Teoria Chaosu
Teoria Chaosu
Teoria Chaosu
Definicja
Teoria chaosu zakłada, że złożoność
badanych zjawisk może być rezultatem ich
właściwości polegającej na wykładniczym
rozbieganiu się początkowo bliskich
trajektorii układu w ograniczonym obszarze
przestrzeni fazowej. Do modelowania tego
typu zjawisk wykorzystuje się powszechnie
tzw. Inteligentne systemy obliczeniowe, a w
szczególności sieci neuronowe.
Jerzy Zieliński “Inteligentne systemy w zarządzaniu”
Teoria Chaosu
Definicja
Chaos jest rozumiany jako ruch
nieregularny, stan nieporządku, u podstaw
którego leżą jednak prawa
deterministyczne. Ruch chaotyczny jest
określony równaniami nieliniowymi, które
jednoznacznie wyznaczają ewolucję układu
w czasie przy określonych warunkach
początkowych. Przyszłość układu jest
jednoznacznie wyznaczona przez jego
historię i prawa, którym podlega.
Mariusz Michno “Teoria chaosu a rynki kapitałowe”
Teoria Chaosu
Podstawowe pojęcia - przestrzeń fazowa
Przestrzeń fazowa - jest to przestrzeń
której współrzędnymi są wszystkie
wielkości potrzebne aby opisać
trajektorię danego układu.
Dla punktu materialnego są to trzy
współrzędne położenia i trzy
współrzędne prędkosci ciała
Teoria Chaosu
Podstawowe pojęcia - fraktal
Fraktale to obiekty, których wymiar
nie jest liczbą całkowitą
Teoria Chaosu
Podstawowe pojęcia - atraktor
Atraktorem jest pewien obszar,
trajektoria lub punkt w przestrzeni
fazowej, do którego w miarę upływu
czasu zmierzają rozwiązania równań,
czyli trajektorie rozpoczynające sie w
róznych punktach przestrzeni
fazowej.
Teoria Chaosu
Bifurkacja
Bifurkacja - rozdwojenie trajektorii
układu wynikające z sytuacji w której
odbywa się ruch
Teoria Chaosu
Podstawowe pojęcia - układ ergodyczny
Dla układu ergodycznego trajektoria
w przestrzeni fazowej przechodzi z
upływem czasu przez każdy punkt
powierzchi stałej energii tego układu
Teoria Chaosu
Kalendarium
▪
1834 - J. Russel obserwuje solitonową falę wodną
▪
1871 - hipoteza ergodyczności Maxwella-Boltzmana
▪
1890 - Poincare bada zredukowany problem Hilla
▪
1895 - teoria turbulencji O.Reynoldsa
▪
1904 - konstrukcja krzywych Kocha
▪
1916 - konstrukcja dywanu Sierpińskiego
▪
1928 - konstrukcja gąbki Mengera
▪
1958 - A.Kołmogorow definiuje entropię metryczną
▪
1962 - M.Henon odkrywa chaotyczny ruch gwiazd w
centrum galaktyki
▪
1963 - równania i atraktor Lorenza
Teoria Chaosu
Fraktale
▪
Fraktale są formami geometrycznymi,
zawartymi w dziale matematyki, który opisuje i
analizuje nieregularnosci oraz zlożoność struktur
rzeczywistego świata.
▪
Twórcą i odkrywcą tej geometrii jest, urodzony
w 1924 roku w Warszawie, Benoit Mandelbrot.
▪
Nazwa fraktale pochodzi od łacinskiego
frangere – lamać.
▪
Matematyka definiuje fraktale jako zwarte
podzbiory topologicznej przestrzeni metrycznej
S, charakteryzowane przez wymiar fraktalny D i
miare fraktalna μ.
Teoria Chaosu
Fraktale - cechy
●
Samopodobienstwo
●
Symetria
●
Wymiar fraktalny nie jest liczbą
całkowitą
●
Brak jednoznacznego kształtu
●
Nie są określone wzorem
matematycznym, tylko zależnością
rekurencyjną
Teoria Chaosu
Fraktale - cechy
●
Badania nieregularności fraktali
●
Opis procesów chaotycznych zachodzących
w układach dynamicznych
●
Przetwarzanie i kodowanie obrazów
cyfrowych – kompresja fraktalna
●
Modelowanie tworów naturalnych dla celów
realistycznej grafiki komputerowej
●
Badanie struktury łancuchów DNA
●
Badanie samopodobnych struktur
harmonicznych wystepujacych w muzyce
Teoria Chaosu
Fraktale klasyczne - zbiór Cantora
Każdy odcinek domknięty dzieli sie na trzy
równe części i usuwa sie z niego część
środkową bez jej brzegów.
