Pole elektryczne
Wykład 10
1
Pole elektryczne
Wykład 10
1
Zasady zaliczania w semestrze I
• Przedmiot w tym semestrze jest zaliczany na ostatnich zajęciach
• Zaliczanie w formie pracy pisemnej polega na odpowiedzi na 6
pytań definicyjnych i jedno opisowe.(
Obowiązuje materiał z
kursu i wykładów)
• Podstawą do wpisania do indeksu zaliczenia przedmiotu
jest wcześniejsze zaliczenie ćwiczeń rachunkowych i
kursu.
• Osoby które nie zaliczą przedmiotu na ostatnich zajęciach przed
kolejnym zaliczeniem muszą uzyskać pozytywny wpis z ćwiczeń
i zaliczyć kurs
Terminy zaliczeń
Zaliczenia na ostatnich zajęciach:
Zaliczenia w sesji:
Kolejne terminy poprawkowe:
POLE ELEKTRYCZNE
Ładunek elektryczny
Prawo Coulomba
Natężenie pola elektrycznego
Linie sił pola elektrycznego
Strumień pola elektrycznego
Prawo Gaussa
Napięcie i potencjał
Pojemność elektryczna i kondensatory
Gęstość energii pola elektrycznego
Dielektryki
Twierdzenie
Gaussa
w
przypadku
obecności
dielektryków. Wektor indukcji elektrycznej
4
POLE ELEKTRYCZNE
Zjawiska elektryczne towarzyszyły człowiekowi od
samego początku jego pojawienia się. Wyładowania
atmosferyczne
napawały
grozą,
zaś
zjawiska
bioelektryczne i elektryzacja pewnych materiałów
nasuwały przypuszczenia o niewidzialnej sile, która
potrafi ożywić to co martwe.
Pierwsze doświadczenia
(w dzisiejszym słowa tego
znaczeniu) z elektryczności przeprowadzane były już w
starożytności, już Tales z Miletu (600 lat p.n.e.)
wspomina o tym, że potarty bursztyn wykazuje
właściwości przyciągania drobnych przedmiotów.
Ogólnie też znane były objawy elektryczności
atmosferycznej, takie jak pioruny, ale natura ich była nie
wyjaśniona aż do drugiej połowy XVII wieku. Wiedziano
jednak, że można się ustrzec przed uderzeniem
pioruna stosując wysokie, zaostrzone maszty.
Podczas prac archeologicznych w Egipcie na
ścianach starożytnych świątyń znaleziono napisy
wyjaśniające
stosowanie
masztów
jako
środka
zabezpieczającego przed „niebieskim ogniem”.
5
Dopiero wiek XIX i XX wprzągł szeroko
elektryczność w służbę człowieka. Ze zjawiskami
elektrycznymi mamy do czynienia nie tylko w przypadku
przepływu prądu elektrycznego.
Pola
elektrostatyczne
często
występują
w
nowoczesnych
mieszkaniach
stając
się
źródłem
iskrzenia
. Naelektryzowany sweter przyciąga skrawki
papieru, a ekran telewizora cząstki kurzu.
Łatwo zauważyć, że do tego oddziaływania nie
jest konieczny bezpośredni kontakt.
Jedno ciało naelektryzowane działa na drugie ciało
naelektryzowane nawet z pewnej odległości
.
Doświadczeń takich można zaplanować i wykonać
bardzo dużo. Można naelektryzować wiele materiałów,
np. przez tarcie, lub też wytwarzać elektryczność
statyczną za pomocą odpowiednich maszyn.
6
Wyniki tych doświadczeń są następujące –
naelektryzowane ciała działają na siebie z
odpowiednimi siłami, zależnymi, ogólnie rzecz
biorąc, od odległości, przyciągają się wzajemnie
lub odpychają.
Sama przyczyna oddziaływania jest
jednak dla obserwatora nieuchwytna. Dla jej
objaśnienia wprowadzono wielkość (abstrakcyjną),
zwaną ładunkiem elektrycznym.
Ładunku elektrycznego nie można zobaczyć –
można o jego istnieniu wnioskować jedynie
poprzez występowanie zjawisk elektrycznych
.
7
11.1. Ładunek elektryczny
Podstawową
własnością
ładunku
elektrycznego jest to, że mamy do czynienia z
dwoma
jego
rodzajami.
Ładunek
doznaje
odpychania od dowolnego innego z tej samej
grupy, natomiast jest przyciągany przez dowolny
ładunek z innej grupy.
Powiemy, że jeśli dwa małe elektrycznie
naładowane ciała A i B umieszczone w pewnej
odległości od siebie odpychają się oraz jeśli A przyciąga
trzecie naelektryzowane ciało C, to z pewnością można
stwierdzić, że ciała B i C również się przyciągają.
Fizycy współcześni traktują istnienie dwu rodzajów
ładunków jako przejaw istnienia przeciwstawnych stanów tej
samej wielkości fizycznej.
Które z ładunków są ujemne, a które
dodatnie?
Jest rzeczą czysto umowną, które z
ładunków nazwiemy dodatnimi, a które ujemnymi.
Zgodnie z umową elektrony mają ujemny ładunek.
8
Ładunki
elektryczne
podlegają
dwóm
fundamentalnym prawom:
> Ładunek podlega prawu zachowania.
> Ładunek może przybierać jedynie
wartości będące (co do modułu) wielokrotnością
ładunku elektronu.
9
11.2. Prawo zachowania ładunku
Wprowadzimy
jako
postulat
teorii
prawo
zachowania ładunku w następującej postaci:
Całkowity
ładunek
elektryczny
układu
odosobnionego w dowolnej chwili nie może ulegać
zmianie.
Eksperymenty potwierdzają to prawo, np.
zjawisko tworzenia pary elektron-pozyton.
e
_
e
+
Jeżeli
bombardujemy
promieniami
umieszczone w
próżni pudło o
cienkich ściankach (rys.7.1), to przy odpowiednich
warunkach możemy zaobserwować zjawisko tworzenia
pary elektron-pozyton wewnątrz układu.
Utworzone
zostały dwie elektrycznie naładowane cząstki, ale
całkowity ładunek układu nie uległ zmianie.
10
Współczesne eksperymenty z bardzo dużą dokładnością
pokazują, że wartość bezwzględna ładunku elektronu i
pozytonu jest jednakowa.
Brak zachowania ładunku byłby niezgodny ze
współczesną teorią elektromagnetyzmu.
Prawo
zachowania ładunku jest słuszne w dowolnym
układzie inercjalnym, a ładunek elektryczny jest
wielkością relatywistycznie niezmienniczą.
11
11.3. Ładunek elektryczny elektronu
Występujące
w
przyrodzie
ładunki
są
wielokrotnością
ładunku
elektronu,
który
oznaczać będziemy przez e.
Kwantyzacja ładunku
jest powszechnym prawem przyrody.
Dotychczasowe pomiary wykazują, że wszystkie
naładowane cząstki elementarne mają identyczne co do
wartości bezwzględnej ładunki.
W rozważaniach naszych będziemy przyjmowali,
że punktowe ładunki mogą przybierać dowolną wartość
q.
Ładunek
punktowy
jest
idealizacją
bliższą
rzeczywistości niż wyobrażenia o ciągłym jego
rozkładzie.
W pewnych przypadkach będziemy posługiwać
się ciągłym rozkładem ładunku, będzie to wówczas
jednak wynik uśredniania po wielkiej liczbie ładunków
elementarnych.
12
Jednostką
ładunku
elektrycznego
jest
kulomb [C], przy czym 1 kulomb jest to ładunek
przenoszony przez prąd elektryczny o natężeniu 1
ampera [A] w czasie 1 sekundy [s].
