Metrologia II

1

Metrologia II

Metrologia II

Wykłady

Metrologia II

2

Wartość = Liczba · Jednostka;         W= L · J

UKŁAD JEDNOSTEK  SI

Jednostki podstawowe

Lp

Wielkość

Najczęstszy 

symbol wielkości

Nazwa 

jednostki

Symbol 

jednostki

1

Długość

l, s

metr

m

2

Czas

t, τ

sekunda

s

3

Masa

m

kilogram

kg

4

Natężenie 

prądu

I, i

amper

A

5

Temperatura

T

kelwin

K

6

Liczność 

materii

N

mol

mol

7

Światłość

j

kandela

Cd

Jednostki uzupełniające 

8

Kąt płaski

α, β, γ

radian

rad

9

Kąt bryłowy

ω, Ω

steradian

sr

Metrologia II

3

METR – długość drogi przebytej przez światło w próżni w czasie   1/299 792 458 
sekundy.

SEKUNDA – czas trwania 9 192 631 770 okresów promieniowania, 
odpowiadającego przejściu między dwoma nadsubtelnymi poziomami stanu 
podstawowego atomu cezu 133.

KILOGRAM – masa międzynarodowego wzorca przechowywanego w 
Międzynarodowym Biurze Miar w Sevres pod Paryżem.
Wzorzec ten wykonano ze stopu platynoirydowego jako walec o średnicy i 
wysokości ok. 39 mm. Masa 1 kg może być odtworzona przez porównanie z 
międzynarodowym wzorcem z dokładnością 0,002 mg/kg.

AMPER – natężenie prądu stałego, który płynąc w dwóch prostoliniowych, 
równoległych, nieskończenie długich przewodach o znikomo małym przekroju 
umieszczonych w próżni w odległości 1 m wywołuje siłę działającą między tymi 
przewodami równą 2·10

-7  

N na każdy metr długości przewodu.

KELWIN – 

 części temperatury termodynamicznej punktu potrójnej wody.

273,16

1

DEFINICJE PODSTAWOWYCH JEDNOSTEK MIAR UKŁADU SI

Metrologia II

4

MOL – ilość substancji układu zwierającego liczbę cząsteczek równą liczbie 
atomów zawartych w masie 0,012 kg węgla 12.
Cząstkami mogą być: atomy, cząsteczki, jony, elektrony.

KANDELA – światłość (natężenie światła), jaką ma w kierunku prostopadłym pole 
powierzchni 1/6·10

5  

m

2

  ciała doskonale czarnego, promieniującego w 

temperaturze krzepnięcia platyny pod ciśnieniem 101 325 Pa.

RADIAN – płaski kąt środkowy koła wycinający z obwodu tego koła łuk o długości 
równej jego promieniowi.

STERADIAN – kąt bryłowy o wierzchołku w środku kuli, wycinający z 
powierzchni tej kuli pole równe kwadratowi jej promienia. 

Metrologia II

5

Jednostki pochodne wybranych wielkości  - mechanicznych

L
p

Wielkość

Nazwa jednostki 

miary

Symbol 

jednostki 

miary

Symbol 

jednostki

1

Powierzchnia

metr kwadratowy

m

2

1 m

2

2

Objętość

metr sześcienny

m

3

1 m

3

3

Częstotliwość

Herc, 1 Hz = 1 : 

(1s)

Hz

1 Hz = 1 s

-1

4

Prędkość 
liniowa

metr na sekundę

m/s

1 m·s

-1

5

Prędkość 
kątowa

radian na 

sekundę

rad/s

1 rad·s

-1

6

Przyśpieszenie 
liniowe

metr na kwadrat 

sekundy

m/s

2

1 m·s

-2

7

Przyśpieszenie 
kątowe

radian na 

kwadrat sekundy

rad/s

2

1 rad·s

-2

8

Gęstość 
(masy)

kilogram na metr 

sześcienny

kg/m

3

1 kg·m

-3

9

Pęd

kilogramometr na 

sekundę

kg·m/s

1 kg·m·s

-1

1
0

Siła

niuton

1 N = 1 kg · (1 

m/s

2

)

N

1 N= 1 
kg·m· s

-2

1
1

Moment siły

niutonometr

N · m

1 N·m =
= 1 kg·m

 

2

·s

-2

Metrologia II

6

1
2

Ciśnienie, 
naprężenie 
mechaniczne

paskal 

1 Pa = 1 N : (1 
m

2

)

Pa

1 Pa =1 
kg·m

-1

·s

-2

1
3

Napięcie 
powierzchniow
e

niuton na metr

N/m

1 N/m = 1 
kg·s

-2

1
4

Energia, praca

dżul

1J = 1 N · 1 m

J

1 J =  1 
kg·m

2

·s

-2

1
5

Udarność

dżul na metr 

kwadratowy

  J/m

2

1 kg·s

-2

1
6

Moc

wat

1 W = 1 J : (1 s)

W

1 W = 1 
kg·m

2

·s

-3

1
7

Gęstość mocy

wat na metr 

kwadratowy

W/m

2

1 kg·s

-3

1
8

Lepkość 
dynamiczna

paskalosekunda

Pa·s

1 kg·m

-1

·s

-1

1
9

Lepkość 
kinematyczna

metr kwadratowy 

na sekundę

m

2

/s

1 m

2

·s

-1

2
0

Strumień 
objętości

metr sześcienny 

na sekundę

m

3

/s

1 m

3 

·s

-1

2
1

Strumień masy

kilogram na 

sekundę

kg/s

1 kg·s

-1

2
2

Gęstość 
strumienia 
masy

kilogram na 

sekundę i metr 

kwadratowy

kg/

(s·m

2

)

1 kg·m

-2

·s

-1

Metrologia II

7

Jednostki pochodne wybranych wielkości elektrycznych

Lp

Wielkość

Nazwa jednostki 

miary

Symbol 

jednost

ki 

miary

Zależność od 

jednostek 

podstawowych i 

uzupełniających

1

Ładunek 

elektryczny

kulomb 

1 C = 1 A·1 s

C

1 C = 1 A·s

2

Napięcie 

elektryczne

wolt

1 V = 1 W : (1 A)

V

1 V = 1 kg ·m

2

·s

-3

·A

-

1

3

Pojemność 

elektryczna

farad

1 F = 1 C : (1 V)

F

1 F = 1 kg

-1

·m

-

2

·s

4

·A

2

4

Opór 

elektryczny

om

1 Ω = 1 V : (1 A)

