(
ln
)
(
)
(
0
1
x
tgx
x
x
x
x
2
cos
1
)
(
sin
)
(cos
cos
)
(sin
2
2
2
1
1
)
(
1
1
)
(arccos
1
1
)
(arcsin
x
arctgx
x
x
x
x
Przykłady wyznaczania
pochodnych
.
cos
sin
3
cos
))
sin
(
cos
3
(cos
cos
1
)
cos
(ln(
2
1
3
)
1
3
(
2
1
)
(
)
cos(
2
)
)(
cos(
)
)
(sin(
)
3
1
(
2
1
2
3
2
1
)
3
(
)
3
(
2
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
6
5
2
1
6
5
2
3
6
1
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Różniczka funkcji jednej
zmiennej
• Jeżeli funkcja y = f(x) jest
różniczkowalna, to wyrażenie
nazywamy różniczką tej funkcji w
punkcie
. (dx = x’
x =
x)
• Gdy przyrost dx jest mały, to y dy.
Wykorzystuje się tę przybliżoną równość
m. in. przy szacowaniu błędów.
dx
x
f
dy
)
(
0
0
x
Szacowanie błędów
• Niech
będzie błędem bezwzględnym, który
jest różnicą między pomierzoną
wartością funkcji f( ) a wartością
dokładną
f( +dx).
- błąd względny.
dy
x
f
dx
x
f
|
)
(
)
(
|
0
0
0
x
0
x
%
100
|
)
(
|
|
|
0
x
f
dy
Przykład
Bok sześcianu wynosi 5 m ± 0,01m.
Obliczyć błąd bezwzględny i błąd
względny, powstałe przy
obliczaniu objętości sześcianu.
%
6
,
0
%
100
125
75
,
0
,
75
,
0
|
|
75
,
0
)
(
,
75
)
5
(
,
3
01
,
0
,
5
,
)
(
3
0
2
0
3
m
dV
dx
x
V
dV
V
x
V
dx
x
x
x
V
Twierdzenie Lagrange’a o
wartości średniej
• Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na
domkniętym przedziale <a , b> i
różniczkowalna na (a , b), to
istnieje punkt c(a , b) taki, że:
.
),
(
)
(
)
(
b
c
a
c
f
a
b
a
f
b
f
Monotoniczność funkcji
• Jeżeli w przedziale ( a, b),
to funkcja f(x) jest rosnąca w tym
przedziale.
• Jeżeli w przedziale ( a, b),
to funkcja f(x) jest malejąca w tym
przedziale.
• Jeżeli w przedziale ( a, b),
to funkcja f(x) jest stała w tym
przedziale.
0
)
(
x
f
0
)
(
x
f
0
)
(
x
f
Badanie monotoniczności
Zbadać monotoniczność funkcji
Wyznaczamy pochodną i badamy
znak pochodnej:
2
2
)
(
x
e
x
x
f
)
1
(
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
e
x
f
x
e
x
e
e
x
e
x
x
f
x
x
x
x
x
• Funkcja ta jest rosnąca w
przedziale
(-1, 1 ).
• Funkcja jest malejąca w
przedziałach
( -, -1 ) (1, ).
1
lub
1
0
1
0
)
(
1
1
0
1
0
)
(
2
2
x
x
x
x
f
x
x
x
f
Ekstrema lokalne funkcji
• Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie
i różniczkowalna w pewnym otoczeniu
( -
, ) ( , +
)
tego punktu, przy czym
to funkcja f(x) ma w punkcie minimum
( maksimum ) lokalne.
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
0
0
0
)
0
)
(
(
0
)
(
)
0
)
(
(
0
)
(
x
x
x
dla
x
f
x
f
oraz
x
x
x
dla
x
f
x
f
0
x
• Funkcja
ma w punkcie x = -1 minimum
równe
oraz maksimum w punkcie x = 1 równe
2
2
)
(
x
e
x
x
f
60653
,
0
)
1
(
2
1
min
e
f
f
60653
,
0
)
1
(
2
1
max
e
f
f
Druga pochodna
• Druga pochodna funkcji jest
pochodną pierwszej pochodnej.
2
2
)
(
)
(
dx
y
d
x
f
y
dx
dy
x
f
y
)).
sin(
2
)
(cos(
2
)
)
cos(
2
(
)
)
(
(
)
(
)
cos(
2
)
(
)
sin(
)
(
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x
f
Zastosowania drugiej
pochodnej
• Jeżeli w każdym punkcie przedziału
(a, b),
to funkcja f(x) jest w
tym przedziale wypukła ( ).
• Jeżeli w każdym punkcie przedziału
(a, b),
to funkcja f(x) jest w
tym przedziale wklęsła ( ).
,
0
)
(
x
f
,
0
)
(
x
f
Zbadać przebieg zmienności funkcji
f-cja wypukła
f-cja wklęsła.
2
3
3
)
(
x
x
x
f
1
0
)
(
1
0
)
(
)
1
(
6
6
6
)
(
4
)
2
(
;
0
)
0
(
)
(
2
0
0
)
(
)
(
2
0
0
)
(
)
2
(
3
6
3
)
(
min
max
2
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
f
f
f
f
x
f
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
Określenie ekstremum na
podstawie drugiej
pochodnej
• Jeżeli w punkcie
to funkcja f(x) ma w tym punkcie
ekstremum – maksimum, gdy
a minimum, gdy
,
0
)
(
0
)
(
,
0
0
0
x
f
oraz
x
f
x
0
)
(
0
x
f
.