Ładunek elementarny (ładunek elektryczny
elektronu) e wynosi:
]
s
[
]
A
[
]
C
[
C
10
6
.
1
e
19
13
11.4 Prawo Coulomba
W roku 1785 Coulomb na podstawie doświadczeń
z
wagą
skręceń
wypowiada
prawo
dotyczące
oddziaływania
dwu
nieruchomych,
punktowych
ładunków elektrycznych. Zgodnie z tym prawem:
Dwa
nieruchome
punktowe
ładunki
elektryczne odpychają się lub przyciągają z siłą
proporcjonalną do iloczynu tych ładunków, a
odwrotnie proporcjonalną do ich odległości.
Wyrazimy to przy pomocy równania:
12
12
2
12
2
1
12
r
r
r
q
q
k
F
gdzie q
1
i q
2
są wielkościami skalarnymi określającymi
wielkość i znak ładunków. Wielkość jest siłą
działającą na ładunek, zaś wektor
jest skierowany od ładunku q
2
do q
1
12
F
12
r
14
+
_
+
q q
1
2
q q
1
2
F r
1 2
1 2
F r
1 2
1 2
+
__
Rys.7.2. Jeżeli wektor jest siłą jaką działa
ładunek q
2
na ładunek q
1
, to wektor
prowadziliśmy od ładunku q
2
do q
1
.
12
F
12
r
W układzie jednostek SI stałą k można zapisać w
postaci:
(7.2)
gdzie
jest przenikalnością elektryczną
próżni.
2
2
r
9
r
o
C
m
N
/
10
9875
.
8
4
1
k
N
m
C
10
8859
.
0
2
2
11
o
15
Porównajmy siłę grawitacyjną pomiędzy
elektronem i protonem w atomie wodoru
F = 3.61·10
-
47
N
z siła elektryczną pomiędzy nimi w tym
samym atomie
F = 2.27·10
-8
N
.
Widać
wyraźnie jak wielka jest różnica pomiędzy nimi – 39
rzędów
To, że siły grawitacyjne dla "dużych" ciał
dominują wynika stąd, że liczby protonów i elektronów
są równe.
W tym miejscu wypada podkreślić, że nie
istnieje, żaden związek między masą i
ładunkiem.
16
Stała
r
występująca we wzorze (7.2) nosi nazwę
względnej przenikalności elektrycznej ośrodka i wyraża
się liczbą niemianowaną. W tabeli 7.1 podano względne
przenikalności elektryczne
r
kilku substancji.
Tabela 7.1. Względne
przenikalności
elektryczne różnych
ośrodków
.
Ośrodek
Względna
przenikalność
elektryczna
r
Próżnia
Powietrze
Parafina
Nafta
Olej
transformatorowy
Benzen
Chloroform
Szkło
Alkohol
Woda
1
1.0006
2.0
2.0
2.2
2.3
4.8
510
27
81
17
Znając
r
i
o
możemy określić przenikalność
elektryczną każdego ośrodka materialnego:
(7.3)
Fakt, że oddziaływanie ładunków zależy od
ośrodka, tłumaczy się zjawiskiem polaryzacji
elektrycznej ośrodka.
Mianowicie, ładunek q
1
wprowadzony do ośrodka
zostaje otoczony płaszczem ładunków przeciwnego
znaku, które neutralizują częściowo ładunek q
1
. To
samo zachodzi dla drugiego ładunku q
2
, w rezultacie
czego siła ich oddziaływania ulega zmniejszeniu. W
związku z tym
względne przenikalności
elektryczne ośrodków są zawsze większe od
jedności
r
o
18
Zasada superpozycji
Siłę wypadkową
(tak jak w grawitacji)
obliczamy dodając
wektorowo siły dwu ciałowe
.
Przykład 1
Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków
oddalonych od siebie l. Jaka siła jest wywierana na
ładunek q umieszczony tak jak na rysunku?
Z podobieństwa trójkątów
stąd
r
l
F
F
1
3
3
2
1
r
p
qk
r
Ql
qk
r
k
r
l
F
r
l
F
gdzie p = Ql jest
momentem
dipolowym
.
19
11.5 Natężenie pola elektrycznego
Przestrzeń otaczająca ładunki elektryczne
posiada taką właściwość, że na umieszczone w
dowolnym jej punkcie inne ładunki działa siła.
Mówimy, że wokół ładunków elektrycznych istnieje pole
elektryczne.
Istnienie pola elektrycznego można wykryć
wprowadzając do przestrzeni w której ono działa
ładunek próbny q
0
. W polu elektrycznym na ładunek
próbny działa siła .
Umożliwia to wprowadzenie
pojęcia: natężenia pola elektrycznego.
Natężenie pola elektrycznego definiuje się jako
stosunek siły , działającej na dodatni ładunek próbny
q
0
, do wartości tego ładunku.
F
E
F
0
q
F
E
Natężenie pola elektrycznego jest
wektorem.
W
każdym
punkcie
przestrzeni wektor może mieć inną
wartość i inny kierunek.
(7.4)
20
Jednostką natężenia pola w układzie SI,
wynikającą ze wzoru (7.4) jest [N/C], jednakże w
praktyce przyjęło się używać jednostki równoważnej
[V/m].
Obliczenie natężenia pola elektrycznego w
dowolnym punkcie przestrzeni jest w zasadzie
możliwe zawsze, jeżeli znamy rozkład ładunków
wytwarzających to pole
. Z prawa Coulomba (7.1) i
definicji pola elektrycznego (7.4) możemy wyznaczyć
natężenie pola elektrycznego wytworzonego przez
ładunek punktowy q.
m
V
s
A
m
s
A
V
s
A
m
/
J
C
N
r
r
r
q
4
1
r
r
q
r
q
q
4
1
q
F
E
2
o
2
o
o
(7.5)
21
Jeżeli pole elektryczne jest wytwarzane przez pewną
liczbę ładunków punktowych
to
wówczas siła działająca na ładunek próbny q
o
wynosi:
(7.6)
Widać, że siła jest proporcjonalna do q
o
.
Zatem natężenie pola elektrycznego
wytworzonego przez układ
ładunków
o postaci:
(7.7)
jest wektorową sumą natężeń pól pochodzących od
każdego z ładunków układu
(7.8)
N
j
2
1
q
,
...
q
,
,...
q
,
q
o
F
oj
oj
2
oj
j
N
1
j
o
oj
oj
2
oj
j
o
N
1
j
o
r
r
r
q
4
q
r
r
r
q
q
4
1
F
o
F
z
,
y
,
x
E
N
j
2
1
q
,
,...
q
,
,...
q
,
q
oj
oj
2
oj
j
N
1
j
o
o
r
r
r
q
4
1
q
F
z
,
y
,
x
E
N
j
2
1
E
,...
E
...
E
E
z
,
y
,
x
E
22
N
j
2
1
E
,...
E
...
E
E
z
,
y
,
x
E
Widzimy, że natężenie pola elektrycznego E(x,y,z)
w danym punkcie ośrodka zależy jedynie od
rozkładu przestrzennego ładunków i właściwości
elektrycznych ośrodka ().
N
j
2
1
q
,
,...
q
,
,...
q
,
q
23
Pojęcie ładunków punktowych uogólnimy teraz na
ciągły rozkład ładunku.