Ω

1 Ω = 1 kg·m

 2

·s

 

-3

·A

-2

5

Strumień 

magnetyczny

weber

1 Wb = 1 V

 

·1 s

Wb

1 Wb = 1 kg ·m

 2

 ·s

 

-2

 ·A

-1

6

Indukcja 

magnetyczna

tesla

1 T = 1 Wb : (1 m

 

2

)

T

1 T = 1 kg ·s

 -2

 ·A

 -1

7

Indukcyjność

henr

1 H = 1 V : [1 A :

(1 s)]

H

1 H = 1 kg ·m

 2

·s

 

-2

·A

 -2

Metrologia II

8

Wybrane legalne jednostki miar nie należące do układu SI

Lp

.

Wielkość

Nazwa jednostki 

miary

Symbol 

jednostki 

miary

Relacje między 

podaną jednostką 

a jednostką SI

1

Masa

tona

t

1 t = 1 Mg = 

10

3  

kg

2

Czas 

minuta, godzina, 

doba

min; h; d

1 min = 60 s

         1 h = 

3600 s

           1 d = 

84600 s

3

Temperatura

stopień Celsjusza

°C

Dla różnicy 

temperatur

1 °C = 1 K

t

c

 = T

k

 – 273,15

4

Kat płaski

stopień; minuta; 

sekunda

[°]; [‘]; ["]

5

Powierzchnia

hektar

ha

1 ha = 10

4  

m

2

6

Objętość

litr

l 

1 l = 10

-3  

m

3

7

Prędkość liniowa

kilometr na 

godzinę

km/h

8

Prędkość kątowa

obrót na minutę; 

obrót na sekundę

obr/min; 

obr/s 

 

1 obr/s = 2π rad·s

-1

9

Energia, Praca

kilowatogodzina

kWh

1 kWh = 3,6·10

6 

J

10

Moc

woltamper

VA

1VA = 1 W

rad

 

180

π

1 



rad

 

60

1

1

'





rad

 

60

1

1

'

''



1

-

s

m

  

3,6

1

h

km

1





1

-

s

rad

  

60

2π

obr/min

 

1





Metrologia II

9

Spójność jednostek

E = F ·  l                                                                                         
1 J = 1 N · 1 m 
1 N = 1 kg · 1 m/s

2

1 J =  kg m

2

 s

-2

ROZSZERZANIE ZAKRESU JEDNOSTEK UKŁADU SI

wykładniki dodatnie: (1) – deka 

da

; (2) – hekto 

h

; (3) – kilo 

k

; (6) – mega 

M

; 

 

               (9) – giga 

G

; (12) – tera 

T

; (15) – peta 

P

; (18) – eksa 

E

; 

 

             (21) – zeta 

Z

; (24) – yotta 

Y

wykładniki ujemne: (-1) – decy  

d

; (-2) – centy  

c

; (-3) – mili 

m

; (-6) – mikro  

μ

; 

  

              (-9) – nano  

n

; (-12) – piko 

p

; (-15) – femto 

f

; (-18) – atto 

a

; 

 

              (-21) – zepto 

z

; (-24) – yocto 

y

Zalety układu SI

UNIWERSALNOŚĆ – zapewnia każdej wielkości jednostkę miary, nazwę jednostki, skrót  

 nazwy 

                  jednostki, wymiar jednostki.

SPÓJNOŚĆ        – wszystkie jednostki główne układu przyjmują w równaniach  

definicyjnych 

                                    współczynniki równe jedności.

A

F

p

I

U

R

2

-

1

-

2

s

 

m

 

kg

m

 

1

N

 

1

Pa

 

1





A

 

1

V

 

1

Ω

 

1 

Metrologia II

10

REALIZACJA POMIARÓW

WZORZEC                                        – narzędzie pomiarowe odtwarzające jednostkę 
miary lub jej   
                                                                wielokrotność.

PRZYRZĄD POMIAROWY           – narzędzie pomiarowe ułatwiające wykonanie 
pomiaru  czyli  

                                                                porównanie wartości wielkości mierzonej ze 

wzorcem.

PRZETWORNIK POMIAROWY   – narzędzie pomiarowe przekształcające wielkość   

mierzoną na  
                                                                wielkość wyjściową , której wartość jest 
porównywana ze    

                                                                wzorcem.

narzędzi
e 
pomiaro
we

Źródło 

sygnał

u

Przetwo

r-nik

Przyrz

ąd 

pomiar

.

Obser

wator

Wzorz

ec

x

y

c

Metrologia II

11

                                      

                         

Klasyfikacja metod pomiarowych

Podział metod ze względu na sposób uzyskiwania wyników pomiaru:

- bezpośrednie
- pośrednie
- złożone

Podział metod ze względu na sposób porównywania wartości wielkości mierzonej 

i wzorcowej:

- bezpośredniego porównania
- różnicowe
- zerowe
- podstawieniowe

Metrologia II

12

                                      

                         

BŁĘDY POMIARU

Rzeczywisty bezwzględny  ;                                                         x

r

 - wartość rzeczywista, x

z

 - 

wartość zmierzona 

Rzeczywisty względny   ;                                                              

Bezwzględny graniczny ;                                          

Graniczny względny 

Wynik pomiaru podaje się w formie: 
ponieważ wartość x

r

 nie jest znana do wyznaczenia δ

x

 korzysta się z warunku:

 

wówczas można napisać:
                                                                                   lub

r

z

r

x

x

x







r

r

z

rx

x

x

x

|

|







|

|

r

z

gr

x

x

x







 

)

(

gr

z

gr

z

r

x

x

,

x

x

x









r

x

x

x|

|





r

 

gr

z

x

x





r

r

z

x

|

x

x

|





 

z

gr

x

x

x |

|





%

|

|

100

z

gr

x

x

x







Metrologia II

13

Klasyfikacja błędów ze względu na przyczyny ich występowania

- systematyczne
- przypadkowe
- omyłki

Klasyfikacja błędów ze względu na charakter zmienności mierzonych wartości 

- 

statyczne

- dynamiczne

Klasyfikacja błędów ze względu na warunki odniesienia

- podstawowe
- dodatkowe

Metrologia II

14

OBLICZANIE BŁĘDÓW

Obliczanie błędów systematycznych

Pomiar bezpośredni przyrządem pomiarowym

W tym przypadku wartość błędu jest równa wartości granicznego błędu 

bezwzględnego Δx

gr

, który wylicza się znając klasę dokładności δ

m

 przyrządu.

