Seria: Informatyka
Metody niezawodności i 
eksploatacji
Wykład 5
Niezawodność systemów

dr hab. inż. Tadeusz Nowicki prof. 

nadzw. WAT

e-mail:nowicki@isi.wat.edu.pl, tel. 6-

837118





n

i

e

e

e

e

e

E

,...,

,...,

,

,

3

2

1



zbiór elementów 
struktury 
niezawodnościowej 
systemu

 

1

,

0

 

Y

,

X

     

, 

Y

 ,

 

X

i

i







Y

 

X

 ,

 

,

S

1

i



















n

i

R

Y

 

X

 

...

 

 

X

 :

)

(

f

R

n

1

(n)









x

zbiory stanów 
niezawodnoś-ciowych 
elementów i systemu

struktura 
niezawodnościo-wa 
systemu

Rozpatrujemy  systemy  o  elementach  dwustanowych  w 
sensie  nieza-wodności  uszkadzających  się  niezależnie 
(podejście  klasyczne).  Zatem  strukturalna  funkcja 
niezawodnościowa systemu ma postać:

 

 

1

,

0

 

1

,

0

 :

)

(

f

(n)



n

x

Dla elementów i systemu 
dwustano-wych w sensie 
niezawodności 

Przypomnienie

Wyrażenie  bulowskie  nie  zawierające  znaku  działania  negacji 
nazywane  jest  wyrażeniem  alternatywno-koniunkcyjnym  (wak). 
Każdą  funkcje  monotoniczną  (koherentną)  można  przedstawić 
za pomocą wak. 

Oznaczmy  symbolem    „

+”

    alternatywę,  a  symbolem    „

·”

   

koniunkcję. Wtedy przykładem takiej funkcji może być poniższy 
zapis

4

3

1

2

3

2

1

(4)

x

)

x

x

(

x

x

x

 x

 

(x)

f









Każde  wak  można  przedstawić  w  postaci 

formuły 

alternatywnej

(sumoiloczyn)  lub  w  postaci 

formuły  koniunkcyjnej

  (iloczyn 

sum)

4

3

4

1

2

3

2

1

(4)

x

x

x

x

x

x

x

 x

 

(x)

f









)

x

x

)(

x

x

(x

  

          

)

x

x

x

)(

x

x

(x

 

 

(x)

f

4

2

4

2

1

4

3

2

3

2

1

(4)





















Analityczny zapis struktur 
niezawodnościowych

Minimalną 

formułą 

alternatywną

 

(mfa) 

funkcji 

monotonicznej  nazywamy  formułę  alternatywną  o 
najmniejszej liczbie składników sumy (nieredukowalną)

(mfa)

   

x

x

x

x

 x

 

(x)

f

4

3

4

1

2

(4)







Minimalną  formułą  koniunkcyjną

  (mfk)  funkcji 

monotonicznej  nazywamy  formułę  koniunkcyjną  o 
najmniejszej liczbie czynników (sum) 

(mfk)

 

          

          

          

          

 

)

x

x

)(

x

x

(x

 

 

(x)

f

4

2

3

2

1

(4)









Analityczny zapis struktur 
niezawodnościowych

Podzbiór  W    E  elementów  systemu  nazywa  się 

ścieżką 

zdatności

, jeśli przy zdatności wszystkich elementów należących 

do  W  system  jest  w  stanie  zdatności  niezależnie  od  stanu 
pozostałych elementów systemu. 

Ścieżka zdatności jest

 minimalną

, jeśli nie zawiera żadnej innej 

ścieżki zdatności. 

Minimalna  formuła  alternatywna  (mfa)  określa  jednoznacznie 
zbiór  wszystkich  minimalnych  ścieżek  zdatności  -  każdemu 
składnikowi 

sumy 

(iloczynowi) 

odpowiada 

wzajemnie 

jednoznacznie minimalna ścieżka zdatności.

Podzbiór  C    E  elementów  systemu  nazywa  się 

cięciem

 

(przekrojem),  jeśli  przy  niezdatności  wszystkich  elementów 
należących  do  C  system  jest  w  stanie  niezdatności  niezależnie 
od stanu pozostałych elementów systemu. 