Objętościowy rozkład ładunku opisujemy za
pomocą skalarnej funkcji , którą nazywamy gęstością
ładunku
(7.9)
Gęstość (x,y,z) w ogólnym przypadku jest funkcją
położenia. W układzie SI objętościową gęstość ładunku
wyrażamy w [C/m
3
]. Ładunek dQ zawarty w małym
prostopadłościanie o objętości dV= dx dy dz
umieszczony w punkcie (x,y,z) jest dany przez:
(7.10)
W skali atomowej gęstość ładunku zmienia się silnie
od punktu do punktu. Pojęciem gęstości będziemy się
posługiwać w odniesieniu do układów makroskopowych.
z
,
y
,
x
f
dV
dQ
dz
dy
dx
z
,
y
,
x
dQ
24
Dla ciągłego rozkładu ładunków natężenie pola
elektrycznego
, pochodzące od ładunków w innych
punktach jest dane przez całkę:
(7.11)
Jest to całka objętościowa po objętości V w
której występuje ładunek. Przy ustalonym punkcie
(x,y,z), w którym wyznaczamy natężenie pola,
całkowanie przebiega po wszystkich punktach (x’,y’,z’)
obszaru V w których występują ładunki.
z
,
y
,
x
E
2
V
r
o
r
'
dz
'
dy
'
dx
r
r
'
z
,
'
y
,
'
x
4
1
z
,
y
,
x
E
25
Rozpatrzymy teraz pole elektryczne w punkcie P
dla przypadku przedstawionego na rysunku poniżej.
Punkt P leży w jednakowej odległości od ładunków +Q i
–Q. Układ ładunków +Q i –Q położonych w odległości l
od
siebie
nazywamy
dipolem
elektrycznym
scharakteryzowanym momentem dipolowym
l
Q
p
r
r
+
-
+ Q
- Q
D ip o l
q
1
F
2
F
F
l
Zwrot wektora skierowany
jest od ładunku ujemnego do
dodatniego.Ze
względu
na
podobieństwo trójkątów mamy
, czyli
l
r
/
l
F
/
F
1
3
2
1
r
p
qk
r
k
r
l
F
r
l
F
o
o
Siła
działająca
ze
strony
dipola
na
ładunek
q
jest
odwrotnie
proporcjonalna
do
sześcianu
odległości
między nimi. Czyli
pole dipola
3
4
1
r
p
E
o
26
11.6. Linie sił pola elektrycznego
Michael Faraday, nie doceniając przedstawienia
pola elektry-cznego jako wektora, operował zawsze
pojęciem linii sił.
Zresztą ciągle jeszcze
linie sił są wygodną formą
modelowego opisu pola elektrycznego
. Będziemy je
używać do tego celu, ale nie będziemy ich
wykorzystywać do rozważań ilościowych.
Zależność pomiędzy liniami sił a wektorem
natężenia pola elektrycznego jest następująca:
1. Styczna do linii sił w dowolnym punkcie pola
wyznacza kierunek natężenia pola w tym punkcie.
2. Linie sił wykreśla się tak, aby liczba linii na
jednostkę powierzchni przekroju była proporcjonalna do
wielkości . Gdy linie leżą blisko siebie, jest duże,
a gdy są odległe, jest małe.
E
E
E
E
27
Rysunek obok przedstawia linie sił
dla
jednorodnej
płaszczyzny
naładowanej dodatnio.
Założenie,
że
rozpatrujemy
płaszczyznę
nieskończoną,
oznacza, że w przypadku płytki o
wymiarach
skończonych
rozważamy
tylko
te
punkty,
których odległość od płytki jest
mała w porównaniu z odległością
od
najbliższego
jej
brzegu.
Dodatni
ładunek
próbny,
umieszczony przed taką płytką,
oddalałby się od niej wzdłuż linii
prostopadłej
do
płaszczyzny
płytki.
+
+
+
+
+
+
+
+
A więc
wektor natężenia pola elektrycznego w
każdym punkcie blisko płytki musi być do niej
prostopadły.
Linie
sił
są
rozmieszczone
równomiernie, co oznacza, że ma tę samą
wartość dla wszystkich punktów przestrzeni
leżących blisko powierzchni płytki. Pole takie
nazywamy polem jednorodnym
.
E
28
Na rysunku poniżej widzimy linie sił dla
dodatnio naładowanej kuli. Z symetrii zagadnienia
wynika, że linie te muszą leżeć wzdłuż promieni. Są one
skierowane na zewnątrz kuli, ponieważ próbny ładunek
dodatni byłby przyspieszany w tym kierunku. Natężenie
pola elektrycznego nie jest stałe, lecz maleje ze
wzrostem odległości od kuli. Wynika to w sposób
oczywisty z rozmieszczenia linii sił, które na większych
odległościach oddalają się od siebie.
Rys.7.5. Linie
sił
pola
elektrycznego
wytworzonego
przez dodatnio
naładowaną
kulę.
+ + +
++
+
+
++
++
+
++
++
29
Na rysunku 7.6 pokazano przebieg linii sił różnych pól
elektrycznych. Linie pola zaczynają się zawsze na
ładunkach dodatnich, a kończą na ładunkach ujemnych.
W niektórych przypadkach linie pola biegną do
nieskończoności; uważamy wtedy, że odpowiednie
ładunki, na których te linie się kończą, znajdują się
nieskończenie daleko.
+
+
_
_
a ) b ) c )
+
+
+ + +
_ _ _
+
_
_
_
_
_
_
d ) e ) f )
30
Linie pola elektrycznego i przekroje powierzchni
ekwipotencjalnych dla pola jednorodnego i ładunku punktowego
31
Pola dipola
elektrycznego
32
11.7 Strumień pola elektrycznego
Płynąca ciecz (np. woda) w istocie swojej ma mało
wspólnego z polem elektrycznym, ale świetnie się
nadaje do konstrukcji modeli pola elektrycznego.
A
a
A
b
a ) b )
Rysunek
7.7.
przedstawia
jednorodne pole przepływu wody
(np. w rzece) charakteryzujące
się stałym wektorem przepływu
, czyli stałą prędkością cieczy w
dowolnym punkcie.
Rysunek
7.7a
przedstawia
płaską
płaszczyznę
o
powierzchni A
a
zanurzoną w
„polu przepływowym wody” pod
kątem prostym do wektora
.
33
Strumień masy wody
( w [kg/s] ) przez tę
powierzchnię (czyli masa wody przepływająca w
jednostce czasu przez powierzchnię A
a
) wynosi:
(7.12)
gdzie jest gęstością cieczy.
Jeżeli powierzchni A
a
przyporządkujemy wektor
prostopadły do powierzchni i o module równym A
a
to
(7.12) możemy zapisać:
(7.13)
Z (7.13) widać, że strumień pola przez powierzchnię
jest wielkością skalarną
.
a
,
a
a
,
A
a
A
a
a
,
A
34
Rysunek 7.7b przedstawia płaską powierzchnię
A
b
, której rzut
jest równy A
a
.
Wydaje się rzeczą jasną, że strumień masy
przez powierzchnię A
b
musi być taki sam, jak przez
powierzchnię A
a
. Aby to sobie unaocznić, możemy
zapisać:
(7.14)
cos
A
b
b
,
b
b
a
a
,
b
,
A
cos
A
A
Po tych wstępnych rozważaniach nad zajmiemy
się teraz , tzn.
strumieniem pola elektrycznego
.
Może się wydawać, że w tym przypadku nic nie płynie.
Jednakże
z formalnego punktu widzenia równania
(7.13) i (7.14) nie odnoszą się tylko do cieczy, lecz
także do dowolnego pola wektorowego
(stałego w tym przypadku).
E
35
Jeżeli na rys.7.7. zamienimy na , a linie
przepływu wody na linie sił pola elektrycznego –
cała dotychczasowa dyskusja tego paragrafu
pozostaje w mocy.
Zatem strumieniem elementarnym
natężenia pola elektrycznego przez element
powierzchni nazywamy iloczyn skalarny
(7.15)
gdzie jest to wektor prostopadły do
elementu powierzchni ds, o długości równej polu
tego elementu. W układzie SI strumień wyrażamy
w [Vm].