Pomiar tej samej wartości x wielkości fizycznej X kilkoma przyrządami o różnej dokładności  
Wyniki poszczególnych pomiarów:

Wynik końcowy

:   -                                                                          -  

średnia ważona

















n

i

i

n

i

gri

i

w

w

x

w

x

1

1

;

1

1

gr

z

x

x





;

2

2

gr

z

x

x





grn

zn

x

x





w

w

gr

z

x

x

x

x











_

w

x

_

%

min

max

100

x

x

x

gr

m









%

)

(

min

max

100

x

x

x

m

gr









=> 













n

i

i

n

i

zi

i

w

w

x

w

x

1

1

_

2

)

(

gri

i

x

K

w





Metrologia II

15

 

2

2

2

1

1

s

 

1

s

 

1

w

w







100

4

3



w

w

10000

5



w

; 

; 

621

,

16

10000

100

100

1

1

62

,

16

10000

6

,

16

100

7

,

16

100

17

1

16

1

_































w

x

s

 

62

16,

_



w

x

012

,

0

10000

100

100

1

1

01

,

0

10000

1

,

0

100

1

,

0

100

1

1

1

1

































w

x

s

 

01

0,





w

x

; Wynik pomiaru: 16,62 ± 0,01 s

Przykład
Czas ruchu pojazdu zmierzyło kilka osób posługując się  miernikami o różnej 
dokładności. Uzyskano wyniki pomiarów t

1

 = 16 ± 1 [s]; t

2 

= 17 ± 1 [s];  t

3

 = 16,7 ± 0,1 

[s]; t

4

 = 16,6 ± 0,1 [s]; t

5

 = 16,62 ± 0,01 [s]. Obliczyć średni ważony czas ruchu oraz 

systematyczny błąd pomiaru.

Obliczenia

Przyjęto stałą K = 1 [s

2

], wówczas wartości wag dla poszczególnych pomiarów 

wynoszą: 

Metrologia II

16

Pomiar bezpośredni przyrządem pomiarowym z uwzględnieniem 

źródeł błędów w prostym torze pomiarowym

ŹRÓDŁA BŁĘDÓW W  PROSTYM TORZE POMIAROWYM

                          

błąd pobrania      błąd przyrządu      błąd odczytu         

    błąd opr. 

E

v

E

R

R

E

E











1

1

Źródło 

wielkości 

mierzonej

Doprowadze

nie do 

przyrządu 

pomiaroweg

o

Przyrząd 

pomiarowy

Obserwator

Opracowanie 

wyniku

Wynik

Przykład  pomiaru napięcia źródła woltomierzem

E

R

E

R

V

  V

I

E

v

R

R

E

I





E

v

R

I

R

I

E









v

R

I

U





,    

,   

poprawka

 

E

E

v

v

R

I

IR

R

I

R

I

E

U

E























v

E

E

R

R

U

U

R

I

U

E











E

E

v

R

R

R

E

E









dokładność pomiaru

 

Metrologia II

17

Zasady zaokrąglania wyników pomiarów

W przypadku danych pochodzących z pomiaru liczba miejsc znaczących w wyniku jest 

określona przez najmniejszą jednostkę wielkości mierzonej. Przy zaokrąglaniu zostawia się 

jedynie cyfry znaczące wg następujących zasad:

1. Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest większa od 5 lub równa 5 ale za nią są jeszcze 
cyfry      większe od zera, to ostatnią z zachowanych cyfr należy zwiększyć o 1.  

      np. 0,3736 → 0,374;     0,37353 → 0,374.

2. Jeżeli odrzuconą cyfrą jest 5, a za nią nie ma cyfr większych od zera to ostatnią cyfrę, 
jeśli      jest parzysta zachowuje się bez zmiany, jeśli jest nieparzysta zwiększa się o 1. 

np. 0,3735 →  0,374;   0,3785 → 0,378.

3. Jeżeli pierwsza z odrzuconych cyfr jest mniejsza od 5 to ostatnia z pozostałych cyfr nie 
ulega     zmianie. 

np. 0,3791 → 0,379

Metrologia II

18

Zasady wykonywania działań na liczbach, które są wynikami pomiarów

1. Przy odejmowaniu i dodawaniu składniki zaokrągla się do rzędu o jeden niższego niż 
rząd 

  najmniej dokładnej liczby, zaś w wyniku zachowuje się tyle cyfr dziesiętnych ile 

jest w 

  

    składniku o najmniejszej liczbie cyfr dziesiętnych.

 

np. 0,335 + 2,21 + 24,6 ≈ 0,34 + 2,21 + 24,6 ≈ 27,15 ≈ 27,2

2. Przy mnożeniu i dzieleniu w wyniku zachowuje się tyle cyfr znaczących ile występuje w  
liczbie o    najmniejszej liczbie cyfr znaczących.

np.  26,8 : 1,28 = 20,9375 ≈ 20,9

3. Przy potęgowaniu w wyniku zachowuje się tyle cyfr znaczących ile cyfr zawiera 
podstawa  

     potęgowa.

4.  Przy logarytmowaniu w wyniku należy podać tyle cyfr ile cyfr zawiera liczba 
logarytmowana. 

5. Przy pierwiastkowaniu w wyniku zachowuje się tyle cyfr, ile cyfr znaczących występuje w 

    liczbie pierwiastkowanej.

7

31

6969

31

63

5

 

np.

2

,

,

,





.

,

,

,

894

1

894426

1

42

78

lg

  

np.





72

1

723

1

97

2

   

np.