Cięcie jest 

minimalne

, jeśli nie zawiera żadnych innych cięć.

Minimalna  formuła  koniunkcyjna  (mfk)  określa  jednoznacznie 
zbiór  wszystkich  minimalnych  cięć  -  każdemu  czynnikowi 
(sumie) odpowiada wzajemnie jednoznacznie minimalne cięcie.

Ścieżki zdatności i cięcia w 
systemie

(mfa)

   

x

x

x

x

 x

 

(x)

f

4

3

4

1

2

(4)







(mfk)

    

)

x

x

)(

x

x

(x

 

 

(x)

f

4

2

3

2

1

(4)









x

1

x

3

x

2

x

4

Przykład

Schemat blokowy struktury 

niezawodnościowej

Ścieżki zdatności i cięcia w 
systemie

Dla  każdej  struktury  monotonicznej  (koherentnej) 
określonej  przez  f

(n)

(x)  istnieje  dualna  struktura 

koherentna określona przez funkcję monotoniczna f

(n)

D

(x). 

Wyrażenie  bulowskie,  określające  funkcję  dualną 
otrzymujemy  w  ten  sposób,  że  w  wyrażeniu  bulowskim, 
określającym  f

(n)

(x)m,  zamieniamy  wszystkie  znaki 

alternatywy  na  znaki  koniunkcji,  a  znaki  koniunkcji  na 
znaki alternatywy. Dla funkcji

4

3

1

2

3

2

1

(4)

x

)

x

x

(

x

x

x

 x

 

(x)

f









Funkcja dualna ma postać

)

x

x

x

)(

x

)(

x

x

(x

 

 

(x)

f

4

3

1

2

3

2

1

(4)

D









Z  definicji  wynika,  że  mfa  funkcji 

f

(n)

D

(x) 

otrzymujemy 

bezpośrednio  z  mfk  funkcji 

f

(n)

(x),

  a  mfk  funkcji 

f

(n)

D

(x)

 

bezpośrednio z mfk 

f

(n)

(x). Przykład :

 

  

)

x

x

)(

x

x

)(

(x

 

 

(x)

f

4

3

4

1

2

(4)

D







 

x

x

x

x

 x

 

(x)

f

4

2

3

2

1

(4)

D





Struktury dualne

Wyróżnia się niektóre podstawowe struktury, które mogą 
być podstrukturami bardziej złożonych struktur.

1.  Struktura  szeregowa 

-  gdy  niezdatność  dowolnego 

elementu struktury powoduje niezdatność całego systemu







n

1

i

(n)

x

 

 

(x)

f

i

Funkcja dualna dla struktury szeregowej 
ma postać







n

1

i

i

(n)

D

x

 

 

(x)

f

Schemat blokowy dla struktury szeregowej ma postać

x

1

x

2

x

3

x

n

Elementarne struktury 
niezawodnościowe

2.  Struktura  równoległa 

-  gdy  zdatność  dowolnego 

elementu struktury powoduje zdatność całego systemu







n

1

i

i

(n)

x

 

 

(x)

f

Funkcja dualna dla struktury równoległej 
ma postać







n

i 1

i

(n)

D

x

 

(x)

f

Schemat blokowy dla struktury 
równoległej ma postać

x

1

x

2

x

3

x

n

Elementarne struktury 
niezawodnościowe

3.  Struktury  progowe 

(tak  zwane  struktury  „k  z  n”)-  gdy 

zdatność dowolnych co najmniej  k  elementów struktury 
powoduje zdatność całego systemu.
Przykładem może być struktura progowa „2 z 3”

3

2

3

1

2

1

(3)

x

x

x

x

x

 x

 

(x)

f







Funkcja dualna dla tej struktury ma 
postać

)

x

)(x

x

)(x

x

x

(

 

(x)

f

3

2

3

1

2

1

(3)

D









Schemat blokowy dla struktury progowej nie istnieje !