Teoria Chaosu
Fraktale klasyczne - trójkąt Sierpińskiego
Trójkąt równoboczny jest dzielony na
cztery mniejsze, a następnie usuwany
jest środkowy trójkąt, operacja
wykonywana jest w pętli
Teoria Chaosu
Fraktale klasyczne - gąbka Mengera
Ściany dowolnego sześcianu dzieli się na 9
kwadratów przystających. Następnie wiercone
są dziury o przekroju kwadratowym,
zaczynając od środkowego kwadratu, na wylot,
do środkowego kwadratu na przeciwnej
ścianie.
Teoria Chaosu
Fraktale klasyczne - krzywe Kocha
Teoria Chaosu
L - system
Kolejne kroki podziałów komórkowych glonu
anabaena catenula
Jeśli podziałowi ulega komórka, której
powstanie spowodowało rozrost w kierunku
lewym (prawym), wówczas jej potomkami
będą: mała komórka powodująca rozrost w
lewo (prawo) oraz większa komórka
powodująca rozrost w prawo (lewo).
Teoria Chaosu
L - system
Przykłady roślinnych struktur rozgałęzionych.
Teoria Chaosu
Układy ergodyczne
Kiedy układ złożony z dużej liczby
składników może być prawidłowo
opisany za pomocą praw statystycznych ?
▪
Entropia Kołmogorowa
▪
Wykładniki Lapunowa
Teoria Chaosu
Atraktory
Pewien obszar, trajektoria, lub punkt w
przestrzeni fazowej, do którego z
upływem czasu zmierzają rozwiązania
równań, czyli trajektorie rozpoczynające
się w róznych punktach przestrzeni
fazowej.
Basen przyciągania - zbiór tych warunków
początkowych, dla których trajektoria
zmierza do danego atraktora.
Teoria Chaosu
Atraktory - cykl graniczny
Cykl graniczny atraktor występujący w
przestrzeni dwuwymiarowej , zamknięta
trajektoria, dzieląca przestrzeń fazową na
dwa rozłączne obszary. Trajektorie
rozpoczynające się w obszarze
wewnętrznym rozkręcają się i zbliżają do
cyklu, a trajektorie zewnętrzne zwijają się.
Teoria Chaosu
Atraktory - cykl przekrój Poincarego
Badane są punkty w których trajektorie
występujące w przestrzeni fazowej
przecinają określoną płaszczyznę.
Teoria Chaosu
Atraktory - znane atraktory
▪
Atraktor Lorenza
▪
Atraktor Henona
▪
Atraktor Roslera
Teoria Chaosu
Atraktory - znane atraktory
W 1960 roku w Massachusetts Institute of
Technology, meteorolog Edward Lorenz
zdołał skonstruować prosty model.
Zawierał on trzy równania różniczkowe,
przy pomocy których chciał opisać
przemiany zachodzące w atmosferze pod
wpływem promieniowania słonecznego
nagrzewającego powierzchnię Ziemi.
Teoria Chaosu
Atraktory - scenariusze przejścia do chaosu
▪
Intermitencja - okresy regularnego
ruchu przeplatają się z okresami
zachowania chaotycznego
▪
Scenariusze Rulle’a-Takensa-
Newhous’a - oparta na bifrukacji Hopfa
▪
Bifurukacja Feingenbauma
Teoria Chaosu
Bifurkacja Feigenbauma
Teoria Chaosu
Atraktor w gospodarce
Atraktor w gospodarce jest to każde duże
skupisko lub natężenie procesów
gospodarczych, rejestrowanych obecnie
najczęściej wyłącznie w pamięciach dużych
sieci komputerowych, obsługujących banki i
giełdy finansowe. Atraktor jest mechanizmem
dodatniego sprzężenia zwrotnego związanego
z ruchem kapitału, jest potwierdzoną
eksperymentalnie regułą nasilania się
procesów gospodarczych w tych miejscach,
gdzie są one już intensywne. Atraktory
ekonomiczne wyłaniają się z graficznych
prezentacji danych w postaci wykresów i tabel,
ilustrujących statystyczne skutki miliardów
przeprowadzanych codziennie operacji
finansowych