,

,

,





Metrologia II

19

Pomiary pośrednie z wykorzystaniem pomiarów bezpośrednich 

Wielkość Y jest związana z wielkościami 

X

1

, X

2

,…, X

n

 zależnością:

                                                   

Y = f (X

1

, X

2

,…, X

n

)

                                                         (1)

Wyznaczyć graniczny błąd pomiaru 

Δy

gr

 wielkości 

Y

, której wartość y określono w sposób 

pośredni z zależności (1) na podstawie znajomości wartości: 

x

1

, x

2

,… x

n

 zmierzonych 

bezpośrednio, jeżeli graniczne błędy tych pomiarów wynosiły: 

Δx

1

, Δx

2

,… Δx

n

 .

Wartość zmierzoną y wyznacza się z zależności:

Wartość rzeczywistą y

o

 określa zależność:

                                                        

Błąd bezwzględny wielkości mierzonej pośrednio:

Błędy bezwzględne wielkości mierzonych bezpośrednio:

Po przekształceniach

)

(

2

1

n

x

x

x

f

y

,...,

,



)

(

0

20

10

0

n

x

x

x

f

y

,...,

,



)

(

)

(

0

20

10

2

1

0

n

n

x

x

x

f

x

x

x

f

y

y

y

,...

,

,...

,











,

  

10

1

1

x

x

Δ x





,

  

 

 

20

2

2

x

x

x







0

 

 

n

n

n

x

x

x







,

  

 

1

1

10

x

x

x







,

  

2

2

20

x

x

x







n

n

n

x

x

x







0

, 

Metrologia II

20

Po rozwinięciu odjemnika w szereg Taylora w otoczeniu punktów x

i0

 jest:

Wykonując działania przy opuszczeniu wyrażeń zawierających iloczyny małych co do wartości 
błędów granicznych 

Δx

i

 

lub ich potęgi o wykładnikach większych niż dwa otrzymuje się 

wyrażenie:

Błąd bezwzględny wielkości mierzonej pośrednio można zapisać:

)

,.......,

,

(

)

,......,

,

(

n

n

n

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

f

y

y

y























2

2

1

1

2

1

0





 















]

!

1

!

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

n

m

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

X

X

X

f

x

X

x

X

x

X

m

X

X

X

f

x

X

x

X

x

X

X

X

X

f

x

X

x

X

x

X

x

x

x

f

x

x

x

f

y

,......,

,

......

.....

.....

,......,

,

......

,......,

,

......

,......,

,

,......,

,

)

(

)

(

































































































































n

n

n

X

X

X

f

x

X

x

X

x

X

y

,.....,

,

......

2

1

2

2

1

1









































zwane różniczką zupełną.

Metrologia II

21

Maksymalna wartość błędu granicznego wynosi:

zależność wyraża prawo

Prawdopodobny błąd bezwzględny pomiaru:

n

n

gr

X

Y

x

X

Y

x

X

Y

x

y





























......

2

2

1

1

 (2)

 











































m

m

X

Y

x

X

Y

x

X

Y

x

y

.........

max

2

2

1

1

sumowania 
błędów

2

2

2

2

2

1

1

































































m

m

x

X

Y

x

X

Y

x

X

Y

y

.........

Metrologia II

22

SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ZALEŻNOŚCI FUNKCYJNYCH

1. 

Suma 

              

Y = X

1

 + X

2

2. 

Różnica 

           

Y = X

1

 – X

2

    

3. 

Iloraz               

Y = X

1 

/ X

2

4. 

Iloczyn

       

Y = X

1

 · X

2

 

;

  

2

2

2

1

2

1



























x

x

x

x

x

y

gr

gr

gr

|

|

|

|





;

  

2

1

1

2

|

|

|

|

gr

gr

gr

x

x

x

x

y





















;

  

2

1

gr

gr

gr

x

x

y













2

1

2

1

x

x

x

x

y

y

gr

gr

gr

gr

















|

|

|

|





;

  

2

1

gr

gr

gr

x

x

y













2

1

2

1

x

x

x

x

y

y

gr

gr

gr

gr

















|

|

|

|































2

2

1

1

x

x

x

x

y

y

gr

gr

gr

gr































2

2

1

1

x

x

x

x

y

y

gr

gr

gr

gr

Metrologia II

23

Przykład pośredniego pomiaru rezystancji metodą techniczną

I

U

R

z



V

V

R

R

R

U

I

U

I

I

U

I

U

R











A

z

A

A

R

R

R

I

IR

U

I

U

U

R













Dla obu przypadków po wyeliminowaniu błędów systematycznych należy wyznaczyć błąd 
graniczny ΔR wynikający z pomiaru pośredniego, zgodnie z prawem sumowania się błędów: 

I

U

I

U

I

U

R

U

I

R

I

R





























2

I

v

Metrologia II

24

Przykład
Na podstawie bezpośrednich pomiarów napięcia U na oporniku i płynącego przez niego prądu 
I 

wyznaczono rezystancję R opornika z zależności:                  Parametr przyrządów: 

woltomierz: zakres U

max

 = 100 V, klasa dokładności                      

amperomierz: zakres

 

I

max

= 500 mA, klasa dokładności  

Wyznaczyć rezystancję R jeżeli odczyty z przyrządów wynoszą 

I

U

R 

2

,

0



mU



1

,

0



mU



V

 

74



z

U

mA

 

400



z

I

Rozwiązanie
Błąd graniczny pomiaru napięcia

 

V

 

2

0

100

V

 

100

2

0

100

,

%

%

,

%

max











U

U

mU

gr



Błąd graniczny pomiaru prądu

: 

mA

 

5

0

100

mA

 

500

1

0

100

,

%

%

,

%

max











I

I

mI

gr



Wyznaczona wartość rezystancji:

 

Ω

 

185

A

 

4

0

V

 

74







,

z

z

z

I

U

R

Błąd graniczny wyznaczenia rezystancji:

 





Ω

 

5

2

Ω

 

3125

2

Ω

 

5

0

A

 

005

0

A

 

16

0

V

 

74

A

 

4

0

V

 