 

Oznacza to, że nie zawsze można skonstruować schematy 
blokowe dla struktur niezawodnościowych.

Uwaga: zauważmy, że 

struktura progowa „1 z n” jest 
strukturą
struktura progowa „n z n” jest 
strukturą

równoległ
ą
szeregową

Elementarne struktury 
niezawodnościowe

Stany  niezawodnościowe  elementów  są  binarnymi 
procesami  stochastycznymi  x

i

(t).  Argument  funkcji  f

(n)

(x) 

jest 

dla 

ustalonej 

chwili 

 

t 

 

n-wymiarową zmienną losową

n

i

1

X

,...,

X

,...,

X

X 

To  znaczy  binarnym  wektorem  losowym  o  odpowiednim 
rozkładzie prawdopodobieństwa. Oznaczmy









1..n

i

  

,

p

-

1

q

0

X

P

    

, 

p

1

X

P

i

i

i

i

i













oraz 

n

i

1

x

,...,

x

,...,

x

x 

wektor 

binarny. 

Wtedy 

otrzymujemy





)

x

-

(1

i

n

1

i

x

i

i

i

q

p

X

P







x

że  w 

ustalonej 

chwili  stany  niezawodnościowe 

elementów są takie, jak określono to w wektorze  x.

co jest 
prawdopodobieństwem tego,

Probabilistyczny model 
niezawodnościowy

Stan  niezawodnościowy  systemu  jest  bulowską  zmienną 
losową  Y,  określoną  jako  funkcja  bulowska  wektora 
losowego X



































1

X

x

)

i

x

-

(1

i

n

1

i

i

x

i

1

X

x

(n)

q

p

x

X

P

1

(X)

f

P

1

Y

P

(X)

f

  

Y

(n)



Zatem  rozkład  zmiennej  losowej  Y  jest  jednoznacznie 
określony przez rozkład wektora losowego X

Gdzie  X

1

  jest  podzbiorem  tych  wszystkich  wektorów 

binarnych  x,  dla  których    zachodzi      f

(n)

(x)  =  1.  Gdy 

oznaczymy  X

0

  jako  podzbiór  tych  wszystkich  wektorów 

binarnych x, dla których  zachodzi   f

(n)

(x) = 0, to









 





















0

X

x

)

i

x

-

(1

i

n

1

i

i

x

i

0

X

x

q

p

1

x

X

P

1

1

Y

P

Probabilistyczny model 
niezawodnościowy

Prawdopodobieństwa  p

i

  oraz  q

i

  określone  zostały  dla 

wybranej, ustalonej chwili  t. Co zrobić, gdy chcemy znać 
charakterystyki  niezawodnościowe  systemu  nie  tylko  dla 
ustalonych  momentów  czasu.  Rozpatrzmy  poniższe 
przypadki. 

1. 

Elementy 

systemu 

są 

elementami 

prostymi 

nieodnawialnymi

Wtedy  prawdopodobieństwa  p

i

  oraz  q

i

  zastępujemy 

odpowiednio funkcjami 





t







i

i

  

i

T

P

(t)

R

  

p

funkcja niezawodności 
elementu prostego 
nieodnawialnego

 

t







i

i

  

i

T

P

(t)

F

  

q

dystrybuanta elementu 
prostego nieodnawialnego 

Wtedy otrzymujemy











 



)

i

x

-

(1

 

i

1

X

x

n

1

i

i

 x

i

(n)

(t)

F

 

(t)

R

1

(X)

f

P

1

Y

P

















Probabilistyczny model 
niezawodnościowy

2. Elementy systemu są elementami prostymi 
odnawialnymi

Zauważmy,  że  muszą  być  to  elementy  z  niezerową 
odnową,  bo  w  przeciwnym  przypadku  system  byłby 
zawsze w stanie zdatności.Wtedy prawdopodobieństwa p

i

 

oraz q

i

 zastępujemy odpowiednio funkcjami 





1

(t)

X

P

(t)

k

 

p

i

i

g

i







współczynnik gotowości 
elementu odnawialnego z 
niezerową odnową





0

(t)