E
E
d
E
s
d
cos
ds
E
s
d
E
d
E
s
d
d s
E
S
Definicja strumienia
pola elektrycznego
36
Aby obliczyć strumień pola elektrycznego
przez dowolną powierzchnię S należy zsumować
wszystkie strumienie elementarne
przenikające
powierzchnię S.
Wobec powyższego, strumień przez daną
powierzchnię S nazywamy całką powierzchniową o
postaci:
(7.16)
E
E
d
S
,
E
S
S
,
E
s
d
E
37
11.8 Prawo Gaussa
Wyprowadzimy prawo Gaussa w najprostszym
przypadku, dla ładunku punktowego q otoczonego kulą
o promieniu r i środku pokrywającym się z położeniem
ładunku. Strumień
E
dla tego układu jest
(11)
Jak widzimy strumień pola nie zależy od wielkości
powierzchni.
Pokażemy teraz, że zawsze całkowity strumień
natężenia pola elektrycznego ładunku punktowego
przez powierzchnię dowolnego kształtu będzie równy
r
o
r
o
q
r
r
q
r
E
S
d
E
E
2
2
2
4
4
1
4
r
o
/
q
38
Rozpatrzymy dowolną powierzchnię, która
zawiera kulę wraz z ładunkiem (rys. 4.4) i udowodnimy,
że całkowity strumień przez tę powierzchnię jest
identyczny jak strumień przez powierzchnię kulistą.
r
R
A
a
Strumień przez dowolną
zamkniętą powierzchnię
zawierającą ładunek q.
Stożek o wierzchołku w
punkcie położenia ładunku q
wycina
mały
element
powierzchni z powierzchni
kulistej i element powierzchni
z powierzchni dowolnej.
Powierzchnia elementu jest
większa
od
powierzchni
elementu
cos
r
R
a
A
1
2
a
a
A
A
39
ze względu na ten sam kąt bryłowy oraz ze
względu na nachylenie elementu do kierunku
radialnego.
Kąt
jest kątem zawartym pomiędzy zewnętrzną
normalną a kierunkiem radialnym. Strumień natężenia
pola przez oba elementy jest równy
cos
R
A
r
a
d
2
2
A
a
E
a
E
d
r
r
a
,
E
oraz
cos
A
E
A
E
d
R
R
A
E,
Wstawiając do równania na strumień
wartości
A
E,
d
R
q
E
r
o
R
2
4
1
cos
r
R
a
=
A
1
2
i
dostajemy
40
a
E
a
q
d
r
r
o
A
E,
4
Wynik ten oznacza, że strumienie przez oba
elementy są równe. Również całkowity strumień
przez obie powierzchnie będzie jednakowy, a
więc strumień natężenia pola przez dowolną
zamkniętą powierzchnię otaczającą ładunek q
będzie równy q/
o
r
.
Jeżeli ładunek leży na zewnątrz zamkniętej dowolnej
powierzchni, to strumień przez tę powierzchnię znika.
Jeżeli mamy n ładunków punktowych objętych
powierzchnią, to strumień przez tę powierzchnię
wynosi:
n
1
=
i
r
o
E
i
q
Skorzystaliśmy
z
zasady
superpozycji pól elektrycznych
pochodzących od poszczególnych
ładunków
n
,....., q
, q
q
2
1
41
W przypadku ładunku o gęstości objętościowej (x,y,z)
(14)
Prawo Gaussa brzmi: strumień natężenia
pola
elektrycznego
przez
dowolną
powierzchnię
zamkniętą
równa
się
iloczynowi
całkowitego
ładunku
zamkniętego w tej powierzchni przez
o
r
.
.
V
r
o
S
dV
S
d
E
1
q/
o
r
42
11.11
Napięcie i potencjał
Ze wzoru (7.5)
wynika, że na ładunek q
0
znajdujący się w polu
elektrycznym działa siła
. Siła ta może
wykonać pracę przesuwając ładunek.
Elementarna
praca
wykonywana
przez
siłę
elektryczną przy przesunięciu ładunku na elemencie
drogi wynosi
(7.24)
Praca sił pola elektrycznego na drodze między
punktami A i B wyrazi się zatem wzorem
(7.25)
E
q
F
0
l
d
l
d
E
q
l
d
F
dW
0
l
d
E
q
l
d
F
W
B
A
0
B
A
AB
r
r
r
q
4
1
r
r
q
r
q
q
4
1
q
F
E
2
o
2
o
o
43
Można wykazać, że pole elektrostatyczne,
tzn. takie które nie zmienia się w czasie, jest
polem potencjalnym, czyli że siły elektryczne są
siłami zachowawczymi. Oznacza to, że wartość pracy
W
AB
nie zależy od wyboru drogi między punktami A i B.
Z własności sił potencjalnych wiadomo też, że praca
takich sił na drodze zamkniętej jest równa zeru
.
Powyższe sprawdzimy dla najprostszego przypadku
przesuwania ładunku próbnego q
0
w polu ładunku
punktowego Q po drodze ABCDA, zaznaczonej na
rysunku 7.10.
Q
A
B
C
D
Rys.7.10. Całkowita praca na drodze
zamkniętej ABCDA potrzebna na
przesunięcie ładunku q
0
w polu
elektrycznym ładunku Q jest równa
zeru – co oznacza, że pole elektryczne
jest polem potencjalnym
.
44
Q
A
B
C
D
Odcinki AB i CD tej drogi leżą
na liniach sił pola, odcinki BC i DA –
na łukach kół, które w każdym swym
punkcie są prostopadłe do linii sił.
Praca sił pola na odcinku AB jest
równa
co
do
wartości,
lecz
przeciwna co do znaku względem
pracy wykonanej na odcinku CD.
Prace na odcinkach BC i AD są równe zeru ze
względu na prostopadłość kierunków siły i przesunięcie.
A zatem całkowita praca na drodze zamkniętej ABCDA
jest równa zeru.
Zdefiniujemy obecnie napięcie elektryczne U
AB
między punktami A i B, mianowicie
(7.26)
Napięciem elektrycznym między punktami A i
B nazywamy stosunek pracy W
AB
wykonanej przy
przesunięciu ładunku q
0
z punktu A do B do
wielkości tego ładunku.
0
AB
AB
q
W
U
45
Napięciem elektrycznym między punktami A i B
nazywamy stosunek pracy W
AB
wykonanej przy
przesunięciu ładunku q
0
z punktu A do B do wielkości
tego ładunku
.
Należy podkreślić, że niezależność pracy od
kształtu drogi umożliwia jednoznaczne określenie
napięcia między danymi punktami A i B.
Przejdziemy teraz do określenia potencjału:
Potencjałem danego punktu A nazywamy napięcie
między punktem A i punktem nieskończenie odległym.
Zatem
potencjał V
A
jest związany z pracą
przesunięcia ładunku q
0
od punktu A do
nieskończoności
0
A
A
q
W
V
46
Aby uzyskać zależność między napięciem a
potencjałem rozważmy pracę wykonaną na drodze od
punktu A do nieskończoności, a następnie od
nieskończoności do B (rys.7.11). Praca ta wynosi
B
A
0
B
0
A
0
B
0
A
0
B
A
B
A
V
V
q
V
q
V
q
U
q
U
q
W
W
W
A
B
q
0
F
Rys.7.11.
Praca
przesunięcia
ładunku q
0
od punktu A do punktu
, a następnie do punktu B jest
równa pracy na drodze AB
Z drugiej strony, ponieważ praca nie zależy od wyboru
drogi, musi być ona równa pracy na odcinku AB, czyli:
Z porównania ostatnich dwóch związków wynika, że
AB
0
AB
U
q
W
B
A
AB
V
V
U
47
B
A
AB
V
V
U
Napięcie
między
dwoma
punktami
pola
elektrycznego równa się różnicy potencjału tych
punktów.