2

0

2

2

,

,

,

,

,

,

,



























































































gr

z

z

z

gr

gr

gr

gr

I

I

U

I

U

I

I

R

U

U

R

R

Wynik pomiaru

 

]

Ω

[

5

,

2

185

Metrologia II

25

Błędy przypadkowe

            Podczas realizacji n pomiarów pewnej wielkości X w tych samych warunkach 
uzyskano zbiór wartości {  x

1

, x

2

, ….,x

i

, ….,x

n

}, nazwany próbą losową, w której liczba 

pomiarów n nazywa się licznością próby. Finałem przeprowadzonego eksperymentu ma 
być  uzyskanie  wyniku  pomiaru,  to  znaczy  wyznaczenie  wartości  zmierzonej  x

z

  oraz 

błędu granicznego Δx

gr,

 określającego niepewność pomiaru; wynik podawany jest jako 

gr

z

x

x





W przedziale

                                                           

mieści się wartość rzeczywista x

r

 mierzonej 

wielkości z określonym prawdopodobieństwem P.





gr

z

gr

z

x

x

x

x









,

Przykład
Wykonano  serię  pomiarów  manometrem

, 

o  liczności  próby  n  =  100  tej  samej  wartości 

ciśnienia dokonując odczytów na skali przyrządu. Odczytano następujące wartości ciśnień:  n

1 

= 30 odczytów p

1 

= 2 kPa; n

2 

= 20 odczytów p

2 

= 1,99 kPa; n

3

= 20 odczytów p

3 

= 2,01 kPa; 

n

4 

= 10 odczytów p

4 

= 1,89 kPa; n

5 

= 10 odczytów p

5 

= 2,02; n

6 

= 5 odczytów                 p

6 

= 

1,97 kPa; n

7 

= 5 odczytów p

7 

= 2,02 kPa. Prawdopodobieństwa uzyskania określonej wartości 

ciśnienia wynoszą:    P

1

 = 0,3; P

2

 = 0,2; P

3

 = 0,2; P

4

= 0,1; P

5

 = 0,1; P

6

 = 0,05; P

7

 = 0,05. 

Rozkład prawdopodobieństw przedstawia rysunek.

1,97 1,9

8

1,99 2,0

0

2,0
1

2,0
2

2,0
3

p

0,0
5

0,1

0,
2

0,
3

P(p
)

Najbardziej prawdopodobna wartość ciśnienia wynosi   
  p = 2 kPa. Jest to średnia arytmetyczna          
uzyskana ze wszystkich 100 pomiarów, obliczona  z 
zależności

n

p

p

n

i

i







1

p

Metrologia II

26

Wykonując  pomiary  ma  się  do  czynienia  ze  skończoną  ich  liczbą,  wówczas  mówi 
się  o  zmiennej  losowej  dyskretnej,  która  może  przybierać  jedynie  określone 
wartości  ze  skończonego  zbioru.  Przy  występowaniu  błędów  przypadkowych 
wyniki jak i błędy pomiaru są zmiennymi losowymi dyskretnymi. Zmienną losową 
dyskretną  można  opisać  za  pomocą  funkcji  p(x)  rozkładu  prawdopodobieństwa, 
która  określa  prawdopodobieństwo  z  jakim  zmienna    losowa  X  przyjmuje 
określoną wartość x  
                                                                        p(x) = P [X = x]
Rozkład prawdopodobieństwa spełnia następujące warunki:                                     
                                  

                                                               

                                                                 0   p(x)  1

 

                                                                            
   





i

i

x

p

1

)

(

















b

i

x

a

i

x

i

x

p

b

X

a

P

)

(

Rozkład prawdopodobieństwa można przedstawić za pomocą funkcji F(x) zwanej dystrybuantą zmiennej losowej. 

Wartość tej funkcji jest prawdopodobieństwem zdarzenia, polegającego na tym, że zmienna losowa X przyjmuje wartość 

mniejszą od argumentu tej funkcji lub równą mu.

                                                                         

F(x) = P(X   x)

F(x)

x

Wartość dystrybuanty w punkcie x jest równa sumie wartości funkcji 
rozkładu prawdopodobieństwa, dla tych argumentów x

i, 

które są mniejsze 

lub równe x.

)

(

)

(







x

i

x

i

x

p

x

F

Metrologia II

27

Zmienne losowe ciągłe

Zmienna  losowa

 

X  ciągła  w  określonym  przedziale  może  przyjąć  dowolną  wartość  i   

charakteryzuje  ją  funkcja  f(x)  zwana  gęstością  prawdopodobieństwa.  Gęstość 
prawdopodobieństwa  określa  prawdopodobieństwo  P  =  f(x)dx  przyjęcia  przez  zmienną 
losową X wartości w przedziale (x, x + dx). Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną 
losową  X  wartości  w  określonym  przedziale  (x

1

,  x

2

)  jest  całką  z  funkcji  f(x)  w  tym 

przedziale:













2

1

)

(

2

1

x

x

dx

x

f

x

X

x

P

Pole obszaru pod wykresem funkcji gęstości prawdopodobieństwa w odpowiednim 
przedziale przedstawia prawdopodobieństwo z jakim zawarta w nim będzie zmienna 
losowa o wartości x.

Rozkład normalny

Rozkład  normalny,  nazywany  rozkładem  Gaussa  jest  jednym  z  ważniejszych  rozkładów 
zmiennej losowej ciągłej 
i  najczęściej  wykorzystuje  się  go  jako  model  rozkładu  gęstości  prawdopodobieństwa 
wyników pomiarów obciążonych błędami przypadkowymi. Zmienna losowa  X ma rozkład 
normalny, jeżeli jej funkcja gęstości prawdopodobieństwa opisana jest zależnością:

 

2

2

2

2

1















)

(x

e

x

f

Parametrami rozkładu normalnego są: wartość oczekiwana 

μ, wariancja  

σ 

2

 i odchylenie standardowe 

σ

. Wykresem 

gęstości prawdopodobieństwa jest krzywa dzwonowa.