0
)
(
0
x
f
Przykład
•
Zbadać ekstrema funkcji
Obliczamy pierwszą pochodną i jej miejsca
zerowe:
Znajdźmy drugą pochodną i jej znak w x=1:
R
D
x
x
y
,
ln
1
1
0
,
ln
)
ln
1
(
1
2
2
x
y
x
x
x
x
x
x
y
0
1
)
1
(
,
ln
2
1
ln
2
1
3
4
2
y
x
x
x
x
x
x
x
y
Notacja różniczkowa
pochodnych
2
)
(
v
udv
vdu
v
u
d
udv
vdu
uv
d
dx
y
dy
• Wyznaczyć pochodną
z równania
dx
dy
0
4
2
2
2
y
x
xy
y
x
4
2
2
2
)
2
2
(
)
4
2
(
0
4
2
2
2
x
y
x
y
dx
dy
x
y
dx
x
y
dy
dy
dx
xdy
ydx
ydy
xdx
•
Reguła de l’Hospitala
• Reguła de l’Hospitala mówi, że jeżeli
funkcje f(x) i g(x) obie dążą do 0 lub
obie dążą do ,
przy x a, to
o ile tylko druga z granic istnieje.
,
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
x
g
x
f
a
x
a
x
Przykłady
).
0
(
0
1
lim
ln
lim
.
1
1
)
1
/(
1
lim
)
1
ln(
lim
.
0
lim
/
1
/
1
lim
/
1
ln
lim
ln
lim
.
1
1
cos
lim
sin
lim
0
0
0
2
0
0
0
0
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Wzór Taylora
gdzie
.
,
)
(
)!
1
(
)
(
0
1
0
)
1
(
x
c
x
x
x
n
c
f
R
n
n
n
,
)
(
!
)
(
...
)
(
!
2
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
0
0
)
(
2
0
0
0
0
0
n
n
n
R
x
x
n
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
f
Przykład
• Za pomocą wzoru Taylora obliczyć
ln1,2 z dokładnością do czterech
miejsc po przecinku.
• f(x) = lnx, a = 1.
.
1823
,
0
2
,
1
ln
5
00005
,
0
1
2
,
0
|
|
.
2
,1
1
,
)
1
(
)
1
(
)
1
(
;
)
1
(
)
1
(
...
)
1
(
4
1
)
1
(
3
1
)
1
(
2
1
)
1
(
ln
1
1
1
1
4
3
2
n
n
R
c
x
c
n
R
R
x
n
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
n
•
Szereg Taylora
• Jeżeli
• Jest to rozwinięcie Taylora funkcji f(x)
wokół punktu x = a.
• Jeżeli a = 0, to mówimy o rozwinięciu
Maclaurina:
.
!
)
(
)
(
)
(
,
0
lim
0
)
(
k
k
k
n
n
k
a
x
a
f
x
f
to
R
...
!
3
)
0
(
!
2
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
(
3
2
x
f
x
f
x
f
f
x
f
•
.
!
1
....
!
3
1
!
2
1
1
.
)!
2
(
)
1
(
....
!
6
1
!
4
1
!
2
1
1
cos
.
)!
1
2
(
)
1
(
....
!
7
1
!
5
1
!
3
1
sin
0
3
2
0
2
6
4
2
0
1
2
7
5
3
n
n
x
n
n
n
n
n
n
x
n
x
x
x
e
x
n
x
x
x
x
x
n
x
x
x
x
x
Pochodne cząstkowe
funkcji wielu zmiennych
z = f(x,y), u = u(x,y,t) - funkcje
dwóch, trzech zmiennych
( łatwo uogólnić na funkcję n
zmiennych).
• Aby wyznaczyć pochodną
cząstkową, różniczkujemy po jednej
zmiennej, traktując pozostałe
zmienne jako stałe.
0
;
3
;
3
0
;
4
;
6
1
;
4
;
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
3
z
x
u
z
y
u
x
x
y
u
x
y
x
u
z
u
y
u
xy
x
u
z
u
y
x
y
u
y
x
x
u
z
y
y
x
u
3
2
2
2
)
(
;
V
a
b
V
RT
V
P
b
V
R
T
P
V
a
b
V
RT
P
Różniczka zupełna
dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
z
y
x
df
dy
y
f
dx
x
f
y
x
df
)
,
,
(
)
,
(
dz
z
y
x
dy
z
y
xy
dx
z
y
du
z
y
x
u
)
sin(
)
sin(
2
)
cos(
)
cos(
2
2
2
2
Obliczenia przybliżone
• Dla małych przyrostów dx, dy
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
y
x
df
y
x
f
dy
y
dx
x
f
.
965
,
2
035
,
0
3
)
98
,
1
(
;
3
)
2
;
0
(
035
,
0
)
2
;
0
(
;
2
3
)
,
(
02
,
0
03
,
0
2
0
,
)
,
(
3
03
,
0
3
2
0
0
3
e
f
df
y
e
dy
y
dx
e
y
x
df
dy
dx
y
x
y
e
y
x
f
x
x
x
Gradient funkcji
• Gradient wyznacza kierunek
najszybszego wzrostu funkcji
z
f
y
f
x
f
z
y
x
f
z
y
x
gradf
,
,
)
,
,
(
)
,
,
(
• Znaleźć kierunek najszybszego
wzrostu funkcji
w punkcie (1, 2, -1).
2
2
)
,
,
(
xyz
y
x
z
y
x
f
]
4
,
2
,
6
[
)
1
,
2
,
1
(
2
;
;
2
2
2
2
f
xyz
z
f
xz
x
y
f
yz
xy
x
f