Z wzorów definicyjnych napięcia elektrycznego (7.26) i
potencjału (7.27) wynika, że napięcie i potencjał mają
wspólną jednostkę.
Jednostka ta:
nazywa się
woltem [V].
V
s
A
s
V
A
C
J
48
Obliczmy teraz potencjał pola elektrycznego od
odosobnionego ładunku punktowego Q w punkcie A
odległym od Q o r.
+ Q
+
r
x
d x
E
+ q
0
x
Praca jaką wykonuje pole elektryczne przesuwając
ładunek q
0
od A do nieskończoności wynosi
r
0
r
2
0
r
A
x
1
4
dx
x
q
Q
4
1
x
d
F
W
r
1
4
W
0
A
(7.28
)
49
Korzystając z wzoru (7.27)
obliczamy potencjał pola
(7.29)
Ponieważ potencjał pola elektrycznego jest skalarem,
potencjał dla układu ładunków jest sumą potencjałów,
pochodzących od każdego ładunku z osobna. Wynika to
z zasady superpozycji, którą stosuje się również do
potencjałów.
Potencjał dowolnego rozkładu ładunków
możemy przedstawić jako całkę
(7.30)
r
1
4
Q
q
W
V
0
A
A
0
A
A
q
W
V
V
r
'
dz
'
dy
'
dx
'
z
,
'
y
,
'
x
4
1
z
,
y
,
x
V
gdzie to gęstość objętościowa ładunku zgromadzonego
w obszarze V, r oznacza odległość między elementami
objętości dV=dx’dy’dz’, a punktem (x,y,z), w którym
pytamy o potencjał (rys.7.13).
50
z
x ’
x
x
( x ’ ,y ’ ,z ’ )
d V = d x ’ d y ’ d z ’
r
P u n k t, w k t ó r y m
o b l i c z a m y
p o te n c j a ł p o l a
( x ,y , z )
Rys.7.13. Potencjał V(x,y,z)
pochodzący od dowolnego rozkładu
ładunków
Potencjał charakteryzuje pole
elektryczne w tym samym
stopniu co natężenie pola.
Graficznie
pole
można
przedstawić
za
pomocą
powierzchni
ekwipotencjalnych,
które
charaktery-zują się tym, że w
każdym ich punkcie potencjał
ma stałą wartość. Można
udowodnić, że linie pola
muszą być prostopadłe do
powierzchni
ekwipo-
tencjalnych.
Na
przykład
powierzchnie
ekwipotencjalne pola ładunku punktowego są, jak widać
ze wzoru (7.29), sferami o promieniu r.
r
1
4
Q
q
W
V
0
A
A
51
Powierzchnia przewodnika, na którym ładunki
znajdują się w równowadze, jest zawsze powierzchnią
ekwipotencjalną, w przeciwnym bowiem razie siły
elektryczne nie byłyby prostopadłe do powierzchni i
spowodowałyby ruch ładunków.
Znajomość potencjału w dowolnym punkcie
umożliwia obliczenie natężenia tego pola. Ze wzoru
(7.24) wynika, że
(7.31)
(znak minus jest związany z tym, że potencjał maleje w
kierunku wektora ). Stąd otrzymujemy:
(7.32)
Z wzoru (7.32) widać, że natężenie pola elektrycznego
wyrażamy w [V/m].
l
d
E
dV
dl
dV
E
52
11.12
Pojemność elektryczna i kondensatory
53
11.12
Pojemność elektryczna i kondensatory
Kondensatorem nazywamy dwa blisko siebie
położone przewodniki o różnych potencjałach i
przeciwnych ładunkach.
Interesuje nas związek
między ładunkiem Q na jednej z płytek a różnicą
potencjału między nimi. Okazuje się, że
dla ustalonej
pary przewodników stosunek ładunku do różnicy
potencjałów jest stały. Stałą tę nazywamy
pojemnością kondensatora i oznaczamy przez C.
2
1
V
V
Q
C
Rozpatrzymy
dwie
przewodzące
płytki
o
jednakowych rozmiarach ustawione równoległe w
odległości d od siebie (rys.7.14). Niech powierzchnia
każdej z płytek wynosi S. Niech na jednej płytce
znajduje się ładunek Q, a na drugiej –Q. Potencjały obu
płytek wynoszą odpowiednio V
1
i V
2
.
54
P o w ie rz c h
n i a S
Ł a d u n e k + Q
Ł a d u n e k -Q
V
1
V
2
d
a )
b )
A
D
V
1
V
2
C
B
Rys.7.14. Kondensator płaski
W obszarze między płytkami
wartość
natężenia
pola
elektrycznego jest równa
(7.34)
Przebieg linii pola (rys.7.14b)
wskazuje, że pole to jest
jednorodne z wyjątkiem
obszarów brzegowych.
Obliczymy strumień indukcji
przez powierzchnię
prostopadłościenną (ABCD)
(rys.7.14b) zamykającą jedną
okładkę. Strumień przez
powierzchnię górną CD i
boczne AD i BC możemy
zaniedbać ponieważ przechodzi
tam niewielka liczba linii sił
pola.
d
V
V
E
2
1
55
Pozostaje powierzchnia AB, dla której
(7.35)
Według prawa Gaussa
, zatem
(7.36)
stąd na mocy (7.22)
(7.37)
Porównując (7.34) z (7.37) otrzymujemy
Całkowity ładunek Q znajdujący się na jednej z elektrod
kondensatora jest równy
(7.38)
Równanie to tym lepiej opisuje realną sytuację, im
mniejszy jest stosunek odległości d między płytkami do
długości ich boków.
E
D
r
o
DS
S
,
D
Q
S
,
D
S
Q
D
S
Q
E
S
Q
d
V
V
2
1
d
V
V
S
Q
2
1
56
Po podstawieniu (7.38) do (7.33) otrzymujemy wzór na
pojemność kondensatora płaskiego
(7.39)
W jednostkach układu SI ładunek Q we wzorze (7.33)
wyraża się w kulombach [C], potencjał zaś w woltach
[V]. W układzie tym jednostką pojemności jest farad
[F]. Farad jest jednostką bardzo, bardzo dużą.
Kondensator jedno faradowy miałby gigantyczne
rozmiary. Dlatego też zazwyczaj w praktyce stosuje się
jednostki mniejsze: mikrofarady i pikofarady .
d
S
C
r
o
57
11.13
Gęstość energii pola elektrycznego
Załóżmy, że początkowo nie naładowany kondensator
stopniowo ładowano, przy czym różnica potencjałów
wzrastała od 0 do . Ładunek na okładkach
kondensatora będzie wzrastał od 0 do , gdzie
= C. Praca wykonana przy przemieszczaniu
ładunku dq od ujemnie naładowanej płytki do
naładowanej dodatnio wynosi
Całkowita praca, czyli energia zmagazynowana w
kondensatorze
(4.35)
o
V
o
Q
o
Q
o
V
Vdq
dW
C
Q
dq
C
q
dq
V
W
o
V
0
Q
o
o
2
0
2
1
Interesujące jest aby przekształcić wzór (4.35) i
zapisać energię zgromadzoną w kondensatorze nie
w zależności od ładunku, ale w zależności od
natężenia pola elektrycznego.