Metrologia II

28

x)

Metrologia II

29

 Własności rozkładu normalnego:

1. funkcja jest symetryczna względem wartości oczekiwanej 

μ

,

2. w punkcie 

x = μ

 funkcja osiąga maksimum,

3. wartość funkcji w punkcie 

x = μ

 zależy od wartości σ (im większe σ  tym mniejsze μ),

4. funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie

 

5. powierzchnia zawarta pod krzywą  jest równa jedności 

 











1

dx

x

f

Estymatorem  wartości  oczekiwanej  μ  z  rozkładu  ciągłej  zmiennej  losowej  w  rozkładzie 
dyskretnej  zmiennej  losowej  jest  średnia  arytmetyczna                ,  która  jest  przybliżeniem 
wartości rzeczywistej mierzonej wielkości

x







n

i

i

x

n

x

1

1

_

n

    – liczba pomiarów  

x

i

 

  – i-ty wynik pomiaru

Przy  dużej  liczbie  pomiarów  ich  wyniki  obarczone  błędami  przypadkowymi,  są  zmienną 
losową  o  rozkładzie  gęstości  prawdopodobieństwa  w  przybliżeniu  odpowiadającym 
rozkładowi  normalnemu.  Parametry  tego  przybliżonego  rozkładu  są  estymatorami 
(przybliżeniami, oszacowaniami) parametrów rozkładu normalnego.

Metrologia II

30

Estymatorem odchylenia standardowego σ jest odchylenie średnie kwadratowe s, które jest 
miarą rozrzutu wyników pomiaru wokół wartości średniej, a więc miarą błędów pomiaru.

1

1

2























n

x

x

s

n

i

i

_

Ponieważ wartość średnia jest również zmienną losową z kilku serii pomiarów, więc można 
mówić o średnim odchyleniu kwadratowym średniej s

s

 

n

s

s

s



Przy pomiarach z uwzględnieniem błędów przypadkowych jako wartość zmierzoną podaje się 
wartość średnią:

Natomiast błąd graniczny określa zależność:

_

x

x

z



s

gr

s

e

x







e  jest  współczynnikiem  rozkładu  zmiennej  losowej,  a  jego  wartość  zależy  od  przyjętego 
prawdopodobieństwa  P  zwanego  poziomem  ufności  znalezienia  się  wartości  rzeczywistej  w 
przedziale 
                                 zwanym przedziałem ufności.

)

(

s

s

es

x

es

x





_

_

,

Metrologia II

31

Przy wyznaczaniu błędów przypadkowych wyróżniamy dwa przypadki

n > 30

Wówczas przedział  ufności wyznacza się z rozkładu normalnego przyjmując wystarczający dla 
potrzeb pomiarów warunek e = 3, tzn.

s

gr

s

x







3

Przyjęcie 

e

 = 3 oznacza, że przedział ufności zawiera wartość rzeczywistą mierzonej 

wielkości z prawdopodobieństwem 

P

, czyli na poziomie ufności 99,73%. dla 

e 

= 1, 

P

 = 

68,23%

n

 < 30

W tym przypadku korzystamy z rozkładu 

t

 – Studenta, który jest przybliżeniem rozkładu 

normalnego. Współczynnik e w rozkładzie studenta oznaczony jest przez 

t, e = t

. 

Współczynnik 

t 

wyznacza się z rozkładu Studenta znając liczbę stopni swobody 

k = n – 1

 

oraz poziom ufności 

P

. 

Metrologia II

32

                                      

                         

Wartości krytyczne t

kα

 rozkładu t Studenta

 