X

P

(t)

k

-

1

 

q

i

i

g

i







Wtedy otrzymujemy











 



)

i

x

-

(1

 

i

g

1

X

x

n

1

i

i

 x

i

g

(n)

(t)

k

1

 

(t)

k

1

(X)

f

P

1

Y

P



















Probabilistyczny model 
niezawodnościowy

3. Elementy systemu są mieszane, niektóre są 
elementami prostymi nieodnawialnymi, a niektóre są 
elementami prostymi odnawialnymi

Wtedy  prawdopodobieństwa  p

i

  oraz  q

i

  zastępujemy 

odpowiednio





1

(t)

X

P

(t)

k

 

p

i

i

g

i











0

(t)

X

P

(t)

k

-

1

 

q

i

i

g

i







Dla elementów nieodnawialnych 
prostych

natomiast dla elementów odnawialnych prostych o niezerowej 
odnowie





t







i

i

  

i

T

P

(t)

R

  

p

 

t







i

i

  

i

T

P

(t)

F

  

q

Probabilistyczny model 
niezawodnościowy

Czy nie będziemy mieli żadnych kłopotów 
w wyznaczeniu wartości P{f

(n)

(X(t)) = 1}? 

Niestety,  będziemy  mieli.  Wynika  to  z 
następującego faktu: 

liczności zbiorów X

1

 

oraz X

0

 są olbrzymie

.

Istnieją  metody  wyznaczania  formuł  o 
minimalnej  postaci  służące    obliczaniu 
wartości 
P{f

(n)

(X(t)) = 1}. 

(Przeczytać skrypt Korzana - punkt 6.11). 
Warto zauważyć, że można obliczyć takie 
wartości  dla  elementarnych  struktur 
niezawodnościowych  i  uogólnić  to  dla 
struktur bardziej złożonych.

Obliczanie prawdopodobieństwa 
zdatności systemu













t

T

,...,

T

,

T

min

P

 

T

P

 

(t)

R

n

2

1

s

s









t

1. Struktury szeregowe (elementy nieodnawialne proste)

Niech T

i

 oznacza czas zdatności elementu i-tego, 

natomiast T

s

 oznacza czas zdatności systemu. Wtedy 

mamy





n

1,2,...,

i 

,

T

min

 

T

i

s





co daje w 
efekcie

co dla niezależności uszkodzeń elementów powoduje równość 
powyższego z 

















(t)

R

(t)

R

t

T

P

t

T

t,...,

T

t,

T

P

t

T

,...,

T

,

T

min

P

S

n

1

i

i

n

1

i

i

n

2

1

n

2

1





























Z kolei dla dystrybuant otrzymujemy formułę 
postaci





 

















n

1

i

i

s

s

t

F

-

1

1

t

T

P

(t)

F

Obliczanie prawdopodobieństwa 
zdatności systemu













t

T

,...,

T

,

T

max

P

 

T

P

 

(t)

F

n

2

1

s

s









t

2. Struktury równoległe (elementy nieodnawialne proste)

Niech T

i

 oznacza czas zdatności elementu i-tego, 

natomiast T

s

 oznacza czas zdatności systemu. Wtedy 

mamy





n

1,2,...,

i 

,

T

max

 

T

i

s





co daje w 
efekcie

co dla niezależności uszkodzeń elementów powoduje równość 
powyższego z 













 

(t)

F

(t)

F

t

T

P

t

T

t,...,

T

t,

T

P

t

T

,...,

T

,

T

max

P

S

n

1

i

i

n

1

i

i

n

2

1

n

2

1





























Z kolei dla funkcji niezawodności otrzymujemy 
formułę postaci





 

















n

1

i

i

s

s

t

R

-

1

1

t

T

P

(t)

R

Obliczanie prawdopodobieństwa 
zdatności systemu





 

 

  









































n

k

i

D

j)

(i,

i

D

k

j

D

l

l

k

s

s

 

  

t

F

  

t

R

 

t

T

P

(t)