58
Dla kondensatora płaskiego, uwzględniając (4.31),
mamy
czyli
Podstawiając to wyrażenie do (4.35) otrzymamy
Uwzględniając z kolei (4.34) mamy
Teraz dzieląc obie części przez objętość kondensatora
Sd
o
, otrzymujemy gęstość energii pola elektrycznego
S
Q
d
o
o
r
r
o
o
d
V
S
Q
d
E
r
o
o
o
V
SE
Q
r
o
o
C
SE
ε
ε
W
r
o
2
2
1
o
2
Sd
2
E
W
r
o
2
2
1
E
w
r
o
(4.36)
59
Energia zużyta na przemieszczenie ładunku
gromadzona jest w polu elektrycznym kondensatora, a
gęstość energii pola elektrycznego wynosi
o
r
E
2
/2
(J/m3).
Z bardziej ogólnych ale zarazem bardziej
złożonych rozważań wynika, że całkowita energia
konieczna do uformowania dowolnego rozkładu
ładunków, jest równa dokładnie całce po
o
r
E
2
/2
liczonej po całej przestrzeni V, gdzie E jest polem
utworzonym przez taki rozkład ładunku
(4.37)
Wobec tego wyrażenie (4.36) ma bardziej ogólne
znaczenie i pozwala przyjąć fizyczną interpretację
energii zgromadzonej w jednostce objętości pola
elektrycznego.
dV
E
W
r
o
2
2
2
2
1
E
w
r
o
(4.36
)
60
11.14 Dielektryki
W poprzednich punktach generalnie rozważaliśmy
pola utworzone przez ładunki w przewodnikach
znajdujących się w próżni. Wiadomo, że jeżeli między
okładkami kondensatora umieścimy substancję, to
pojemność kondensatora wzrasta do C’. Wówczas
biorąc stosunek C’ do C możemy określić względną
przenikalność dielektryczną substancji
(4.38)
We wzorze tym C jest pojemnością kondensatora
próżniowego.
C
'
C
r
61
Dielektryki są to ciała, w których ładunki nie mają
możliwości
swobodnego
przemieszczania.
Jeżeli
dielektryk
umieścimy
w
zewnętrznym
polu
elektrycznym, to na jego granicach indukują się ładunki
(rys. 4.12) na skutek ograniczonego przesunięcia
ładunków w skali mikroskopowej.
Zjawisko to nazywa
się polaryzacją dielektryka
. Efekt polaryzacji jest
jakościowo podobny do powstania łańcucha dipoli. Na
jednym końcu łańcucha dipole mają ładunki dodatnie, a
na drugim ujemne, a więc dielektryk jako całość
wykazuje istnienie
ładunków
na
swoich
powierzchniach prostopadłych do
kierunku linii sił pola. Ładunki te
nazywa
się
ładunkami
nie
związanymi.
Po
usunięciu
zewnętrznego pola elektrycznego
ładunek
na
powierzchniach
dielektryka znika.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
Rys. 4.12. Powstanie ładunku
indukowanego' na powierzchni
dielektryka umieszczonego między
okładkami kondensatora.
62
Wskutek zjawiska polaryzacji zmienia się wartość
natężenia pola w ośrodku dielektrycznym w stosunku do
tego natężenia pola, jakie istnieje w danym obszarze
”wypełnionym” próżnią. Jest to wynik nałożenia się na
pole zewnętrzne dodatkowego pola wytworzonego przez
ładunki związane.
Przed opisem ilościowym tego zjawiska, omówimy
rodzaje polaryzowalności dielektryka.
W cząsteczkach niektórych dielektryków (np. H
2
,
Cl
2
, CCl
4
, węglowodory) elektrony są rozmieszczone
niejednorodnie dookoła jąder. W cząsteczkach tych
środki ciężkości ładunków dodatnich i ujemnych, przy
braku zewnętrznego pola elektrycznego, pokrywają się i
moment dipolowy równa się zeru. Z tego powodu
cząsteczki
takich
dielektryków
nazywamy
niespolaryzowanymi.
Jeśli
niespolaryzowaną
cząstkę
dielektryka
umieścimy w zewnętrznym polu elektrycznym, to
następuje rozsunięcie środków ciężkości ładunku
dodatniego i ujemnego cząsteczki i wzbudzi się w niej
moment dipolowy
63
Moment elektryczny dipola takiego dielektryka równa
się
(4.39)
gdzie jest współczynnikiem polaryzowalności atomu.
Kierunek wektora pokrywa się z kierunkiem
wektora natężenia zewnętrznego pola
elektrycznego.
E
p
o
e
e
p
E
64
Liczną grupę stanowią
cząsteczki o samoistnym
momencie dipolowym
, w których środek ciężkości
średniego ładunku dodatniego nie pokrywa się z
środkiem ciężkości średniego ładunku ujemnego
.
Przykładem mogą być cząsteczka H
2
O (również NH
3
, HCl,
CH
3
Cl) w której atomy wodoru i tlenu rozłożone są
niesymetrycznie.
Takie
cząsteczki
nazywamy
spolaryzowanymi. W wyniku nieuporządkowanego ruchu
cieplnego cząsteczek, wektory ich momentów dipolowych
wykazują chaotyczną orientację i wypadkowy moment
dipolowy w dowolnej objętości dielektryka równa się
zeru.
Jednak
pod
wpływem
zewnętrznego
pola
elektrycznego, cząsteczki dielektryka dążą do zajęcia
takiego położenia, aby kierunek wektorów ich momentów
dipolowych był zgodny z kierunkiem wektora .
Pojawia się więc orientacja momentów dipolowych
cząsteczek przeważnie wzdłuż linii sił pola. Orientacja ta
jest tym większa, im silniejsze jest pole elektryczne w
dielektryku oraz im słabszy jest ruch cieplny cząsteczek,
tj. im niższa jest temperatura.
Powyższe zjawisko nosi
nazwę
polaryzacji
skierowanej
dielektryka
o
cząsteczkach spolaryzowanych.
e
p
e
p
E
65
66
Cząsteczki niespolaryzowane uzyskują w polu
elektrycznym momenty dipolowe indukowane w wyniku
odkształcenia orbit elektronowych. Zachodzi wówczas
tzw.
polaryzacja elektronowa dielektryka.
W dielektrykach jonowych (krystalicznych) typu
NaCl, CsCl; wszystkie jony dodatnie przesuwają się pod
wpływem
pola
elektrycznego
w
kierunku
odpowiadającym kierunkowi natężenia , natomiast
wszystkie jony ujemne w kierunku przeciwnym. Ten
rodzaj polaryzacji nosi
nazwę polaryzacji jonowej
.
E
67
Jako wskaźnik ilościowy polaryzacji dielektryka
służy wektor polaryzacji
.
Wektorem polaryzacji nazywamy granicę stosunku
momentu
elektrycznego
określonej
objętości
dielektryka do tej objętości, gdy ta ostatnia dąży
do zera
(4.40)
gdzie N oznacza liczbę dipoli zawartych w objętości V
dielektryka, a moment elektryczny i-tego dipola.
W przypadku dielektryka jednorodnego o cząsteczkach
niespolaryzowanych, umieszczonego w jednorodnym
polu elektrycznym,
(4.41)
gdzie oznacza liczbę cząsteczek w jednostce
objętości.