0,5

0,4

0,317

4

0,3

0,2

0,1

0,05

0,02

0,01

0,005

0,002

0,001

1

1,0000

1,3764

1,836

7

1,9626

3,077

7

6,313

8

12,706

2

31,820

5

63,6567

127,3213

318,308

8

636,61

92

2

0,8165

1,0607

1,321

0

1,3862

1,885

6

2,920

0

4,3027

6,9646

9,9248

14,0890

22,3271

31,599

1

3

0,7649

0,9785

1,196

6

1,2498

1,637

7

2,353

4

3,1182

4

4,5407

5,8409

7,4553

10,2145

12,924

0

4

0,7407

0,9410

1,141

4

1,1896

1,533

2

2,131

8

2,7764

3,7469

4,6041

5,5976

5,5976

8,6103

5

0,7267

0,9195

1,110

3

1,1558

1,475

9

2,015

0

2,5706

3,3649

4,0321

4,7773

5,8934

6,8688

6

0,7176

0,9057

1,090

3

1,1342

1,439

8

1,943

2

2,4469

3,1427

3,7074

4,3168

5,2076

5,9588

7

0,7111

0,8960

1,076

5

1,1192

1,414

9

1,894

6

2,3646

2,9980

3,4995

4,0293

4,7853

5,4079

8

0,7064

0,8889

1,066

3

1,1081

1,396

8

1,859

5

2,3060

2,8965

3,3554

3,8325

4,5008

5,0413

9

0,7027

0,8834

1,058

5

1,0997

1,383

0

1,833

1

2,2622

2,8214

3,2498

3,6897

4,2968

4,7809

10

0,6968

0,8791

1,052

4

1,0931

1,372

2

1,812

5

2,2281

2,7638

3,1693

3,5814

4,1437

4,5869

11

0,6974

0,8755

1,047

4

1,0877

1,363

4

1,795

9

2,2010

2,7181

3,1058

3,4966

4,0247

4,4370

12

0,6955

0,8726

1,043

2

1,0832

1,356

2

1,783

2

2,1788

2,6810

3,0545

3,4284

3,9296

4,3178

13

0,6938

0,8702

1,039

8

1,0795

1,350

2

1,770

9

2,1604

2,6503

3,0123

3,3725

3,8520

4,2208

14

0,6924

0,8681

1,036

8

1,0763

1,345

0

1,761

3

2,1448

2,6245

2,9768

3,3257

3,7874

4,1405

15

0,6912

0,8662

1,034

3

1,0735

1,340

6

1,753

1

2,1314

2,6025

2,9467

3,2860

3,7328

4,0728

16

0,6901

0,8647

1,032

0

1,0711

1,336

8

1,745

9

2,1199

2,5835

2,9208

3,2520

3,6862

4,0150

17

0,6892

0,8633

1,030

1

1,0690

1,333

4

1,739

6

2,1098

2,5669

2,8982

3,2224

3,6458

3,9651

18

0,6884

0,8620

1,028

4

1,0672

1,330

4

1,734

1

2,1009

2,5524

2,8784

3,966

3,6105

3,9216

k

α

P – poziom ufności;   = (1-P ) – poziom istotności; k = (n-1) – 

liczba stopni swobody

Metrologia II

33

19

0,6876

0,8610

1,026

8

1,0655

1,327

7

1,729

1

2,093

0

2,5395

2,8609

3,1737

3,5794

3,8834

20

0,6870

0,8600

1,025

4

1,0640

1,325

3

1,724

7

2,086

0

2,5280

2,8453

3,1534

3,5518

3,8495

21

0,6864

0,8591

1,024

2

1,0627

1,323

2

1,720

7

2,079

6

2,5176

2,8314

3,1352

3,5272

3,8193

22

0,6858

0,8583

1,023

1

1,0614

1,321

2

1,717

1

2,073

9

2,5083

2,8188

3,1188

3,5050

37621,

23

0,6853

0,8575

1,022

0

1,0603

1,319

5

1,713

9

2,068

7

2,4999

2,8073

3,1040

3,4850

3,7676

24

0,6848

0,8569

1,021

1

1,0593

1,317

8

1,710

9

2,063

9

2,4922

2,7969

3,0905

3,4668

3,7454

25

0,6844

0,8562

1,020

2

1,0584

1,316

3

1,708

1

2,059

5

2,4851

2,7874

3,0782

3,4502

3,7251

26

0,6840

0,8557

1,019

4

1,0575

1,315

0

1,705

6

2,055

5

2,4786

2,7787

3,0669

3,4350

3,7066

27

0,6837

0,8551

1,018

7

1,0567

1,313

7

1,703

3

2,051

8

2,4727

2,7701

3,0565

3,4210

3,6896

28

0,6834

0,8546

1,018

0

1,0560

1,312

5

1,701

1

2,048

4

2,4671

2,7633

3,0469

3,04082

3,6739

29

0,6830

0,8542

1,017

3

1,0553

1,311

4

1,699

1

2,045

2

2,4620

2,7564

3,0380

3,3962

3,6594

30

0,6828

0,8538

1,016

8

1,0547

1,310

4

1,697

3

2,042

3

2,4573

2,7500

3,0298

3,3852

3,6460

40

0,6807

0,8507

1,012

5

1,0500

1,303

1

1,683

9

2,021

1

2,4233

2,7045

2,9712

3,3069

3,5510

50

0,6794

0,8489

1,009

9

1,0473

1,298

7

1,675

9

2,008

6

2,4033

2,6778

2,9370

3,2614

3,4960

100

0,6770

0,8452

1,004

8

1,0418

1,290

1

1,660

2

1,984

0

2,3642

2,6259

2,8707

3,1737

3,3905

100

0

0,6747

0,8420

1,003

1,0370

1,282

4

1,646

4

1,962

3

2,3301

2,5808

2,8133

3,0984

3,3003

∞

0,6745

0,8418

1,000

1,0364

1,281

6

1,644

9

1,960

0

2,3263

2,576

2,8070

3,0902

3,2905

Rozkład t Studenta c.d.

Metrologia II

34

Przykład
l

1 

= 783,9 mm; l

2 

= 784,3 mm; l

3 

= 785,2 mm; l

4 

= 784,8 mm; l

5 

= 784,3 mm; l

6 

= 785,2 mm, podać wynik 

pomiaru.

Wartość średnia:





mm

 

24

0

5

6

6

0

5

0

2

0

6

0

3

0

7

0

s

mm

 

6

784

2

785

1

784

8

748

2

785

3

784

9

783

6

1

1

2

2

2

2

2

2

s

6

1

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,



































l

l

n

l

i

k = n – 1= 5;  P = 0.95;  

 = 0.05         z tablic rozkładu Studenta  t = 2,6

Wynik pomiaru:   784,6 mm ± 0,62 mm

Metrologia II

35

                                      

                         

Omyłki, błędy nadmierne

Przyczyny: nieprawidłowy odczyt lub zapis, nieumiejętne zastosowanie przyrządu lub metody 

pomiaru, zły stan psychiczny pomiarowca. 

Błędy nadmierne powodują jawne zniekształcenie wyników pomiaru, występują rzadko w 
procesie pomiarowym, są zauważalne na etapie opracowania wyników. Po obliczeniowym 
oszacowaniu wartości tych błędów i uznaniu ich jako omyłki nie należy ich uwzględniać przy 
opracowywaniu wyników pomiarów.

Metrologia II

36

                                      

                         

1. Kryterium trzech sigm (3σ). Dla ocenianej próby wyznacza się wartości:                           

  błędu   

   pomiaru  wątpliwego  wyniku x

p

 i odchylenia średniego kwadratowego s próby. jeżeli 

spełniona jest  

   nierówność:                                wątpliwy wynik pomiaru x

p

 należy odrzucić, przyjmując, że z 

  

   prawdopodobieństwem 99,73% jest on omyłką.

2.Kryterium Chauventa. Jest ono opracowane przy założeniu, że prawdopodobieństwo 

zgrupowania   

   odchyłek wyników n pomiarów wokół ich wartości średniej nie powinno być mniejsze niż    . 

Warunek 

   ten jest przedstawiony w tablicy określającej wartość względną dopuszczalnego błędu 

pomiary 

                      w zależności od liczby pomiarów n. Przy spełnionym, dal danej liczności prób n, 

warunku:

   

wyniku pomiaru x

p

 nie naleźmy uwzględniać.

_

x

x

x

p

p







s

x

p







3











 

s

x

max

tab

p

p

s

x

s

x

x

s

x











 







max

_

Sposoby szacowania omyłek

n

2

1

Metrologia II

37

                                      

                         

PRZYGOTOWANIE EKSPERYMENTU POMIAROWEGO

Celem pomiarów jest uzyskanie wyników obarczonych możliwie jak najmniejszymi 
błędami, przy spełnieniu istotnego warunku minimalizacji czasu i kosztów wykonania 
pomiarów.
- Eksperyment pomiarowy należy rozpocząć od wykonania nielicznej serii próbnych 
pomiarów  

                     wielkości X.