R

3. Struktury progowe (elementy nieodnawialne proste)

Dla  przypadku  ogólnego  struktur  progowych  musimy 
obliczyć  wszystkie  możliwe  kombinacje  dla  poprawnych 
co najmniej  k  elementów z  n możliwych :

gdzie  (i,j)D  oznacza  wszystkie  możliwe  kombinacje 

par (i,j) spełniające  i+j=n oraz założenie, że i oznacza 
liczbę  elementów  zdatnych,  a  j  liczbę  elementów 
niezdatnych, natomiast zbiory D

i

 oraz D

j





n

,...,

2

,

1

D

D

  

,

  

j

 

 

D

  

,

  

i 

 

D

j

i

j

i









Obliczanie prawdopodobieństwa 
zdatności systemu

4. Struktury szeregowo-równoległe lub równoległo-
szeregowe 

Dekomponujemy  wtedy  cały  system  na  podsystemy 
szeregowe  i  równo-ległe  stosując  otrzymane  formuły. 
Przykład

x

1

x

2

x

3

x

4

x

5

x

6

Podsystem II

Podsystem I

Otrzymujemy teraz formuły 
składowe

))

(t

(t)])(R

R

-

(t)][1

R

-

[1

-

(1

))

(t

(t)(R

R

(t)

R

6

II

I

6

II

-

I

s





(t)

(t)F

F

(t)

F

II

I

II

-

I



(t)

(t)R

(t)R

R

(t)

R

3

2

1

I



(t)

(t)R

R

(t)

R

5

4

II



)

  

(t)

R

-

1

(t)

F

 :

 

uwaga

 

(

II

-

I

II

-

I



Obliczanie prawdopodobieństwa 
zdatności systemu

5. Struktury z elementami prostymi odnawialnymi o 
niezerowej odnowie

Jeśli pewne elementy (lub nawet wszystkie) są elementami 
odnawialnymi, to stosujemy podstawienie 

 

)

(

k

1

(t)

F

  

, 

)

(

k

(t)

R

i

g

i

i

g

i

t

t







i-te elementy są 

odnawialne

Ciąg  dalszy  Przykładu  (jeśli  elementy  o  numerach  1,  5  i  6  są 
odnawialne, to system jest nieodnawialny (w końcu uszkodzą się 
elementy  2,  3  oraz  4  i  nie  będzie  dla  dużych  t  żadnej  ścieżki 
zdatności o zdatnych wszystkich elementach). Podsystemy I  i  II 
są  obiektami  nieodnawialnymi.  Zatem  system  jest  nieodna-
wialny  i  liczymy  dla  niego  charakterystyki  (np.  R

s

(t)  )  jak  dla 

obiektu nieodna-wialnego 

))

(t

(t)])(k

R

-

(t)][1

R

-

[1

-

(1

))

(t

(t)(k

R

(t)

R

6

g

II

I

6

g

II

-

I

s





(t)

(t)F

F

(t)

F

II

I

II

-

I



(t)

(t)R

(t)R

k

(t)

R

3

2

1

g

I



(t)

(t)k

R

(t)

R

5

g

4

II



Obliczanie prawdopodobieństwa 
zdatności systemu

W  przypadku,  gdy  mamy  do  czynienia  z  identycznymi  w 
sensie rozkładu elementami ( R(t) = R

i

(t), i=1..n ) to wiele 

formuł upraszcza się znacznie.
 

1. Struktury szeregowe o identycznych elementach









n

S

n

S

F(t)

-

1

1

(t)

F

     

, 

R(t)

(t)

R







2. Struktury równoległe o identycznych elementach









n

S

n

S

R(t)

-

1

1

(t)

R

     

, 

F(t)

(t)

F







3. Struktury progowe





 





 

 

























n

k

i

i

n

i

s

s

t

F

t

R

 

i

n

t

T

P

(t)

R

Wzór ten dla struktur „n-1  z n” upraszcza się do postaci

 





 





n

1

-

n

s

t

R

1)

-

(n

t

R

n

(t)

R





Systemy o jednakowych elementach

Założenia:  elementy  dwustanowe  w  sensie  niezawodności  o 
wykładniczych  rozkładach  czasów  poprawnej  pracy  i  odnowy 
(model 

Markowa); 

system 

wielostanowy 

w 

sensie 

niezawodności, a jego stany definiowane są stanami elementów. 