N
1
=
i
ei
V
e
p
V
lim
P
1
0
e
P
ei
p
e
o
e
p
N
P
o
N
68
Wynika stąd, że wektory wszystkich
cząsteczek
wykazują
jednakowy
kierunek,
odpowiadający kierunkowi wektora natężenia
pola w dielektryku. Stosując wzór (4.39) otrzymujemy
(4.42)
Współczynnik
nazywamy podatnością
dielektryczną substancji.
ei
p
E
E
E
N
P
o
o
o
e
o
e
N
69
11.15 Twierdzenie Gaussa w przypadku obecności
dielektryków. Wektor indukcji elektrycznej
Stwierdziliśmy, że w dielektryku na pole
elektryczne
ładunków
swobodnych
nakłada
się
dodatkowe pole elektryczne. Z tego względu wektor
natężenia pola elektrycznego powinien zależeć od
właściwości elektrycznych dielektryka. Okazuje się, że
wartość liczbowa jest zawsze odwrotnie
proporcjonalna do stałej dielektrycznej ośrodka. Z
tego
względu
w
celu
jednoznacznego
scharakteryzowania pola elektrycznego celowe jest
wprowadzenie takiej wielkości , która by nie
zależała od stałej dielektrycznej danej substancji.
Można z łatwością wykazać, że warunek ten spełnia
wielkość wektorowa zdefiniowana następująco:
(4.43)
E
D
o
Wielkość nazywamy wektorem indukcji
elektrycznej
E
E
D
D
70
Wektor charakteryzuje zatem to pole
elektryczne, które wytwarzają w danej substancji
same tylko ładunki swobodne
. Ładunki związane,
powstające w dielektryku, mogą jednak wywołać
zmianę rozkładu w przestrzeni ładunków swobodnych
wytwarzających pole.
W układzie jednostek SI indukcję elektryczna mierzy się
w C/m
2
.
Strumień indukcji elektrycznej
w dowolnym
środowisku
przez element powierzchni jest określony
przez iloczyn skalarny
:
D
j
j
D
S
d
D
d
gdzie wektor określa pole i orientację j-tego
elementu powierzchni, a jest uśrednionym
wektorem indukcji elektrycznej dla j-tego elementu.
j
S
d
j
D
71
Całkowity strumień przez powierzchnię będzie równy:
(4.45)
gdzie zgodnie z definicją wektora indukcji elektrycznej
uwzględniono tylko ładunki swobodne.
W próżni
, a zatem równanie (4.45) przybiera
postać
(4.46)
swob
S
D
q
S
d
D
E
D
o
swob
S
o
q
S
d
E
Pole w dowolnym środowisku różni się od pola w
próżni tym, że wytwarzają je ładunki zarówno
swobodne,
jak
i
związane
.
Dlatego
też
w
najogólniejszym przypadku do prawej strony równania
(4.46) należy dodać sumę algebraiczną ładunków
związanych objętych przez powierzchnię zamkniętą S
72
zwią
swob
S
o
q
q
S
d
E
Ładunki swobodne wytwarzają zewnętrzne pole
elektryczne,
natomiast
ładunki
związane
wytwarzają pole wewnętrzne spolaryzowanego
dielektryka.
Rozpatrzymy warstwę jednorodnego dielektryka
zawartą między dwoma nieskończonymi równoległymi
płaszczyznami, naładowanymi do stałych gęstości
powierzchniowych ładunków swobodnych +
, –
(rys.
4.11). W wyniku polaryzacji dielektryka na jego
powierzchniach AA' i BB' powstają ładunki związane,
których gęstości powierzchniowe są równe odpowiednio
i . Na skutek tego pole elektryczne
ładunków związanych jest skierowane przeciwnie
względem pola zewnętrznego , wytworzonego przez
ładunki swobodne. Natężenie pola wypadkowego
p
p
p
E
o
E
p
o
E
E
E
73
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+
74
Znajdziemy teraz sumę ładunków związanych,
które powstały w wyniku polaryzacji dielektryka,
objętego zamkniętą powierzchnią S. Na rys. 4.13
przedstawiony jest tak mały element S tej powierzchni,
że można go uważać za płaski.
l
( a ) ( b )
S
S
l/ 2 l/ 2
E
E
e
P
e
P
n
n
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
Rys. 4.13. Powstawanie ładunku związanego
Ładunki dipoli znajdujących się na zewnątrz
powierzchni zamkniętej nie wywierają w ogóle żadnego
wpływu na strumień natężenia pola przez tę
powierzchnię. Suma algebraiczna wszystkich ładunków
dipoli całkowicie objętych powierzchnią, równa się zeru.
75
Przy obliczaniu q
zwią
uwzględnia się zatem tylko te
dipole, które przecinają powierzchnię S. Jest rzeczą
oczywistą, że przecinane są jedynie takie dipole,
których środki ciężkości leżą po lewej i po prawej
stronie powierzchni S w odległościach mniejszych niż
(l/2)cos
, gdzie l oznacza długość dipola, a
jest kątem
zawartym między zewnętrzną normalną do elementu
S powierzchni a momentem dipola.
Warunek ten spełniają wszystkie dipole, których środki
leżą wewnątrz objętości lScos
. Jeżeli liczba
cząsteczek dielektryka w jednostce objętości równa się
, to liczba dipoli przeciętych przez element S
powierzchni wynosi lScos
. Każdy przecięty dipol
ma wewnątrz zamkniętej powierzchni nie zobojętniony
ładunek –q.
Całkowity ładunek związany , odpowiadający
powierzchni S, równa się zatem
.
e
p
o
N
o
N
ą
zwi
q
S
cos
p
N
S
cos
ql
N
q
e
o
o
zwią
76
Dzięki założeniu równoległości wszystkich dipoli,
iloczyn
równy jest modułowi wektora
polaryzacji. W związku z tym
(4.48)
gdzie jest wektorem jednostkowym normalnym do
powierzchni S.
W celu uzyskania ogólnej sumy ładunków związanych,
znajdujących się wewnątrz zamkniętej powierzchni S,
należy wyrażenie (4.48) scałkować po powierzchni S
(4.49)
W związku z tym, twierdzenie Gaussa dla dowolnej
substancji spolaryzowanej, zgodnie ze wzorem (4.47),
zapisujemy w postaci
,
stąd
(4.50)
e
o
p
N
S
d
P
S
n
P
S
cos
P
q
e
e
e
zwią
n
S
d
P
q
S
e
zwią
S
d
P
q
S
d
E
S
e
swob
S
o
swob
S
e
o
q
S
d
P
E
77
swob
S
e
o
q
S
d
P
E
Wstawiając tu
z równania (4.45) otrzymujemy
Ponieważ równanie to powinno być spełnione dla
dowolnej zamkniętej powierzchni S, przeto
(4.51)
Uwzględniając (4.42) mamy
(4.52)
swob
q
S
S
e
o
S
d
D
S
d
P
E
e
o
P
E
D
E
E
E
D
e
o
e
o
o
1
E
E
N
P
o
o
o
e
78
Z drugiej strony, w myśl definicji (4.43), wektor
równy jest
Zatem
(4.53)
Stała
dielektryczna
równa
się
podatności
dielektrycznej zwiększonej o 1
. Obydwie te
wielkości są bezwymiarowe. Dla próżni
, a
.
D
E
D
r
o
e
r
1
1
r
0
e
79
Przykład
Całkowity ładunek naładowanego pierścienia o
promieniu R wynosi Q. Jakie jest pole elektryczne na osi
pierścienia w odległości x
0
od środka ? Pole wytwarzane
przez element dl pierścienia jest równe
dE
x
= dE(cos
)
cos
= x
0
/r
Jeżeli
= Q/2R jest liniową
gęstością ładunku to
2
d
d
r
l
k
E
oraz
r
x
r
l
k
E
x
0
2
d
d
stąd
2
3
2
2
0
0
3
0
3
0
)
(
)
2
(
d
R
x
Q
kx
R
r
x
k
l
r
x
k
E
E
x
80
2
3
2
2
0
0
3
0
3
0
)
(
)
2
(
d
R
x
Q
kx
R
r
x
k
l
r
x
k
E
E
x
Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (x
0
= 0)
E = 0, a dla x
0
>> R pole E kQ/x
0
2
i jest takie samo
jak pole ładunku punktowego w tej odległości.
Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola
elektrycznego jest to, że nie musimy zajmować się
szczegółami źródła pola. Np. pole E = kQ/r
2
może
pochodzić od wielu źródeł.
81
Niektóre zastosowania twierdzenia Gaussa
11.8.1
Równomiernie naładowana kula
Ponieważ równomiernie naładowaną kulę można
traktować
jako
składającą
się
z
szeregu
koncentrycznych warstw, więc przy obliczaniu pola
wewnątrz kuli można stosować wzór
Zauważmy, że kładąc r = R w powyższe równanie
mamy natężenie pola na powierzchni kuli
,
(4.15)
'
r
r
Q
E
o
2
4
1
2
4
1
R
Q
E
o
gdzie
Q
jest
całkowitym
ładunkiem kuli.
82
W celu obliczenia pola E w dowolnym punkcie P
znajdującym się wewnątrz kuli wybieramy powierzchnię
gaussowską przechodzącą przez ten punkt P, jak
pokazano na rys. 4.5. Sfera ta obejmuje objętość 4
r
3
/3,
która stanowi (r/R)
3
całej objętości kuli. Wobec tego
ładunek wnętrza tej sfery wynosi Q
w
= Q(r/R)
3
. Stosując
twierdzenie Gaussa
2
r
o
R
Q
4
1
( a ) ( b )
E
R
r
r
3
3
R
r
Q
Q
w
P
Rys 4.5
83
Stosując twierdzenie Gaussa
,
otrzymujemy pole wnętrza równomiernie naładowanej
kuli o promieniu R
.
(4.16)
Na rys. 4.5b pokazano zależność tego pola od r.
3
3
2
1
4
r
R
Q
r
E
r
o
r
R
Q
E
r
o
3
4
1
2
r
o
R
Q
4
1
( a ) ( b )
E
R
r
r
3
3
R
r
Q
Q
w
P
Rys. 4.5. (a) Powierzchnia gaussowska przechodząca przez P obejmująca
ładunek Qw.
(b) Zależność pola elektrycznego od odległości od środka równomiernie
naładowanej kuli.
84
11.8.2
Powierzchniowy rozkład ładunku
Rozważymy pole elektryczne wytworzone przez
równomiernie naładowaną nieskończoną płaszczyznę
o
gęstości powierzchniowej ładunku
(jednostką
jest
C/m
2
). Powierzchnię gaussowską wybieramy w postaci
prostopadłościanu lub cylindra o płaskich przekrojach
poprzecznych położonych w odległości a od
powierzchni, jak pokazano na rys. 4.6. Ładunek
znajdujący się wewnątrz powierzchni całkowania równy
jest . Strumień pola wychodzący w obydwie
strony naładowanej płaszczyzny jest jednakowy, więc
całkowity strumień natężenia pola elektrycznego wynosi
o
ES
S
d
E
2
o
S
o
w
S
Q
85
S
o
I I I I I I
a b
a
a
Fig. 4.6. Nieskończona
powierzchnia metalowa o
gęstości powierzchniowej
ładunku
.
Fig. 4.7. Pole elektryczne
między dwoma płaszczyznami
o równych gęstościach ładunku
powierzchniowego lecz
przeciwnych znakach
86
Zgodnie z twierdzeniem Gaussa
,
czyli pole elektryczne naładowanej płaszczyzny jest
równe
.
(4.17)
W praktyce często spotykamy się z przyrządami, w
których znajdują się dwie równoległe płaszczyzny
naładowane równymi lecz przeciwnymi ładunkami (rys.
4.7).
Natężenie
pola
spowodowane
ładunkiem
płaszczyzny a wynosi
i jest skierowane
do tej płaszczyzny. Pole wytworzone przez płaszczyznę
b wynosi
i jest skierowane od tej płaszczyzny.
r
o
b
/
E
2
r
o
a
/
E
2
r
o
E
2
r
o
o
o
S
ES
2
87
W obszarze I:
W obszarze II:
(4.18)
W obszarze III:
Widzimy więc, że na zewnątrz płaszczyzn pole
elektryczne
znika,
natomiast
między
płaszczyznami wynosi
.
r
o
/
0
2
2
r
o
r
o
bI
aI
I
E
E
E
r
o
r
o
r
o
II
b
II
a
II
E
E
E
2
2
0
2
2
r
o
r
o
III
b
III
a
III
E
E
E
88
11.8.3
Liniowy rozkład ładunku
Rozpatrzymy teraz pole elektryczne wytworzone
w odległości r przez równomiernie naładowany
prostoliniowy przewodnik lub pręt, którego długość
wyraźnie przewyższa odległość r. Niech oznacza
ładunek przypadający na jednostkę długości pręta. Jako
powierzchnię gaussowską wybieramy walec o długości
L (rys. 4.8). Wewnątrz powierzchni walcowej znajduje
się ładunek
. Zgodnie z prawem
Gaussa
L
Q
w
r
o
L
S
d
E
P
r
L
Rys. 4.8. Odcinek długiego
naładowanego pręta. Powierzchnię
gaussowską stanowi walec o
długości L i promieniu r.
Ze względu na symetrię,
linie sił pola mają kształt
prostych radialnych.
Dlatego wektory i są
wzajemnie prostopadłe na
bocznej powierzchni
zamykającej walec i
równoległe na
powierzchni walcowej. Z
tego powodu możemy
napisać
E
S
d
89
Porównując to wyrażenie do
, mamy
,
stąd natężenie pola elektrycznego liniowo rozłożonego
ładunku ma postać
(4.19)
rL
E
S
d
E
2
r
o
L
r
o
L
rLE
2
r
E
r
o
2
90
11.9 Powierzchnia przewodnika
Większość ciał stałych możemy podzielić na dwie
grupy: przewodniki i izolatory (dielektryki). Dodatkowy
ładunek umieszczony na powierzchni lub wewnątrz
dielektryka pozostaje nieruchomy. Inaczej jest w
przewodnikach,
które
zawierają
dużą
liczbę
swobodnych elektronów nie związanych z konkretnymi
atomami. Dlatego w przewodniku pole elektryczne
może istnieć jedynie w ciągu krótkiego okresu czasu
dopóki swobodne elektrony nie zgromadzą się na
powierzchni przewodnika pod wpływem działania
zewnętrznego
pola
i
nie
utworzą
przeciwnie
skierowanego pola.
P o w ie r z c h n ia S
P r z e w o d n ik
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
Wewnątrz prostopadłościanu o
podstawie
S znajduje się
ładunek S.
Wydzielmy na powierzchni
(rys.
4.9)
nieduży
prostopadłościan o podstawie
S. Zgodnie z twierdzeniem
Gaussa
r
o
S
S
E
91
r
o
S
S
E
czyli natężenie pola na powierzchni przewodnika
wynosi
(4.20)
r
o
E
92
11.10
Przewodniki i izolatory – rozkład
ładunków
Większość ciał stałych można podzielić na
przewodniki i izolatory
. W
izolatorze
nadmiarowy
ładunek może być rozmieszczony w całej objętości
natomiast
w przewodnikach
swobodne elektrony będą
się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie
wytworzy się pole równoważące pole zewnętrzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik.
Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż poniżej
powierzchni przewodnika. Zastosujmy prawo Gaussa
do tej powierzchni
0
.
d
wewn
Q
S
E
93
Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie
powierzchni S pole musi być równe zeru, bo inaczej
elektrony poruszałyby się czyli
Zatem
0 = Q
wewn.
/
0
Stąd
Q
wewn.
= 0
Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej
zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być
równy zeru; cały ładunek gromadzi się na
powierzchni.
0
d
S
E
94