- Ze zbiorów otrzymanych wyników wybrać wartości:                    . na podstawie 
znajomości 

klasy dokładności używanych przyrządów pomiarowych wyznaczyć 

największą wartość błędu  granicznego               .

- Rozważyć relację

W przypadku 1 o dokładności pomiarów decydują błędy systematyczne i jej zwiększenie 

wymaga zastosowania dokładniejszych przyrządów lub metod. Przy braku możliwości 
zmiany oprzyrządowania pomiarowego wyniki pomiarów wstępnych należy uznać za 
ostateczne.

W przypadku 2 o dokładności pomiarów decydują błędy przypadkowe. Zwiększenie 

dokładności wymaga zwiększenia liczności próby. Niezbędną liczbę n pomiarów dla 
uzyskania błędów w określonym przedziale ufności można wyznaczyć wykorzystując 
tablice rozkładu zmiennej losowej t Studenta.

min

max

,x

x

max

x



max

min

max

x

x

x







max

min

max

x

x

x







1.

 

2.

 

Metrologia II

38

                                      

                         

KORELACJA

y

x

xy

S

S

S

r

























n

i

i

x

x

x

n

S

1

2

1

_















 



n

i

i

y

y

y

n

S

1

2

_

1

; 

S

x

, S

y

 -  średnie odchylenia standardowe













































































 















n

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

i

n

i

n

i

n

i

i

i

i

i

y

y

n

x

x

n

y

x

y

x

n

r

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1







a

kowariancj

   

-

   

1

1

y

y

x

x

n

S

i

n

i

i

xv











-  współczynnik 

korelacji

1   r   

-1

Metrologia II

39

0,1

0,05

0,02

0,01

0,001

1

0,988

0,997

1

1

1

2

0,900

0,950

0,980

0,990

1

3

0,805

0,878

0,934

0,959

0,991

4

0,729

0,811

0,882

0,917

0,974

5

0,669

0754

0,833

0,874

0,951

6

0,622

0,707

0,789

0,834

0,925

7

0,582

0,666

0,750

0,780

0,898

8

0,540

0,632

0,716

0,765

0,872

9

0, 521

0,602

0,685

0,735

0,847

10

0,497

0,576

0,658

0,708

0,823

12

0, 458

0,532

0,612

0,661

0,780

14

0, 426

0,497

0,574

0,623

0,742

16

0,400

0,468

0,542

0,590

0,708

18

0,378

0,444

0,516

0,561

0,679

20

0, 360

0,423

0,492

0,537

0,652

25

0, 275

0,381

0,445

0,487

0,597

30

0, 296

0,349

0,409

0,449

0,554

35

0, 275

0,325

0,381

0,418

0,519

40

0, 257

0,304

0,358

0,393

0,490

45

0, 243

0,288

0,338

0,372

0,463

Wartości krytyczne współczynnika korelacji r

kr

k



Metrologia II

40

                                      

                         

Przykład.
Na poziomie istotności α = 0,01 sprawdzić, czy pomiędzy I oraz U istnieje korelacja liniowa.

Lp

I [mA]

U [V]

1

2,23

0,342

0,763

4,9729

0,1170

2

2,45

0,333

0,816

6,0025

0,1109

3

5,09

0,332

1,6639

25,9081

0,1037

4

5,99

0,312

1,869

35,8801

0,0973

5

5,78

0,300

1,734

33,4084

0,0900

6

6,48

0,290

1,879

41,9904

0,0841

7

7,98

0,276

2,202

63,6804

0,0762

8

8,44

0,262

2,211

71,2336

0,0610

9

9,45

0,247

2,334

89,3025

0,0610

10

11,04

0,228

2,517

121,8816

0,0520

Suma

64,93

2,912

17,9646

494,2605

0,8608

i

x

i

y

i

y

x 

1

2

i

x

2

i

y

















977

0

912

2

8608

0

10

93

64

2605

494

10

912

2

93

64

9646

17

10

2

2

,

,

,

,

,

,

,

,























r

Z tablic rozkładu Studenta dla α = 0,01 i liczby stopni swobody k

r

 = n – 2 znajdujemy r

kr

 = 

0,765;            . Oznacza to, że z prawdopodobieństwem P = 99,99 można przyjąć istnienie 
korelacji liniowej między wartościami napięcia i prądu.

r

r

kr



   

Metrologia II

41

                                      

                         

REGRESJA

Równanie regresji liniowej dla par wyników (x

i

, y

i

)

i

i

x

b

a

y







a, b – współczynniki regresji liniowej, wyznaczane metodą najmniejszych kwadratów, w której 
zakłada się: suma kwadratów różnic wartości pomiarowych i obliczeniowych w równaniu 
regresji jest najmniejsza.

Równanie regresji przyjęte do opisu 

zależności 

 

m

m

x

A

x

A

x

A

A

x

f











.....

2

2

1

0

 

m

i

m

i

i

i

i

i

i

x

A

x

A

x

A

A

y

x

f

y

y





















.......

2

2

1

0

x

f(x)

f(x

i

)

y

i

∆y

i

Metrologia II

42

                                      

                         

Zgodnie z warunkiem wynikającym MNK

 

2

1

 





n

i

i

y

E

Funkcja E osiągnie minimum gdy pierwsze jej pochodne względem nieznanych 
współczynników A

0

 ÷A

m

  będą się zerowały. 





0

......

2

1

2

2

1

0

0























n

i

m

i

m

i

i

i

x

A

x

A

x

A

A

y

A

E





0

2

1

2

2

1

0

1























i

n

i

m

i

m

i

i

i

x

x

A

x

A

x

A

A

y

A

E

......





0

......

2

2

1

2

2

1

0

2























i

n

i

m

i

m

i

i

i

x

x

A

x

A

x

A

A

y

A

E





0

......

2

1

2

2

1

0























m

i

n

i

m

i

m

i

i

i

m

x

x

A

x

A

x

A

A

y

A

E

……..

= minimum

 





2

2

2

1

0

1

m

i

m

i

i

i

n

i

x

A

x

A

x

A

A

y















......