Dowolny  stan  systemu  opisany  jest  stanami  jego  elementów, 
czyli wektorem:

n

i

1

x

,...,

x

,...,

x

x 

Poszczególne, zdefiniowane wcześniej stany niezawodnościowe 
systemu  stanowią  podzbiory  stanów  jego  elementów,  czyli 
podzbiory  wektorów    x.  Zatem  przechodzenie  procesu  zmian 
stanów 

systemu 

wynika 

jednoznacznie 

z 

procesów 

przechodzenia  elementów  pomiędzy  swoimi  stanami.  Przy 
założeniu  o  wykładniczym  charakterze  rozkładu  czasu 
przechodzenia  do  kolejnych  stanów  i  przebywania  w  stanach 
rozkłady  łączne  procesu  zmian  definiuje  się  za  pomocą 
macierzy  intensywności  przejść.  W  efekcie  uzyskać  można 
metodą równań stanów charakterystyki chwilowe lub graniczne 
prawdopodobieństw  przebywania  procesu  w  poszczególnych 
stanach, z których z kolei wyznacza się kolejne istotne wartości 
miar niezawodnościowych systemu.

Model systemu wielostanowego 
w sensie niezawodności

Metodę tę zilustrujemy przykładem. 

Przykład System ma strukturę przedstawioną na schemacie

x

1

x

2

x

3

Czasy  poprawnej  pracy  elementów 
x

1

  i  x

2

  mają  rozkład  wykładniczy  z 

parametrem  a,  elementu  x

3

  z 

parametrem  b  natomiast  wszystkie 
czasy 

odnowy 

mają 

rozkład 

wykładniczy 

z 

parametrem 

c. 

Można zatem zdefiniować trzy stany 
niezawodnościowe systemu:

Stan  pełnej  wydajności  x

1

  =  (1,1,1),  stany  częściowej 

wydajności  x

2

  =  (0,1,1),  x

3

  =  (1,0,1)  oraz  stan  awarii  x

4

  = 

(0,0,1),  x

5

  =  (1,1,0),  x

6

  =  (0,1,0),  x

7

  =  (1,0,0),  x

8

  =  (0,0,0). 

Oznacza  to,  że  elementy  mogą  uszkadzać  się  nawet  po 
uszkodzeniu  systemu,  chociaż  nie  trzeba  czynić  takiego 
założenia.  Wtedy  po  prostu  liczba  możliwych  w  realizacji 
stanów zmniejszy się istotnie. 

Uszkodzony  element  naprawiany  jest  przez  jednego 
konserwatora  i  najpierw  zawsze  naprawiany  jest  element 
trzeci (jeśli jest uszkodzony), a następnie któryś z elementów 
pozostałych, załóżmy, że pierwszy. 

Model systemu wielostanowego w sensie 
niezawodności

Daje  to  nam  w  efekcie  następujący  graf  stanów  procesu  zmian 
stanów elementów i systemu:

(1,1,

1)

(0,1,

1)

(1,0,

1)

(1,1,

0)

(0,0,

1)

(0,1,

0)

(0,0,

0)

(1,0,

0)

a

a

b

b

a

a

a

a

b

a

b

c

c

c

c

c

c

Pełna 

wydajność

Częściowa 

wydajność

Stan awarii

Uwaga:intensywności (pętle) na wierzchołkach grafu to minus suma 
intensywności wychodzących z wierzchołka. 

Model systemu wielostanowego w sensie 
niezawodności

a

c

(1,1,

1)

(0,1,1), 

(1,0,1)

(1,1,

0)

(0,0,1)

2a

b

b

b

c

c

Pełna 

wydajność

Częściowa 

wydajność

Stan awarii

2a

c

stan1

stan2

stan4

stan5

(1,0,0),

(0,1,0)

(0,0,0)

stan3

stan6

c

c

a

a

Stany te można zredukować

Uwaga:intensywności (pętle) na wierzchołkach grafu to minus 
suma intensywności wychodzących z wierzchołka. 

Model systemu wielostanowego w sensie 
niezawodności

b

Stąd układ równań różniczkowych stanu (Kołmogorowa) ma 
postać :

(t)

cp

(t)

cp

  

(t)

b)p

a

2

(

(t)

p

dt

d

4

2

1

1











Zamiast jednego z równań (6) dajemy równanie normujące 
postaci

(t)

cp

(t)

cp

(t)

c)p

b

(a

 

-

(t)

p

a

2

(t)

p

dt

d

5

3

2

1

2











(t)

p

2

(t)

c)p

(a

- 

(t)

bp

(t)

p

dt

d

4

3

2

3

a







(t)

c)p

a

2

(

(t)

bp

(t)

p

dt

d

4

1

4







1

(t)

p

(t)

p

(t)

p

(t)

p

(t)

p

(t)

p

6

5

4

3

2

1













(t)

cp

(t)

c)p

(b

  

-

(t)

ap

(t)

p

dt

d

6

5

2

5







)

0

,

0

,

0

,

0

,

0

,

1

(

(0))

p

(0),

p

(0),

p

(0),

p

(0),

p

(0),

(p

p(0)

6

5

4

3

2

1





oraz 
warunek 
początkow
y

Model systemu wielostanowego w sensie 
niezawodności

1

p

p

p

p

p

p

6

5

4

3

2

1













Równania te można rozwiązać stosując transformatę Laplace’a. 
Otrzymujemy  wtedy  wektor  p(t)=(p

1

(t),  p

2

(t),  p

3

(t),  p

4

(t),  p

5

(t), 

p

6

(t)) 

będący 

podstawa 

obliczania 

charakterystyk 

niezawodnościowych  wielostanowego  w  sensie  niezawodności 
systemu. 

Chcąc 

uzyskać 

charakterystyki 

graniczne 

przekształcamy  uzyskany  układ  równań  (gdzie    p

i

  =  lim  p

i

(t) 

i=1..6) do postaci:

5

3

2

1

cp

cp

c)p

b

(a

 

-

p

a

2

0











4

3

2

p

2

c)p

(a

- 

bp

0

a







4

1

c)p

a

2

(

bp

0







6

5

2

cp

c)p

(b

  

-

ap

0







z warunkiem 
normującym

3

2

1

cp

cp

  

b)p

a

2

(

0











Ten  układ  równań  liniowych  można  rozwiązać  np.  metodą 
Gaussa.    Otrzymujemy  wtedy  wektor  p=(p

1

,  p

2

,  p

3

,  p

4

,  p

5

,  p

6

) 

granicznych  prawdopo-dobieństw  będący  podstawa  obliczania 
granicznych 

charakterystyk 

nieza-wodnościowych 

wielostanowego w sensie niezawodności systemu.

Model systemu wielostanowego w sensie 
niezawodności

Należy  zawsze  dokonać  identyfikacji  wszystkich 

elementów - czy są odnawialne, czy nie; jakie są 
ich  rozkłady  prawdopodobieństwa  czasu  życia 
lub (o ile jest to potrzebne) czasów odnowy, itp.,

należy  zbadać  ścieżki  zdatności  i  cięcia  systemu; 

duża  liczba  ścieżek  świadczy  o  odporności 
systemu,  a  duża  liczba  cięć  świadczy  o 
wrażliwości  systemu;  odnosi  się  to  w  dużej 
mierze  do  odporności  systemu  na  uszkodzenia 
pojedynczych elementów,

należy 

ustalić, 

czy 

system 

jest 

obiektem 

nieodnawialnym, 

czy 

odnawialnym; 

miary 

niezawodności obliczane dla systemu muszą być 
charakterystyczne  dla  ustalonej  klasy  systemu  - 
obiektu.

Wnioski końcowe